ABAU GaliciaConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS ABAU Galicia 2025

Matemáticas aplicadas ás ciencias sociais II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Cuatro preguntas de 2,5 puntos (probabilidad, álgebra, análisis y bloques)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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Ejercicios del examen8 ejercicios

ABAU GAL 2025 — P1.1 (probabilidad de la unión)Dificultad 3/5

Una crema se da a conocer por prensa escrita ( $P=0{,}3$ ) o por buzoneo ( $P=0{,}4$ ), sucesos independientes. La empresa lanzará una segunda campaña si la probabilidad de que la crema sea conocida tras la primera es menor que $0{,}6$ . ¿Cuál es la probabilidad de que la crema sea conocida (por prensa o por buzoneo)?

0{,}70

0{,}58

0{,}12

0{,}40

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$0{,}58$

Correcto:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=0{,}3+0{,}4-0{,}12=0{,}58

. Como

0{,}58<0{,}6

, sí habrá segunda campaña.

Que la crema sea conocida significa que lo sea por prensa (

A

) o por buzoneo (

B

): la unión

A\cup B

. Como los sucesos son independientes,

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12

. Por tanto

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}3+0{,}4-0{,}12=0{,}58

. Como

0{,}58<0{,}6

, la empresa sí lanzará la segunda campaña con cartelería luminosa.

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ABAU GAL 2025 — P1.3 (incompatibilidad)Dificultad 3/5

En el mismo problema, los sucesos "conocer la crema por prensa escrita" ( $A$ ) y "por buzoneo" ( $B$ ) son independientes, con $P(A)=0{,}3$ y $P(B)=0{,}4$ . ¿Son incompatibles?

ASí, porque son independientes

BNo, porque

P(A\cap B)=0{,}12\ne 0

CSí, porque su intersección es cero

DNo se puede saber con los datos

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

No, porque $P(A\cap B)=0{,}12\ne 0$

Correcto: NO son incompatibles, porque

P(A\cap B)=0{,}12\ne 0

; pueden ocurrir a la vez (alguien puede conocerla por ambos medios).

Dos sucesos son incompatibles (mutuamente excluyentes) cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, cuando

P(A\cap B)=0

. En este problema

A

B

son independientes, así que

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12\ne 0

. Por tanto NO son incompatibles: una persona puede conocer la crema por ambos medios a la vez. Conviene no confundir independencia (el resultado de uno no afecta al otro) con incompatibilidad (no pueden darse juntos); de hecho, dos sucesos con probabilidad no nula que sean incompatibles nunca pueden ser independientes.

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ABAU GAL 2025 — P2.2 (región factible)Dificultad 3/5

Un sistema de inecuaciones incluye, entre otras, las restricciones $y\le 8-x$ (es decir $x+y\le 8$ ). Se pide decidir si el punto $B(5,1)$ pertenece a la región factible. Para la restricción $x+y\le 8$ , ¿cumple el punto $B(5,1)$ esta condición?

ASí, porque

5+1=6\le 8

BNo, porque

5+1=6>8

CSí, porque

5+1=4\le 8

DNo, porque no se puede evaluar

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Sí, porque $5+1=6\le 8$

Correcto:

5+1=6\le 8

, así que

B(5,1)

sí cumple la restricción

x+y\le 8

Para comprobar si un punto pertenece a la región factible de un sistema de inecuaciones, hay que verificar que satisface TODAS las restricciones. Para la restricción

x+y\le 8

, sustituimos las coordenadas de

B(5,1)

5+1=6\le 8

, que es cierto, de modo que el punto cumple esta condición concreta. (Para decidir si

B

pertenece a la región completa habría que comprobar también las demás inecuaciones del sistema, pero respecto a

x+y\le 8

la respuesta es afirmativa.)

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ABAU GAL 2025 — P2.2 (función objetivo)Dificultad 3/5

En el mismo problema de programación lineal se optimiza la función $F(x,y)=2x-4y$ . En el vértice $(8,0)$ de la región factible, ¿cuánto vale la función objetivo?

-32

8

16

0

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$16$

Correcto:

F(8,0)=2\cdot 8-4\cdot 0=16

En programación lineal, los valores máximo y mínimo de la función objetivo se alcanzan en los vértices de la región factible. Para hallar el valor en un vértice basta sustituir sus coordenadas:

F(8,0)=2\cdot 8-4\cdot 0=16

. Para determinar el máximo y el mínimo del problema se evaluaría

F

en todos los vértices y se compararían los resultados.

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ABAU GAL 2025 — P3.2 (ajuste de una parábola)Dificultad 3/5

Sea $f(x)=ax^2+bx-3$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ . Se sabe que la función pasa por el punto $(4,5)$ y tiene un mínimo en $x=1$ . ¿Cuáles son los valores de $a$ y $b$ ?

a=1

b=-2

a=-1

b=2

a=2

b=-4

a=1

b=2

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$a=1$ , $b=-2$

Correcto: del mínimo en

x=1

f'(1)=2a+b=0

; del punto,

16a+4b-3=5\Rightarrow 16a+4b=8

. Resolviendo:

a=1

b=-2

Imponemos las dos condiciones. Que tenga un mínimo en

x=1

exige

f'(1)=0

; como

f'(x)=2ax+b

, resulta

2a+b=0

, es decir

b=-2a

. Que pase por

(4,5)

f(4)=16a+4b-3=5

, es decir

16a+4b=8

. Sustituyendo

b=-2a

16a-8a=8\Rightarrow 8a=8\Rightarrow a=1

b=-2

. Como

a=1>0

, la parábola abre hacia arriba y el punto crítico es efectivamente un mínimo, lo que confirma la solución.

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ABAU GAL 2025 — P3.1 (máximos y mínimos)Dificultad 3/5

Sea $f(x)=(4-x)(x-1)^2$ con $0\le x\le 4$ . Su derivada es $f'(x)=-(x-1)^2+(4-x)\cdot 2(x-1)=(x-1)(-3x+9)$ . ¿En qué punto del intervalo presenta $f$ un máximo relativo?

x=1

x=0

x=3

x=4

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$x=3$

Correcto:

f'(x)=0\Rightarrow x=1

x=3

. En

x=3

pasa de crecer a decrecer: es un máximo relativo, con

f(3)=(4-3)(3-1)^2=4

Con

f(x)=(4-x)(x-1)^2

, su derivada factorizada es

f'(x)=(x-1)(-3x+9)=-3(x-1)(x-3)

. Las raíces son

x=1

x=3

. Estudiando el signo de

f'

[0,4]

f

decrece en

(0,1)

, crece en

(1,3)

y decrece en

(3,4)

. Por tanto, en

x=1

hay un mínimo relativo (

f(1)=0

) y en

x=3

un máximo relativo, con

f(3)=(4-3)(3-1)^2=1\cdot 4=4

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ABAU GAL 2025 — P4.2 (intervalo de confianza para una proporción)Dificultad 3/5

Una encuesta a $100$ individuos revela que $80$ están satisfechos con su compañía eléctrica, de modo que la proporción muestral es $\hat{p}=0{,}8$ . Con un nivel de confianza del $95\%$ ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ ), ¿cuál es el error del intervalo de confianza para la proporción (redondeado a milésimas)?

0{,}040

0{,}078

0{,}16

0{,}8

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$0{,}078$

Correcto:

E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}2}{100}}=1{,}96\cdot 0{,}04=0{,}078

El intervalo de confianza para una proporción es

\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}

. El error (semiamplitud) es

E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}2}{100}}=1{,}96\sqrt{0{,}0016}=1{,}96\cdot 0{,}04=0{,}0784\approx 0{,}078

. El intervalo resulta aproximadamente

(0{,}8-0{,}078;\ 0{,}8+0{,}078)=(0{,}722;\ 0{,}878)

, es decir, entre el

72{,}2\%

y el

87{,}8\%

de individuos satisfechos.

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ABAU GAL 2025 — P4.1 (probabilidad condicionada)Dificultad 3/5

Sean $A$ y $B$ dos sucesos con $P(B)=0{,}40$ , $P(A\cap B)=0{,}21$ y $P(A|B)=0{,}60$ . Para decidir si $A$ y $B$ son independientes, ¿qué valor debería tener $P(A)$ para que lo fueran?

0{,}60

0{,}40

0{,}525

0{,}21

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Respuesta correcta — opción C

$0{,}525$

Correcto: serían independientes si

P(A)=P(A|B)=0{,}525

, ya que

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\Rightarrow P(A)=\dfrac{0{,}21}{0{,}40}=0{,}525

Dos sucesos

A

B

son independientes si y solo si

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

, equivalentemente, si

P(A|B)=P(A)

. Para que lo fueran,

P(A)

debería valer

\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}21}{0{,}40}=0{,}525

. Sin embargo, el enunciado da

P(A|B)=0{,}60

, que representa la probabilidad de

A

condicionada a

B

. Como

P(A|B)=0{,}60\ne 0{,}525

, los sucesos NO son independientes: el conocimiento de que ha ocurrido

B

modifica la probabilidad de

A

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