PAU CataluñaConvocatoria ordinaria

Matemáticas II PAU Cataluña 2024

Matemàtiques II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

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3 horas
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Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen3 ejercicios

PAU CAT 2024 — Qüestió 2Dificultad 3/5

Sea el sistema $\begin{cases}4x+2y-z=4\\x-y+kz=3\\3x+3y=1\end{cases}$ , que depende del parámetro real $k$ . ¿Cuántas soluciones tiene el sistema cuando $k=0$ ?

ASolución única:

\left(\tfrac53,\,-\tfrac43,\,0\right)

BInfinitas soluciones

CSin solución (incompatible)

DSolución única:

(1,\,-2,\,0)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Solución única: $\left(\tfrac53,\,-\tfrac43,\,0\right)$

Correcto. El determinante de coeficientes es

-6k-6

, que para

k=0

vale

-6\neq0

: el sistema es compatible determinado. Resolviendo (con

k=0

): de la 3.ª,

x+y=\tfrac13

; de la 2.ª,

x-y=3

; sumando,

x=\tfrac53

y=-\tfrac43

, y de la 1.ª,

z=0

. Solución única

\left(\tfrac53,-\tfrac43,0\right)

El determinante de la matriz de coeficientes es

\det=-6k-6

, que se anula solo en

k=-1

. Para

k=0

\det=-6\neq0

: sistema compatible determinado. Con

k=0

: de

3x+3y=1

sale

x+y=\tfrac13

; de

x-y=3

, restando,

2y=\tfrac13-3=-\tfrac83\Rightarrow y=-\tfrac43

x=\tfrac53

; de

4x+2y-z=4

\tfrac{20}{3}-\tfrac83-z=4\Rightarrow z=0

. Solución única

\left(\tfrac53,-\tfrac43,0\right)

. (Para

k=-1

el sistema es compatible indeterminado.)

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PAU CAT 2024 — Qüestió 3Dificultad 3/5

Un terreno está limitado por la curva $y=f(x)$ , con $f(x)=-x^3+7x^2-6x+5$ , y por la recta horizontal $y=5$ . La curva corta a esa recta en tres puntos: $P$ , $Q$ y $R$ . El terreno queda comprendido entre la curva y la recta $PR$ desde $P$ hasta $R$ . ¿Cuál es la superficie del terreno?

72

u²

\tfrac{875}{12}\approx 72{,}92

u²

\tfrac{443}{6}\approx 73{,}83

u²

\tfrac{11}{12}\approx 0{,}92

u²

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$\tfrac{443}{6}\approx 73{,}83$ u²

Correcto.

f(x)=5\Rightarrow -x^3+7x^2-6x=0\Rightarrow x=0,1,6

, así que

P(0,5)

Q(1,5)

R(6,5)

y la recta

PR

y=5

. El área es

\left|\int_0^1(f-5)\right|+\left|\int_1^6(f-5)\right|=\tfrac{11}{12}+\tfrac{875}{12}=\tfrac{886}{12}=\tfrac{443}{6}\approx73{,}83

u².

Cortes con

y=5

-x^3+7x^2-6x+5=5\Rightarrow -x(x^2-7x+6)=0\Rightarrow x=0,1,6

. Luego

P(0,5)

Q(1,5)

R(6,5)

y la recta

PR

y=5

. La superficie es

\int_0^6|f(x)-5|\,dx

con

f(x)-5=-x^3+7x^2-6x

. Primitiva:

G(x)=-\tfrac{x^4}{4}+\tfrac{7x^3}{3}-3x^2

. En

[0,1]

G(1)-G(0)=-\tfrac{11}{12}

(área

\tfrac{11}{12}

); en

[1,6]

G(6)-G(1)=\tfrac{875}{12}

. Área total

=\tfrac{11}{12}+\tfrac{875}{12}=\tfrac{886}{12}=\tfrac{443}{6}\approx73{,}83

u².

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PAU CAT 2024 — Qüestió 4Dificultad 3/5

En una bolsa hay $9$ bolas: $3$ marcadas con la letra $A$ , $2$ con la $E$ , $2$ con la $N$ y $2$ con la $D$ . Se extraen dos bolas al azar, una tras otra y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea una $A$ o una $E$ ?

\tfrac{1}{3}

\tfrac{5}{9}

\tfrac{5}{8}

\tfrac{2}{9}

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$\tfrac{5}{9}$

Correcto. Son sucesos incompatibles, así que

P(A\text{ o }E)=P(A)+P(E)=\dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{9}

. La extracción de la segunda bola no afecta a la primera.

La primera bola se extrae de la bolsa completa (

9

bolas). "

A

E

" son sucesos incompatibles:

P(A\cup E)=P(A)+P(E)=\dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{9}

. (En el apartado siguiente, la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes es

1-P(\text{iguales})=1-\dfrac{C(3,2)+C(2,2)\cdot3}{C(9,2)}=1-\dfrac{6}{36}=\dfrac{5}{6}

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