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EBAU MurciaConvocatoria ordinaria

Matemáticas EBAU Murcia 2025

Matemáticas II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU MUR 2025 — Álgebra (producto de matrices)Dificultad 3/5

Dadas A=(1002)A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix} y B=(3111)B=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}, ¿cuál es el producto A⋅BA\cdot B?

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Respuesta correcta — opción A

(3122)\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}

¡Correcto! Como AA es diagonal, multiplica las filas de BB por 1 y 2: (3122)\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.
El producto matricial se hace fila por columna. Como AA es diagonal con entradas 1 y 2, premultiplicar por AA equivale a multiplicar la primera fila de BB por 1 y la segunda por 2: A⋅B=(3122)A\cdot B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.

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EBAU MUR 2025 — Regla de CramerDificultad 3/5

Para el sistema {2x+y=4x−y=−1\begin{cases}2x+y=4\\x-y=-1\end{cases}, ¿cuánto vale xx por la regla de Cramer?

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Respuesta correcta — opción A

x = 1

¡Correcto! det⁡(A)=2⋅(−1)−1⋅1=−3\det(A)=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3. det⁡(Ax)=∣41−1−1∣=−4+1=−3\det(A_x)=\begin{vmatrix}4&1\\-1&-1\end{vmatrix}=-4+1=-3. x=−3−3=1x=\frac{-3}{-3}=1.
Por la regla de Cramer, x=det⁡(Ax)det⁡(A)x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}. El determinante del sistema es det⁡(A)=2⋅(−1)−1⋅1=−3\det(A)=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3. Sustituyendo la columna de xx por los términos independientes: det⁡(Ax)=∣41−1−1∣=−4−(−1)=−3\det(A_x)=\begin{vmatrix}4&1\\-1&-1\end{vmatrix}=-4-(-1)=-3. Entonces x=−3−3=1x=\frac{-3}{-3}=1.

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EBAU MUR 2025 — Límites (regla de L'Hôpital)Dificultad 3/5

Calcula lim⁡x→0ex−1x\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}.

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Respuesta correcta — opción B

1

¡Correcto! Indeterminación 0/0; por L'Hôpital lim⁡ex1=e0=1\lim\frac{e^x}{1}=e^0=1.
Al sustituir x=0x=0 resulta e0−10=00\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}, indeterminación. Aplicando la regla de L'Hôpital (derivando numerador y denominador): lim⁡x→0ex1=e0=1\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1. Este es además un límite notable que coincide con la derivada de exe^x en 0.

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EBAU MUR 2025 — Estudio de funciones (extremos)Dificultad 3/5

¿En qué punto tiene f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x un máximo relativo?

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Respuesta correcta — opción C

x=−1x = -1

¡Correcto! f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1. En x=−1x=-1, f′′(−1)=−6<0f''(-1)=-6<0: máximo relativo.
Los puntos críticos se obtienen de f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1. Para clasificarlos se usa la segunda derivada f′′(x)=6xf''(x)=6x: en x=−1x=-1, f′′(−1)=−6<0f''(-1)=-6<0 (máximo relativo); en x=1x=1, f′′(1)=6>0f''(1)=6>0 (mínimo relativo). Por tanto, el máximo relativo está en x=−1x=-1.

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EBAU MUR 2025 — Integral inmediataDificultad 3/5

Calcula ∫1x dx\int \dfrac{1}{x}\,dx.

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Respuesta correcta — opción B

ln⁡∣x∣+C\ln|x|+C

¡Correcto! ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
La regla de la potencia ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} no es válida para n=−1n=-1. La integral ∫1x dx\int\frac{1}{x}\,dx es un caso especial cuya primitiva es el logaritmo: ln⁡∣x∣+C\ln|x|+C (con valor absoluto para cubrir x<0x<0).

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EBAU MUR 2025 — Geometría (posición relativa)Dificultad 3/5

Dos rectas en el espacio con vectores directores proporcionales y un punto en común son:

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Respuesta correcta — opción C

Coincidentes

¡Correcto! Directores proporcionales (misma dirección) y un punto común: las rectas coinciden.
Si los vectores directores son proporcionales, las dos rectas tienen la misma dirección, por lo que solo pueden ser paralelas o coincidentes. La diferencia la marca si comparten o no algún punto: como aquí tienen un punto en común, las rectas son coincidentes (la misma recta).

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EBAU MUR 2025 — Geometría (módulo de un vector)Dificultad 3/5

Calcula el módulo del vector v⃗=(3,−4,0)\vec{v}=(3,-4,0).

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Respuesta correcta — opción A

5

¡Correcto! ∣v⃗∣=32+(−4)2+02=9+16=25=5|\vec{v}|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
El módulo de un vector v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v}=(v_1,v_2,v_3) es ∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}. Aquí ∣v⃗∣=32+(−4)2+02=9+16+0=25=5|\vec{v}|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5. El signo de −4-4 desaparece al elevar al cuadrado.

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EBAU MUR 2025 — Probabilidad condicionadaDificultad 3/5

Si P(A)=0,5P(A)=0,5, P(B)=0,4P(B)=0,4 y P(A∩B)=0,2P(A\cap B)=0,2, ¿cuánto vale P(A∣B)P(A\mid B)?

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Respuesta correcta — opción C

0,5

¡Correcto! P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=0,20,4=0,5P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,2}{0,4}=0,5.
La probabilidad condicionada es P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. Sustituyendo: 0,20,4=0,5\frac{0,2}{0,4}=0,5. Es la proporción de la intersección dentro del suceso BB.

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