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EAU País VascoConvocatoria ordinaria

Matemáticas EAU País Vasco 2025

Matemáticas II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EAU EUS 2025 — Álgebra (sistema homogéneo)Dificultad 3/5

Un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas con det⁡(A)≠0\det(A)\ne0 tiene:

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Respuesta correcta — opción A

Solo la solución trivial (0,0,0)

¡Correcto! Si det⁡(A)≠0\det(A)\ne0, el único resultado es la solución trivial x=y=z=0x=y=z=0.
Todo sistema homogéneo es compatible porque siempre admite la solución trivial (0,0,0)(0,0,0). Tendrá además soluciones no triviales (infinitas) únicamente cuando det⁡(A)=0\det(A)=0. Como aquí det⁡(A)≠0\det(A)\ne0 (rango máximo = número de incógnitas), la única solución es la trivial.

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EAU EUS 2025 — Propiedad de determinantesDificultad 3/5

Si en una matriz se intercambian dos filas, su determinante:

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Respuesta correcta — opción B

Cambia de signo

¡Correcto! Intercambiar dos filas (o columnas) cambia el signo del determinante.
Una de las propiedades fundamentales de los determinantes es que al intercambiar dos filas (o dos columnas) el determinante cambia de signo. Esto se debe a que una transposición es una permutación impar. Si las dos filas intercambiadas fuesen iguales, el determinante valdría 0.

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EAU EUS 2025 — Continuidad (teorema de Bolzano)Dificultad 3/5

¿Qué garantiza el teorema de Bolzano para una función continua en [a,b][a,b] con f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0?

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Respuesta correcta — opción C

Que existe c∈(a,b)c\in(a,b) con f(c)=0f(c)=0

¡Correcto! Garantiza que existe al menos un c∈(a,b)c\in(a,b) con f(c)=0f(c)=0.
El teorema de Bolzano afirma que si ff es continua en [a,b][a,b] y toma valores de signo opuesto en los extremos (f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0), entonces existe al menos un punto c∈(a,b)c\in(a,b) con f(c)=0f(c)=0. Es decir, la función tiene al menos una raíz en el intervalo abierto.

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EAU EUS 2025 — Derivada (cociente)Dificultad 3/5

Calcula la derivada de f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{x}{x+1}.

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Respuesta correcta — opción A

1(x+1)2\dfrac{1}{(x+1)^2}

¡Correcto! Regla del cociente: f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}.
Por la regla del cociente (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, con u=xu=x (u′=1u'=1) y v=x+1v=x+1 (v′=1v'=1): f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}.

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EAU EUS 2025 — Integral definidaDificultad 3/5

Calcula ∫1e1x dx\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx.

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Respuesta correcta — opción B

1

¡Correcto! ∫1e1x dx=[ln⁡x]1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\int_1^e\frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.
La primitiva de 1x\frac{1}{x} es ln⁡∣x∣\ln|x|. Por la regla de Barrow, ∫1e1x dx=[ln⁡x]1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\int_1^e\frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.

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EAU EUS 2025 — Geometría (ángulo entre vectores)Dificultad 3/5

Dados u⃗=(1,0,0)\vec{u}=(1,0,0) y v⃗=(0,1,0)\vec{v}=(0,1,0), ¿qué ángulo forman?

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Respuesta correcta — opción C

90°

¡Correcto! u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0, luego son perpendiculares: forman 90°.
El ángulo entre dos vectores cumple cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}. Aquí u⃗⋅v⃗=1⋅0+0⋅1+0⋅0=0\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=0, así que cos⁡θ=0\cos\theta=0 y θ=90°\theta=90°: los vectores de la base canónica i⃗\vec{i} y j⃗\vec{j} son perpendiculares.

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EAU EUS 2025 — Geometría (producto mixto y volumen)Dificultad 3/5

El volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores se calcula con:

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Respuesta correcta — opción D

El valor absoluto del producto mixto

¡Correcto! El volumen es el valor absoluto del producto mixto: ∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|.
El volumen del paralelepípedo definido por tres vectores u⃗,v⃗,w⃗\vec{u},\vec{v},\vec{w} es el valor absoluto de su producto mixto: V=∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣V=|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|, que coincide con el valor absoluto del determinante formado por las componentes de los tres vectores.

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EAU EUS 2025 — Probabilidad (sucesos independientes)Dificultad 3/5

Si AA y BB son independientes con P(A)=0,3P(A)=0,3 y P(B)=0,5P(B)=0,5, ¿cuánto vale P(A∩B)P(A\cap B)?

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Respuesta correcta — opción A

0,15

¡Correcto! Para sucesos independientes, P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0,3⋅0,5=0,15P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,3\cdot0,5=0,15.
Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la del otro, lo que se traduce en P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B). Aquí 0,3⋅0,5=0,150,3\cdot0,5=0,15.

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