EBAU MurciaConvocatòria ordinaria

Matemáticas EBAU Murcia 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
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Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 1a (Álgebra)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 1a (Álgebra) — Determinante de una matriz $3\times3$

Se da la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

¿Cuál es el valor del determinante $\det(A)$ ?

\det(A) = 3

\det(A) = 1

\det(A) = 5

\det(A) = -3

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\det(A) = 3$

Correcto. Desarrollando por la primera fila:

\det(A) = 2(3\cdot1 - 2\cdot1) - 0 + 1(1\cdot1 - 3\cdot0) = 2(1) + 1(1) = 3

Desarrollando el determinante por la primera fila con signos

+,-,+

\det(A) = 2\cdot\det\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix} - 0\cdot(\dots) + 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix} = 2(3-2) + 1(1-0) = 2 + 1 = 3

. Como

\det(A) = 3 \neq 0

, la matriz es invertible.

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EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 1b (Álgebra)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 1b (Álgebra) — Rango de una matriz

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , cuyo determinante vale $3$ .

¿Cuál es el rango de la matriz $A$ ?

\text{rango}(A) = 3

\text{rango}(A) = 2

\text{rango}(A) = 1

\text{rango}(A) = 4

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\text{rango}(A) = 3$

Correcto. Como

\det(A) = 3 \neq 0

, las tres filas son linealmente independientes y el rango es máximo:

\text{rango}(A) = 3

El rango de una matriz es el orden del mayor menor con determinante no nulo. Para una matriz

3\times3

, si su determinante completo es distinto de cero, el rango es máximo. Como

\det(A) = 3 \neq 0

, las tres filas son linealmente independientes y

\text{rango}(A) = 3

. La matriz es regular (invertible).

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EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 2a (Análisis)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 2a (Análisis) — Derivada y crecimiento

Se da la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .

¿En qué intervalo la función es decreciente?

(0, 2)

(-\infty, 0)

(2, +\infty)

DEn todo

\mathbb{R}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(0, 2)$

Correcto.

f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)

, que es negativa entre sus raíces

x = 0

x = 2

. La función decrece en

(0, 2)

El crecimiento se estudia con el signo de la derivada.

f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)

, con raíces

x = 0

x = 2

. El producto es negativo entre las raíces, así que

f'(x) < 0

(0, 2)

: la función decrece en ese intervalo y crece fuera de él. En

x = 0

hay un máximo relativo y en

x = 2

un mínimo relativo.

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EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 2b (Análisis)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 2b (Análisis) — Integral definida

Calcula la integral definida $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx$ .

4

8

12

2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$4$

Correcto. La primitiva es

x^3 - x^2

. Evaluando:

(2^3 - 2^2) - (0 - 0) = 8 - 4 = 4

Aplicamos la regla de Barrow. Una primitiva de

3x^2 - 2x

F(x) = x^3 - x^2

. Entonces

\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx = F(2) - F(0) = (2^3 - 2^2) - (0^3 - 0^2) = (8 - 4) - 0 = 4

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EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 3a (Geometría)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 3a (Geometría) — Producto escalar y ángulo

Se dan los vectores $\vec{u} = (1, 2, 2)$ y $\vec{v} = (2, -1, 2)$ .

¿Cuál es el producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ ?

\vec{u}\cdot\vec{v} = 4

\vec{u}\cdot\vec{v} = 8

\vec{u}\cdot\vec{v} = 0

\vec{u}\cdot\vec{v} = -4

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 4$

Correcto.

\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2 = 2 - 2 + 4 = 4

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes:

\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2 = 2 - 2 + 4 = 4

. Como es distinto de 0, los vectores no son perpendiculares. Este valor permite además calcular el ángulo mediante

\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

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EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 3b (Geometría)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 3b (Geometría) — Módulo de un vector

Para el vector $\vec{u} = (1, 2, 2)$ , calcula su módulo $|\vec{u}|$ .

|\vec{u}| = 3

|\vec{u}| = 5

|\vec{u}| = 9

|\vec{u}| = \sqrt{5}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$|\vec{u}| = 3$

Correcto.

|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

El módulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes:

|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

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EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 4a (Probabilidad)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 4a (Probabilidad) — Probabilidad condicionada

En una bolsa hay 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento.

¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

\dfrac{5}{14} \approx 0{,}357

\dfrac{25}{64}

\dfrac{5}{8}

\dfrac{10}{56}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\dfrac{5}{14} \approx 0{,}357$

Correcto.

P(R_1 \cap R_2) = \dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}357

Al extraer sin reemplazamiento, la composición de la bolsa cambia. Por la regla del producto,

P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)\cdot P(R_2|R_1)

. La primera roja tiene probabilidad

5/8

; tras sacarla quedan 4 rojas de 7 bolas, así que la segunda es

4/7

. Entonces

P = \dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}357

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EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 4b (Probabilidad)Dificultat 3/5

EBAU Murcia 2024 — Ejercicio 4b (Probabilidad) — Teorema de la probabilidad total

Dos máquinas producen piezas: la máquina A fabrica el 60 % y la B el 40 %. La A produce un 2 % de piezas defectuosas y la B un 5 %.

¿Cuál es la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa?

P(D) = 0{,}032

P(D) = 0{,}07

P(D) = 0{,}035

P(D) = 0{,}05

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P(D) = 0{,}032$

Correcto. Por probabilidad total:

P(D) = 0{,}60\cdot0{,}02 + 0{,}40\cdot0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

(3,2 %).

El teorema de la probabilidad total combina las contribuciones de cada origen ponderadas por su probabilidad:

P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) = 0{,}60\cdot0{,}02 + 0{,}40\cdot0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

, es decir un 3,2 % de piezas defectuosas. La máquina B, aunque produce menos, aporta más defectos por su mayor tasa.

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