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PAU CataluñaConvocatoria ordinaria

Matemáticas II PAU Cataluña 2023

Matemàtiques II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 3 horas
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
PDF oficial del examen

3 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen3 ejercicios

PAU CAT 2023 — Qüestió 2Dificultad 3/5

Dadas las matrices A=(2−3−5−1451−3−4)A=\begin{pmatrix}2&-3&-5\\-1&4&5\\1&-3&-4\end{pmatrix} y B=(220−1−10121)B=\begin{pmatrix}2&2&0\\-1&-1&0\\1&2&1\end{pmatrix}, calcula el producto A⋅BA\cdot B. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

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Respuesta correcta — opción B

A⋅B=AA\cdot B=A

Correcto. Multiplicando fila por columna se obtiene A⋅B=AA\cdot B=A. Por ejemplo, la primera fila: (2,−3,−5)⋅B=(2⋅2−3⋅(−1)−5⋅1, 2⋅2−3⋅(−1)−5⋅2, −5)=(2,−3,−5)(2,-3,-5)\cdot B=(2\cdot2-3\cdot(-1)-5\cdot1,\ 2\cdot2-3\cdot(-1)-5\cdot2,\ -5)=(2,-3,-5). Las tres filas reproducen las de AA, por lo que A⋅B=AA\cdot B=A.
Multiplicando fila por columna se comprueba que A⋅B=AA\cdot B=A y B⋅A=BB\cdot A=B. En consecuencia, tomando C=AC=A y D=BD=B se cumple C⋅D=CC\cdot D=C y D⋅C=DD\cdot C=D. Entonces C2=C⋅C=(C⋅D)⋅C=C⋅(D⋅C)=C⋅D=CC^2=C\cdot C=(C\cdot D)\cdot C=C\cdot(D\cdot C)=C\cdot D=C, luego CC es idempotente; de forma análoga D2=DD^2=D. La afirmación correcta sobre el producto pedido es A⋅B=AA\cdot B=A.

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PAU CAT 2023 — Qüestió 3Dificultad 3/5

La derivada de una función derivable f(x)f(x) es f′(x)={x−1si x<21x−1si x>2f'(x)=\begin{cases}x-1&\text{si }x<2\\[4pt]\dfrac{1}{x-1}&\text{si }x>2\end{cases} y se sabe que f(0)=3f(0)=3. ¿Cuál es la expresión de f(x)f(x) para x<2x<2?

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Respuesta correcta — opción A

f(x)=x22−x+3f(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+3

Correcto. Para x<2x<2 se integra f′(x)=x−1f'(x)=x-1: f(x)=x22−x+C1f(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+C_1. Imponiendo f(0)=3f(0)=3 resulta C1=3C_1=3, luego f(x)=x22−x+3f(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+3.
Para x<2x<2: f(x)=∫(x−1) dx=x22−x+C1f(x)=\int(x-1)\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+C_1. Con f(0)=3f(0)=3 se obtiene C1=3C_1=3, luego f(x)=x22−x+3f(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+3. Para x>2x>2: f(x)=ln⁡∣x−1∣+C2f(x)=\ln|x-1|+C_2, y por continuidad en x=2x=2 (f(2−)=42−2+3=3f(2^-)=\tfrac42-2+3=3) resulta C2=3C_2=3, así que f(x)=ln⁡(x−1)+3f(x)=\ln(x-1)+3. La recta tangente a ff en x=3x=3 es y=x2+ln⁡2+32y=\tfrac{x}{2}+\ln 2+\tfrac32 (pues f(3)=ln⁡2+3f(3)=\ln 2+3 y f′(3)=12f'(3)=\tfrac12).

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PAU CAT 2023 — Qüestió 4Dificultad 3/5

Dado el sistema {x+2y+(2+λ)z=0(2+λ)x+y+2z=32x+(2+λ)y+z=−3\begin{cases}x+2y+(2+\lambda)z=0\\(2+\lambda)x+y+2z=3\\2x+(2+\lambda)y+z=-3\end{cases}, que depende del parámetro real λ\lambda, ¿para qué valor(es) de λ\lambda es compatible indeterminado (SCI)?

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Respuesta correcta — opción A

λ=−1\lambda=-1

Correcto. El determinante de la matriz de coeficientes es 9(λ3+1)=9(λ+1)(λ2−λ+1)9(\lambda^3+1)=9(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1). Como λ2−λ+1>0\lambda^2-\lambda+1>0 para todo λ\lambda (discriminante negativo), el único valor que lo anula es λ=−1\lambda=-1, donde el sistema resulta SCI.
El determinante de la matriz de coeficientes es det⁡=9(λ3+1)=9(λ+1)(λ2−λ+1)\det=9(\lambda^3+1)=9(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1). El factor cuadrático tiene discriminante 1−4=−3<01-4=-3<0, luego es siempre positivo. Así, det⁡=0\det=0 solo en λ=−1\lambda=-1. Para λ≠−1\lambda\neq-1 el sistema es compatible determinado (SCD). Para λ=−1\lambda=-1 es compatible indeterminado (SCI) con solución x=t+2x=t+2, y=t+1y=t+1, z=tz=t, t∈Rt\in\mathbb{R}.

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