EBAU CanariasConvocatoria ordinaria

Matemáticas EBAU Canarias 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU CAN 2024 — Bloque 1.A (Análisis)Dificultad 3/5

Los costes de producción de plátanos son $C(x)=\dfrac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}$ , con $C$ en miles de € y $x$ en miles de kilos ( $x\ge0$ ). Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes, ¿a qué valor tienden los costes de producción?

0

miles de €

+\infty

\tfrac35=0{,}6

miles de €

\tfrac53\approx1{,}67

miles de €

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$\tfrac35=0{,}6$ miles de €

Correcto.

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{3x}{5x}=\dfrac35=0{,}6

miles de € (es la asíntota horizontal

y=\tfrac35

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}

: dividiendo numerador y denominador por

x

(con

\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+1/x^2}

), queda

\dfrac{3}{5\sqrt{1+1/x^2}}\to\dfrac{3}{5}=0{,}6

miles de €. Es la asíntota horizontal de la función de costes: por más que aumente la producción, el coste tiende a estabilizarse en

\tfrac35

miles de €.

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EBAU CAN 2024 — Bloque 1.A (Análisis)Dificultad 3/5

Para $C(x)=\dfrac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}$ (miles de €, $x$ en miles de kilos), calcula $\displaystyle\int_0^{4} C(x)\,dx$ .

\tfrac35\sqrt{17}\approx2{,}47

\tfrac35\left(\sqrt{17}-1\right)\approx1{,}87

\tfrac35

\sqrt{17}-1\approx3{,}12

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$\tfrac35\left(\sqrt{17}-1\right)\approx1{,}87$

Correcto.

\int\dfrac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}dx=\dfrac35\sqrt{x^2+1}

, así que

\int_0^4=\dfrac35\left(\sqrt{17}-1\right)\approx1{,}87

miles de €.

Con

u=x^2+1

du=2x\,dx

\int\dfrac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}dx=\dfrac35\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\dfrac35\sqrt{x^2+1}+C

. Aplicando Barrow entre 0 y 4:

\dfrac35\left(\sqrt{17}-\sqrt{1}\right)=\dfrac35(\sqrt{17}-1)\approx1{,}87

miles de €.

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EBAU CAN 2024 — Bloque 1.B (Análisis)Dificultad 3/5

Dada $f(x)=\dfrac{\ln(x+2)+a}{3x+4}$ , determina el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a $f$ en $x=-1$ es 10.

a=-3

a=3

a=10

a=\tfrac13

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$a=-3$

Correcto.

f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x+2}(3x+4)-3(\ln(x+2)+a)}{(3x+4)^2}

. En

x=-1

(

x+2=1

\ln1=0

3x+4=1

f'(-1)=\dfrac{1-3a}{1}=10\Rightarrow a=-3

Por la regla del cociente,

f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x+2}(3x+4)-3\,(\ln(x+2)+a)}{(3x+4)^2}

. En

x=-1

x+2=1

\ln(1)=0

3x+4=1

, así que

f'(-1)=\dfrac{1\cdot1-3a}{1}=1-3a

. Imponiendo

f'(-1)=10

1-3a=10\Rightarrow a=-3

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EBAU CAN 2024 — Bloque 2.A (Álgebra)Dificultad 3/5

Resuelve el sistema matricial $\begin{cases}5X-4Y=\begin{pmatrix}5&6&-1\\4&-5&1\end{pmatrix}\\[4pt] 4X-6Y=\begin{pmatrix}4&2&2\\6&-4&-2\end{pmatrix}\end{cases}$ . ¿Cuál es la matriz $X$ ?

\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}5&6&-1\\4&-5&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&4&-3\\1&-5&3\end{pmatrix}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}$

Correcto. Eliminando

Y

(

6\times

la 1ª

-4\times

la 2ª:

14X=6M_1-4M_2

X=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}

Llamando

M_1=\begin{pmatrix}5&6&-1\\4&-5&1\end{pmatrix}

M_2=\begin{pmatrix}4&2&2\\6&-4&-2\end{pmatrix}

, multiplicamos la 1ª por 6 y la 2ª por 4:

30X-24Y=6M_1

16X-24Y=4M_2

. Restando:

14X=6M_1-4M_2

, de donde

X=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}

. Sustituyendo,

Y=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}

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EBAU CAN 2024 — Bloque 2.B (Álgebra)Dificultad 3/5

Dado el sistema $\begin{cases}kx+y-3z=5\\ -x+y+z=-4\\ kx+y-kz=1\end{cases}$ , resuélvelo para $k=4$ . ¿Cuál es la solución $(x,y,z)$ ?

(5,3,4)

(1,2,3)

(5,-3,4)

(4,-3,5)

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$(5,-3,4)$

Correcto. Restando la 1ª y la 3ª ecuación (

z=4

), y luego despejando:

x=5

y=-3

z=4

Con

k=4

4x+y-3z=5

;

-x+y+z=-4

;

4x+y-4z=1

. Restando la 1ª menos la 3ª:

(-3z)-(-4z)=5-1\Rightarrow z=4

. Sustituyendo

z=4

: la 1ª queda

4x+y=17

y la 2ª

-x+y=-8

; restándolas,

5x=25\Rightarrow x=5

, y entonces

y=-3

. Solución:

(5,-3,4)

. (Para

k=3

el determinante se anula: el sistema deja de ser compatible determinado.)

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EBAU CAN 2024 — Bloque 3.A (Geometría)Dificultad 3/5

Dados $P(-7,3,4)$ , la recta $r\equiv\begin{cases}x+y-1=0\\x+z+1=0\end{cases}$ y el plano $\pi:x+2y-5z+5=0$ . La recta $s$ es paralela a $r$ y pasa por $P$ . ¿Cuál es el punto $A$ de intersección de $s$ con $\pi$ ?

(-7,\,3,\,4)

(-3,\,-1,\,0)

(1,\,-1,\,-1)

(-7+t,\,3-t,\,4+t)

para algún

t

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$(-3,\,-1,\,0)$

Correcto. La dirección de

r

(1,-1,-1)

. Con

s\equiv(-7+t,\,3-t,\,4-t)

\pi

(-7+t)+2(3-t)-5(4-t)+5=0\Rightarrow 4t-16=0\Rightarrow t=4

, luego

A=(-3,-1,0)

La dirección de

r

\vec{d}=(1,1,0)\times(1,0,1)=(1,-1,-1)

. La recta

s

paralela a

r

por

P(-7,3,4)

(-7+t,\,3-t,\,4-t)

. Sustituyendo en

\pi

(-7+t)+2(3-t)-5(4-t)+5=4t-16=0\Rightarrow t=4

. Entonces

A=(-3,-1,0)

. (El ángulo entre

r

\pi

cumple

\operatorname{sen}\alpha=\tfrac{4}{3\sqrt{10}}\approx0{,}42

, es decir

\approx24{,}9^\circ

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EBAU CAN 2024 — Bloque 4.A (Probabilidad)Dificultad 3/5

Un avión tiene tres paracaídas A, B y C. Si falla A se activa B, y si también falla B se activa C. Las probabilidades de que funcione cada uno son 0,96, 0,98 y 0,99. ¿Cuál es la probabilidad de que funcione alguno de los tres paracaídas?

0{,}96

0{,}9392

0{,}999992

0{,}000008

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$0{,}999992$

Correcto.

P(\text{alguno})=1-P(\text{los tres fallan})=1-0{,}04\cdot0{,}02\cdot0{,}01=1-0{,}000008=0{,}999992

El complementario de "funciona alguno" es "fallan los tres". Las probabilidades de fallo son

0{,}04

(A),

0{,}02

(B) y

0{,}01

(C), independientes. Así

P(\text{alguno})=1-(0{,}04\cdot0{,}02\cdot0{,}01)=1-0{,}000008=0{,}999992

. (Por el apartado b,

P(\text{se activa B y funciona})=P(\text{falla A})\cdot P(\text{funciona B})=0{,}04\cdot0{,}98=0{,}0392

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EBAU CAN 2024 — Bloque 4.B (Probabilidad)Dificultad 3/5

Una ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Se gana si sale un número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una jugada?

\dfrac{13}{25}=0{,}52

\dfrac{12}{25}=0{,}48

\dfrac12=0{,}50

\dfrac{12}{24}=0{,}50

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$\dfrac{12}{25}=0{,}48$

Correcto. Entre 1 y 25 hay 12 números pares (2, 4, …, 24), así que

P(\text{par})=\dfrac{12}{25}=0{,}48

Entre los números del 1 al 25 hay 12 pares (2, 4, …, 24) y 13 impares. Por la regla de Laplace,

P(\text{par})=\dfrac{12}{25}=0{,}48

. (En los apartados siguientes se usa la aproximación normal de la binomial

B(n,\,0{,}48)

para 100 y 200 jugadas.)

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