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PAU ValenciaConvocatoria ordinaria

Matemáticas PAU Valencia 2025

Matemàtiques II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

PAU VAL 2025 — Álgebra (rango)Dificultad 3/5

¿Cuál es el rango de la matriz (123246)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}?

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Respuesta correcta — opción A

1

¡Correcto! La segunda fila es el doble de la primera (proporcionales): solo hay una fila independiente, rango 1.
El rango es el número de filas linealmente independientes. La segunda fila (2,4,6)(2,4,6) es exactamente el doble de la primera (1,2,3)(1,2,3), por lo que son proporcionales (dependientes). Solo hay una fila independiente, así que el rango es 1.

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PAU VAL 2025 — Álgebra (matriz inversa)Dificultad 3/5

¿Cuándo existe la matriz inversa A−1A^{-1} de una matriz cuadrada AA?

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Respuesta correcta — opción B

Cuando det⁡(A)≠0\det(A)\ne0

¡Correcto! A−1A^{-1} existe si y solo si det⁡(A)≠0\det(A)\ne0 (matriz regular).
Una matriz cuadrada AA tiene inversa si y solo si es regular, es decir, det⁡(A)≠0\det(A)\ne0. La inversa se obtiene como A−1=1det⁡(A) adj(A)TA^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A)^T, expresión que solo está definida cuando el determinante es no nulo. Si det⁡(A)=0\det(A)=0 la matriz es singular y no admite inversa.

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PAU VAL 2025 — Análisis (asíntotas)Dificultad 3/5

¿Qué asíntota horizontal tiene f(x)=2x2+1x2−4f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-4}?

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Respuesta correcta — opción B

y=2y=2

¡Correcto! Grados iguales: la asíntota horizontal es el cociente de coeficientes principales, y=2/1=2y=2/1=2.
Cuando los grados del numerador y del denominador coinciden (aquí, ambos de grado 2), la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes de mayor grado: y=21=2y=\frac{2}{1}=2. Si el grado del numerador fuese menor, la asíntota sería y=0y=0; si fuese mayor, no habría horizontal.

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PAU VAL 2025 — Derivadas (regla de la cadena)Dificultad 3/5

Calcula la derivada de f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1).

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Respuesta correcta — opción C

2xx2+1\dfrac{2x}{x^2+1}

¡Correcto! Regla de la cadena: f′(x)=1x2+1⋅2x=2xx2+1f'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+1}.
Por la regla de la cadena, la derivada de ln⁡(u)\ln(u) es u′u\frac{u'}{u}. Con u=x2+1u=x^2+1 y u′=2xu'=2x: f′(x)=2xx2+1f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}.

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PAU VAL 2025 — Integrales (área)Dificultad 3/5

Calcula el área encerrada entre f(x)=x2f(x)=x^2 y el eje OX entre x=0x=0 y x=3x=3.

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Respuesta correcta — opción D

9 u²

¡Correcto! ∫03x2 dx=[x33]03=273=9\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9 u².
Como f(x)=x2≥0f(x)=x^2\ge0 en [0,3][0,3], el área coincide con la integral definida: ∫03x2 dx=[x33]03=273−0=9\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3}-0 = 9 unidades cuadradas.

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PAU VAL 2025 — Geometría (perpendicularidad)Dificultad 3/5

Dos vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son perpendiculares cuando:

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Respuesta correcta — opción A

Su producto escalar es 0

¡Correcto! Son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo: u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Dos vectores son perpendiculares (ortogonales) cuando su producto escalar es cero: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ=0\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta=0, lo que ocurre si θ=90°\theta=90° (siempre que ninguno sea el vector nulo). El producto vectorial nulo, en cambio, caracteriza el paralelismo.

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PAU VAL 2025 — Geometría (ecuación del plano)Dificultad 3/5

El plano que pasa por P(0,0,0)P(0,0,0) con vector normal n⃗=(1,2,3)\vec{n}=(1,2,3) tiene por ecuación:

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Respuesta correcta — opción A

x+2y+3z=0x + 2y + 3z = 0

¡Correcto! Ax+By+Cz+D=0A x + B y + C z + D = 0 con normal (1,2,3)(1,2,3) y pasando por el origen (D=0D=0): x+2y+3z=0x+2y+3z=0.
La ecuación general de un plano es Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0, donde (A,B,C)(A,B,C) es el vector normal. Con n⃗=(1,2,3)\vec{n}=(1,2,3) queda x+2y+3z+D=0x+2y+3z+D=0. Al imponer que pase por el origen (0,0,0)(0,0,0) se obtiene D=0D=0, luego la ecuación es x+2y+3z=0x+2y+3z=0.

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PAU VAL 2025 — Probabilidad (binomial)Dificultad 3/5

Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?

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Respuesta correcta — opción B

3/8

¡Correcto! P=(42)(0,5)2(0,5)2=6⋅116=616=38P=\binom{4}{2}(0,5)^2(0,5)^2 = 6\cdot\frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.
El número de caras en 4 lanzamientos sigue una binomial B(4,0,5)B(4, 0,5). La probabilidad de exactamente 2 caras es P(X=2)=(42)(0,5)2(0,5)2=6⋅116=616=38P(X=2)=\binom{4}{2}(0,5)^2(0,5)^2 = 6\cdot\frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.

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