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EvAU AragónConvocatoria ordinaria

Matemáticas EvAU Aragón 2023

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

9 ejercicios en EureQuiz

Practica este examen con variantes ilimitadas. Cada intento genera datos nuevos para que realmente aprendas el método.

  • Ejercicios que cambian cada vez
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Ejercicios del examen9 ejercicios

EvAU ARA 2023 — Pregunta 1 (b)Dificultad 3/5

Sea f(x)=a x−sen⁡xx+2f(x)=a\,x-\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}+2 si x≠0x\neq0 y f(0)=2f(0)=2. ¿Qué valor de aa hace que ff tenga un extremo relativo en x=−π2x=-\dfrac{\pi}{2}?

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Respuesta correcta — opción C

a=4π2a=\dfrac{4}{\pi^2}

Correcto. f′(x)=a−xcos⁡x−sen⁡xx2f'(x)=a-\dfrac{x\cos x-\operatorname{sen}x}{x^2}. En x=−π2x=-\tfrac{\pi}{2}: cos⁡=0\cos=0, sen⁡=−1\operatorname{sen}=-1, luego f′=a−1π2/4=a−4π2=0⇒a=4π2f'=a-\dfrac{1}{\pi^2/4}=a-\dfrac{4}{\pi^2}=0\Rightarrow a=\dfrac{4}{\pi^2}.
f′(x)=a−xcos⁡x−sen⁡xx2f'(x)=a-\dfrac{x\cos x-\operatorname{sen}x}{x^2}. En x=−π2x=-\tfrac{\pi}{2}: cos⁡(−π2)=0\cos\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=0, sen⁡(−π2)=−1\operatorname{sen}\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1, así que f′(−π2)=a−0−(−1)π2/4=a−4π2f'\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=a-\dfrac{0-(-1)}{\pi^2/4}=a-\dfrac{4}{\pi^2}. Igualando a 0: a=4π2≈0,405a=\dfrac{4}{\pi^2}\approx0{,}405. Como la derivada cambia de signo, es un extremo relativo.

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 2Dificultad 3/5

Calcula lim⁡x→+∞[(x+1)2x2+3x+1]ln⁡x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}\right]^{\ln x}.

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Respuesta correcta — opción A

11

Correcto. Es una indeterminación 1∞1^{\infty}. ln⁡L=lim⁡ln⁡x⋅ln⁡(x+1)2x2+3x+1≈ln⁡x⋅−xx2+3x+1→0\ln L=\lim \ln x\cdot\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}\approx\ln x\cdot\dfrac{-x}{x^2+3x+1}\to0, luego L=e0=1L=e^{0}=1.
Indeterminación 1∞1^{\infty}. Tomando logaritmos: ln⁡L=lim⁡x→+∞ln⁡x⋅ln⁡(x+1)2x2+3x+1\ln L=\lim_{x\to+\infty}\ln x\cdot\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}. Como (x+1)2x2+3x+1=1+−xx2+3x+1\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}=1+\dfrac{-x}{x^2+3x+1} y ln⁡(1+u)≈u\ln(1+u)\approx u, queda ln⁡L≈ln⁡x⋅−xx2+3x+1≈−ln⁡xx→0\ln L\approx\ln x\cdot\dfrac{-x}{x^2+3x+1}\approx\dfrac{-\ln x}{x}\to0. Por tanto L=e0=1L=e^{0}=1.

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 3Dificultad 3/5

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)=−x2+4xf(x)=-x^2+4x y la recta de pendiente 12\tfrac12 que corta a ff en x=72x=\tfrac72 (dicha recta es y=12xy=\tfrac12x). ¿Cuál es el área?

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Respuesta correcta — opción C

34348≈7,15\dfrac{343}{48}\approx7{,}15

Correcto. Los cortes son −x2+4x=12x⇒x=0-x^2+4x=\tfrac12x\Rightarrow x=0 y x=72x=\tfrac72. El área es ∫07/2(−x2+72x)dx=34348≈7,15\int_0^{7/2}\left(-x^2+\tfrac72x\right)dx=\dfrac{343}{48}\approx7{,}15.
La recta de pendiente 12\tfrac12 que corta a ff en x=72x=\tfrac72 pasa por (72,74)\left(\tfrac72,\tfrac74\right), luego es y=12xy=\tfrac12x. Cortes: −x2+4x=12x⇒−x2+72x=0⇒x=0, x=72-x^2+4x=\tfrac12x\Rightarrow -x^2+\tfrac72x=0\Rightarrow x=0,\ x=\tfrac72. En ese intervalo la parábola está por encima, así que el área es ∫07/2(−x2+72x)dx=[−x33+74x2]07/2=34348≈7,15\int_0^{7/2}\left(-x^2+\tfrac72x\right)dx=\left[-\tfrac{x^3}{3}+\tfrac74x^2\right]_0^{7/2}=\dfrac{343}{48}\approx7{,}15 u².

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 4 (a)Dificultad 3/5

Dada f(x)=2x−1x2−x−2f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}, ¿cuál es su dominio de definición?

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Respuesta correcta — opción B

(−∞, −1)∪(2, +∞)(-\infty,\,-1)\cup(2,\,+\infty)

Correcto. El radicando x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2=(x-2)(x+1) debe ser >0>0 (estricto, va en el denominador): x<−1x<-1 o x>2x>2.
El denominador x2−x−2\sqrt{x^2-x-2} exige x2−x−2>0x^2-x-2>0 (estricto, por estar en el denominador). Como x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2=(x-2)(x+1), el producto es positivo para x<−1x<-1 o x>2x>2. Dominio: (−∞,−1)∪(2,+∞)(-\infty,-1)\cup(2,+\infty). (Las asíntotas horizontales son y=2y=2 cuando x→+∞x\to+\infty e y=−2y=-2 cuando x→−∞x\to-\infty, con asíntotas verticales en x=−1x=-1 y x=2x=2.)

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 4 (b)Dificultad 3/5

Dada f(x)=2x−1x2−x−2f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}, ¿qué asíntotas horizontales tiene?

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Respuesta correcta — opción C

y=2y=2 (por la derecha) e y=−2y=-2 (por la izquierda)

Correcto. Para x→+∞x\to+\infty, x2−x−2≈x\sqrt{x^2-x-2}\approx x y f→2f\to2; para x→−∞x\to-\infty, x2−x−2≈−x\sqrt{x^2-x-2}\approx -x (pues x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) y f→−2f\to-2. Asíntotas y=2y=2 e y=−2y=-2.
Como x2−x−2∼∣x∣\sqrt{x^2-x-2}\sim|x| en el infinito: para x→+∞x\to+\infty, f(x)∼2xx=2f(x)\sim\dfrac{2x}{x}=2 (asíntota y=2y=2); para x→−∞x\to-\infty, f(x)∼2x−x=−2f(x)\sim\dfrac{2x}{-x}=-2 (asíntota y=−2y=-2). Además hay asíntotas verticales en x=−1x=-1 y x=2x=2 (bordes del dominio donde el denominador tiende a 0).

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 5 (a)Dificultad 3/5

Sean A=(−21201−1)A=\begin{pmatrix}-2&1\\2&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(1011−20)B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\-2&0\end{pmatrix} y D=A⋅BT−2ID=A\cdot B^{T}-2I (con II la identidad de orden 3). ¿Tiene DD inversa?

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Respuesta correcta — opción A

Sí, det⁡D=−4≠0\det D=-4\neq0

Correcto. A⋅BT=(−2−1422−410−2)A\cdot B^{T}=\begin{pmatrix}-2&-1&4\\2&2&-4\\1&0&-2\end{pmatrix}, luego D=ABT−2I=(−4−1420−410−4)D=A B^{T}-2I=\begin{pmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{pmatrix} y det⁡D=−4≠0\det D=-4\neq0: DD es invertible.
BT=(11−2010)B^{T}=\begin{pmatrix}1&1&-2\\0&1&0\end{pmatrix}. Entonces A⋅BT=(−2−1422−410−2)A\cdot B^{T}=\begin{pmatrix}-2&-1&4\\2&2&-4\\1&0&-2\end{pmatrix} y D=ABT−2I=(−4−1420−410−4)D=A B^{T}-2I=\begin{pmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{pmatrix}. Su determinante vale det⁡D=−4≠0\det D=-4\neq0, por lo que DD es invertible.

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 7 (a)Dificultad 3/5

Sea A=(121−1−2)A=\begin{pmatrix}\tfrac12&1\\-1&-2\end{pmatrix}. Calcula AnA^{n} para n∈Nn\in\mathbb{N}. ¿Cuál es la expresión correcta?

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Respuesta correcta — opción B

An=(−32)n−1AA^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n-1}A

Correcto. Como det⁡A=0\det A=0 y tr⁡A=−32\operatorname{tr}A=-\tfrac32, por Cayley-Hamilton A2=−32AA^2=-\tfrac32A. Por inducción, An=(−32)n−1AA^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n-1}A.
det⁡A=12⋅(−2)−1⋅(−1)=−1+1=0\det A=\tfrac12\cdot(-2)-1\cdot(-1)=-1+1=0 y tr⁡A=12−2=−32\operatorname{tr}A=\tfrac12-2=-\tfrac32. Por Cayley-Hamilton A2−(tr⁡A)A+(det⁡A)I=0⇒A2=−32AA^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=0\Rightarrow A^2=-\tfrac32A. Por inducción An=(−32)n−1AA^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n-1}A para todo n≥1n\ge1.

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 8Dificultad 3/5

El plano π≡2x+by−2z+4=0\pi\equiv 2x+by-2z+4=0 (con b≠0b\neq0) corta a los ejes coordenados en tres puntos AA, BB y CC. ¿Para qué valores de bb el área del triángulo ABCABC es 66 u²?

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Respuesta correcta — opción D

b=±1b=\pm1

Correcto. Cortes: A(−2,0,0)A(-2,0,0), B(0,−4b,0)B\left(0,-\tfrac{4}{b},0\right), C(0,0,2)C(0,0,2). El área 12∣AB⃗×AC⃗∣=6\tfrac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|=6 conduce a b=±1b=\pm1.
Cortes con los ejes: A(−2,0,0)A(-2,0,0) (en OXOX), B(0,−4b,0)B\left(0,-\tfrac{4}{b},0\right) (en OYOY), C(0,0,2)C(0,0,2) (en OZOZ). El área del triángulo es 12∣AB⃗×AC⃗∣\tfrac12\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|. Al imponerla igual a 6 se obtiene una ecuación par en bb cuyas soluciones son b=1b=1 y b=−1b=-1.

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 10 (a)Dificultad 3/5

El contenido en sulfitos del vino de una bodega sigue una distribución normal de media 150150 mg/l y desviación típica 3030 mg/l. Se desechan los vinos con más de 200200 mg/l. ¿Cuál es la probabilidad de que un vino se deseche?

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Respuesta correcta — opción A

≈0,0475\approx0{,}0475

Correcto. z=200−15030≈1,67z=\dfrac{200-150}{30}\approx1{,}67. P(X>200)=P(Z>1,67)=1−Φ(1,67)=1−0,9525=0,0475P(X>200)=P(Z>1{,}67)=1-\Phi(1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475 (≈ 4,75 %).
Tipificando: z=200−15030=5030≈1,67z=\dfrac{200-150}{30}=\dfrac{50}{30}\approx1{,}67. Se desecha si X>200X>200: P(X>200)=P(Z>1,67)=1−Φ(1,67)=1−0,9525=0,0475P(X>200)=P(Z>1{,}67)=1-\Phi(1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475, es decir un ≈4,75%\approx4{,}75\% de los vinos. (En el apartado b, P(110<X<150)=Φ(1,33)−0,5=0,4082P(110<X<150)=\Phi(1{,}33)-0{,}5=0{,}4082, un ≈40,82%\approx40{,}82\%.)

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