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EvAU AndalucíaConvocatoria ordinaria

Matemáticas EvAU Andalucía 2022

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

Practica este examen con variantes ilimitadas. Cada intento genera datos nuevos para que realmente aprendas el método.

  • Ejercicios que cambian cada vez
  • Explicación detallada
  • XP y seguimiento de progreso
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Ejercicios del examen8 ejercicios

PEvAU AND 2022 — A.1Dificultad 3/5

Sea ff continua definida por f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} si x<−1x<-1, f(x)=ax+bf(x)=ax+b si −1≤x<1-1\le x<1, y f(x)=x2x+1f(x)=\frac{x^2}{x+1} si x≥1x\ge 1. ¿Qué valores de aa y bb hacen ff continua en x=−1x=-1 y x=1x=1?

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Respuesta correcta — opción A

a=34a=\dfrac{3}{4}, b=−14b=-\dfrac{1}{4}

¡Correcto! Continuidad en x=−1x=-1: 1−1=−a+b⇒−a+b=−1\frac{1}{-1}=-a+b\Rightarrow -a+b=-1. Continuidad en x=1x=1: a+b=121+1=12a+b=\frac{1^2}{1+1}=\frac{1}{2}. Resolviendo: a=34a=\frac{3}{4}, b=−14b=-\frac{1}{4}.
Continuidad en x=−1x=-1: f(−1−)=1−1=−1f(-1^-)=\frac{1}{-1}=-1 debe igualar a(−1)+ba(-1)+b, luego −a+b=−1-a+b=-1. Continuidad en x=1x=1: a(1)+b=121+1=12a(1)+b=\frac{1^2}{1+1}=\frac12, luego a+b=12a+b=\frac12. Sumando: 2b=−12⇒b=−142b=-\frac12\Rightarrow b=-\frac14; restando: 2a=32⇒a=342a=\frac32\Rightarrow a=\frac34.

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PEvAU AND 2022 — A.2Dificultad 3/5

De entre los rectángulos con lados paralelos a los ejes inscritos en la región limitada por f(x)=4−x23f(x)=4-\frac{x^2}{3} y g(x)=x26−2g(x)=\frac{x^2}{6}-2 (simétricos respecto del eje YY), ¿en qué abscisa x>0x>0 se alcanza el área máxima?

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Respuesta correcta — opción A

x=2x = 2

¡Correcto! La altura es f(x)−g(x)=6−x22f(x)-g(x)=6-\frac{x^2}{2} y la base 2x2x. Área S(x)=2x(6−x22)=12x−x3S(x)=2x\left(6-\frac{x^2}{2}\right)=12x-x^3. S′(x)=12−3x2=0⇒x=2S'(x)=12-3x^2=0\Rightarrow x=2.
Altura =f(x)−g(x)=6−x22=f(x)-g(x)=6-\frac{x^2}{2}; base =2x=2x (simetría). Área S(x)=2x(6−x22)=12x−x3S(x)=2x\left(6-\frac{x^2}{2}\right)=12x-x^3. Máximo: S′(x)=12−3x2=0⇒x2=4⇒x=2S'(x)=12-3x^2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2 (S′′(2)=−12<0S''(2)=-12<0, máximo).

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PEvAU AND 2022 — A.3Dificultad 3/5

Sea f(x)=2x+4f(x)=2x+4 si x<0x<0 y f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2 si x≥0x\ge 0. ¿Cuál es el área del recinto limitado por la gráfica de ff y el eje de abscisas?

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Respuesta correcta — opción A

203\dfrac{20}{3}

¡Correcto! Cortes con el eje X: 2x+4=0⇒x=−22x+4=0\Rightarrow x=-2; (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^2=0\Rightarrow x=2. Área =∫−20(2x+4) dx+∫02(x−2)2 dx=4+83=203=\int_{-2}^{0}(2x+4)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx = 4 + \frac{8}{3}=\frac{20}{3}.
La recta 2x+42x+4 corta el eje en x=−2x=-2 y la parábola (x−2)2(x-2)^2 lo toca en x=2x=2. Área =∫−20(2x+4) dx+∫02(x−2)2 dx=4+83=203=\int_{-2}^{0}(2x+4)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}.

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PEvAU AND 2022 — A.4Dificultad 3/5

Sea f(x)=x3x2−2x+1f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-2x+1} para x≠1x\neq 1. La descomposición da f(x)=x+2+3x−2(x−1)2f(x)=x+2+\dfrac{3x-2}{(x-1)^2}. Halla la primitiva FF de ff que pasa por el punto (2,6)(2,6). ¿Cuánto vale la constante de integración CC?

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Respuesta correcta — opción A

C=1C = 1

¡Correcto! F(x)=x22+2x+3ln⁡∣x−1∣−1x−1+CF(x)=\frac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C. En (2,6)(2,6): 2+4+0−1+C=6⇒C=12+4+0-1+C=6\Rightarrow C=1.
Integrando f(x)=x+2+3x−1+1(x−1)2f(x)=x+2+\frac{3}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2} se obtiene F(x)=x22+2x+3ln⁡∣x−1∣−1x−1+CF(x)=\frac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C. En (2,6)(2,6): 2+4+3ln⁡1−1+C=5+C=6⇒C=12+4+3\ln 1-1+C=5+C=6\Rightarrow C=1.

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PEvAU AND 2022 — B.5Dificultad 3/5

Considera el sistema {x−y+mz=−3−mx+3y−z=1x−4y+mz=−6\begin{cases} x-y+mz=-3 \\ -mx+3y-z=1 \\ x-4y+mz=-6 \end{cases}. El determinante de la matriz de coeficientes es (m−2)(m+...)(m-2)(m+...) y se anula en m=2m=2 y m=−1m=-1. ¿Para qué valor de mm el sistema es compatible determinado entre los siguientes?

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Respuesta correcta — opción A

m=0m = 0

¡Correcto! El determinante se anula solo en m=2m=2 y m=−1m=-1. Para m=0m=0, el determinante es no nulo, así que el sistema tiene solución única (compatible determinado).
El determinante de la matriz de coeficientes se anula en m=2m=2 y m=−1m=-1. Para cualquier otro valor (por ejemplo m=0m=0), el determinante es no nulo y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado (solución única).

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PEvAU AND 2022 — B.6Dificultad 3/5

Sea A=(mmmmm1m1m)A=\begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m & 1 \\ m & 1 & m \end{pmatrix} con m≠0m\neq 0. ¿Para qué valores de mm la matriz AA tiene inversa?

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Respuesta correcta — opción A

m≠0m \neq 0 y m≠1m \neq 1

¡Correcto! det⁡(A)=−m(m−1)2\det(A)=-m(m-1)^2 (desarrollando). La inversa existe si det⁡(A)≠0\det(A)\neq 0, es decir cuando m≠0m\neq 0 y m≠1m\neq 1.
Desarrollando, det⁡(A)=−m(m−1)2\det(A)=-m(m-1)^2, que se anula en m=0m=0 y m=1m=1. La inversa existe si det⁡(A)≠0\det(A)\neq 0. Dado que el enunciado ya impone m≠0m\neq 0, la condición es m≠0m\neq 0 y m≠1m\neq 1.

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PEvAU AND 2022 — B.7.aDificultad 3/5

Dados u⃗=(−1,2,3)\vec{u}=(-1,2,3) y v⃗=(2,0,−1)\vec{v}=(2,0,-1), ¿qué valores de aa y bb hacen que w⃗=(1,a,b)\vec{w}=(1,a,b) sea ortogonal a u⃗\vec{u} y a v⃗\vec{v}?

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Respuesta correcta — opción A

a=−52a=-\dfrac{5}{2}, b=2b=2

¡Correcto! w⃗⋅v⃗=2−b=0⇒b=2\vec{w}\cdot\vec{v}=2-b=0\Rightarrow b=2. w⃗⋅u⃗=−1+2a+3b=0⇒−1+2a+6=0⇒a=−52\vec{w}\cdot\vec{u}=-1+2a+3b=0\Rightarrow -1+2a+6=0\Rightarrow a=-\frac{5}{2}.
Ortogonalidad con v⃗\vec{v}: w⃗⋅v⃗=2−b=0⇒b=2\vec{w}\cdot\vec{v}=2-b=0\Rightarrow b=2. Ortogonalidad con u⃗\vec{u}: w⃗⋅u⃗=−1+2a+3b=−1+2a+6=0⇒2a=−5⇒a=−52\vec{w}\cdot\vec{u}=-1+2a+3b=-1+2a+6=0\Rightarrow 2a=-5\Rightarrow a=-\frac52.

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PEvAU AND 2022 — B.8Dificultad 3/5

Sea la recta r: x−2=y−1=z−12r:\ x-2=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{2} y la recta ss por P(1,2,3)P(1,2,3) con director v⃗=(1+a,−a,3a)\vec{v}=(1+a,-a,3a). ¿Qué valor de aa hace que rr y ss sean perpendiculares?

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Respuesta correcta — opción A

a=−18a = -\dfrac{1}{8}

¡Correcto! Director de rr: u⃗=(1,−1,2)\vec{u}=(1,-1,2). Perpendicularidad: u⃗⋅v⃗=(1+a)+a+6a=1+8a=0⇒a=−18\vec{u}\cdot\vec{v}=(1+a)+a+6a=1+8a=0\Rightarrow a=-\frac{1}{8}.
Director de rr: u⃗=(1,−1,2)\vec{u}=(1,-1,2). Perpendicularidad exige u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0: 1(1+a)+(−1)(−a)+2(3a)=1+a+a+6a=1+8a=0⇒a=−181(1+a)+(-1)(-a)+2(3a)=1+a+a+6a=1+8a=0\Rightarrow a=-\frac{1}{8}.

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