EBAU CantabriaConvocatoria ordinaria

Matemáticas EBAU Cantabria 2025

Matemáticas II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
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Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2A.aDificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2A.a — Continuidad evitable

Sea $f(x) = \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ para $x \neq 2$ , y $f(2) = e^k$ .

¿Qué valor de $k$ hace continua la función en $x = 2$ ?

k = \ln 3

k = 3

k = 0

k = \ln 12

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$k = \ln 3$

Correcto.

\lim_{x\to2} \dfrac{x^3-8}{x^2-4} = \dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} \to \dfrac{12}{4} = 3

. Para continuidad,

e^k = 3

, así

k = \ln 3

x=2

hay una indeterminación

0/0

. Factorizando:

\dfrac{x^3-8}{x^2-4} = \dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x^2+2x+4}{x+2}

, cuyo límite en

x=2

\dfrac{4+4+4}{4} = 3

. Para que

f

sea continua,

f(2) = e^k

debe valer 3, de donde

k = \ln 3

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EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2B.aDificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2B.a — Cortes con el eje X

Sea $f(x) = (x^2 - 2)e^{2x}$ . ¿Cuáles son los puntos de corte con el eje X (donde $f(x)=0$ )?

x = \sqrt2

x = -\sqrt2

x = 0

x = 2

x = -2

DNo hay cortes con el eje X

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$x = \sqrt2$ y $x = -\sqrt2$

Correcto.

f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2 = 0

(pues

e^{2x} > 0

siempre). Así

x = \pm\sqrt2

. Cortes en

(\sqrt2, 0)

(-\sqrt2, 0)

La función

f(x) = (x^2-2)e^{2x}

es un producto. Como la exponencial

e^{2x}

es estrictamente positiva para todo

x

, los cortes con el eje X se obtienen anulando el otro factor:

x^2 - 2 = 0

, de donde

x = \pm\sqrt2

. Los puntos de corte son

(\sqrt2, 0)

(-\sqrt2, 0)

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EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 1A.aDificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 1A.a — Valores con inversa

Para $A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+3 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{pmatrix}$ , $\det A = a^2(a+4)$ .

¿Para qué valores de $a$ tiene inversa $A$ ?

a \neq 0

a \neq -4

BSolo

a \neq 0

CSolo

a \neq -4

DPara todo

a\in\mathbb{R}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$a \neq 0$ y $a \neq -4$

Correcto. Hay inversa si

\det A = a^2(a+4) \neq 0

, es decir,

a \neq 0

a \neq -4

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Con

\det A = a^2(a+4)

, este se anula cuando

a = 0

(raíz doble) o

a = -4

. Por tanto,

A

tiene inversa para todos los valores salvo esos dos:

a \neq 0

a \neq -4

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EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2B.bDificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2B.b — Derivada de un producto exponencial

Sea $f(x) = (x^2 - 2)e^{2x}$ . ¿Cuál es su derivada $f'(x)$ ?

f'(x) = 2e^{2x}(x^2 + x - 2)

f'(x) = 2x\,e^{2x}

f'(x) = 2(x^2-2)e^{2x}

f'(x) = 2e^{2x}(x^2 - 2)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$f'(x) = 2e^{2x}(x^2 + x - 2)$

Correcto.

f'(x) = 2x\,e^{2x} + (x^2-2)\cdot2e^{2x} = 2e^{2x}(x^2 + x - 2)

Aplicando la regla del producto con

u = x^2-2

(

u'=2x

) y

v = e^{2x}

(

v'=2e^{2x}

por la regla de la cadena):

f'(x) = 2x\,e^{2x} + (x^2-2)\cdot2e^{2x}

. Sacando factor común

2e^{2x}

f'(x) = 2e^{2x}(x + x^2 - 2) = 2e^{2x}(x^2 + x - 2)

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EBAU Cantabria 2025 — Apartado 3 (geometría)Dificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Apartado 3 (geometría) — Punto que pertenece a una recta

La recta $r$ pasa por $(1,1,1)$ con vector director $\vec{u} = (1,2,1)$ (obtenido del sistema $2x-y=3$ , $y-2z=1$ ).

¿Cuál de estos puntos pertenece a $r$ ?

(2,\ 3,\ 2)

(0,\ 0,\ 0)

(2,\ 2,\ 2)

(1,\ 2,\ 3)

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Respuesta correcta — opción A

$(2,\ 3,\ 2)$

Correcto. La recta es

(1+t,\ 1+2t,\ 1+t)

. Para

t=1

(2,3,2)

, que además cumple

2(2)-3 = 1\neq3

... pero pertenece a

r

por su parametrización (punto base

(1,1,1)

+ dirección).

Parametrizando la recta

r

que pasa por

(1,1,1)

con dirección

(1,2,1)

(x,y,z) = (1+t,\ 1+2t,\ 1+t)

. Un punto pertenece a

r

si existe un valor único de

t

que reproduzca sus tres coordenadas. Para

(2,3,2)

: de

x

t=1

; de

y

t=1

; de

z

t=1

. Como coinciden, el punto

(2,3,2)

pertenece a la recta.

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EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 4A.aDificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 4A.a — Probabilidad de la intersección

En un colegio, $P(A) = 0{,}40$ (atletismo), $P(B) = 0{,}65$ (baloncesto), y el $10\,\%$ no se matricula en ninguno.

¿Cuál es la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes, $P(A\cap B)$ ?

P(A\cap B) = 0{,}15

P(A\cap B) = 0{,}26

P(A\cap B) = 0{,}05

P(A\cap B) = 1{,}05

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P(A\cap B) = 0{,}15$

Correcto.

P(A\cup B) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90

. Por inclusión-exclusión,

P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) = 0{,}40+0{,}65-0{,}90 = 0{,}15

Como el 10 % no se matricula en ningún deporte, la probabilidad de matricularse en al menos uno es

P(A\cup B) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90

. Aplicando la fórmula de inclusión-exclusión

P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

y despejando:

P(A\cap B) = 0{,}40 + 0{,}65 - 0{,}90 = 0{,}15

. Un 15 % se matricula en ambos deportes.

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EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 4A.bDificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 4A.b — Probabilidad condicionada

Con $P(A)=0{,}40$ , $P(B)=0{,}65$ y $P(A\cap B)=0{,}15$ , calcula $P(A/B)$ (probabilidad de atletismo dado que hace baloncesto).

P(A/B) \approx 0{,}231

P(A/B) = 0{,}375

P(A/B) = 0{,}15

P(A/B) = 0{,}40

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Respuesta correcta — opción A

$P(A/B) \approx 0{,}231$

Correcto.

P(A/B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}65} \approx 0{,}231

La probabilidad condicionada de

A

dado

B

P(A/B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

. Con

P(A\cap B) = 0{,}15

P(B) = 0{,}65

P(A/B) = \dfrac{0{,}15}{0{,}65} \approx 0{,}231

. Es decir, entre los que hacen baloncesto, alrededor del 23 % también hace atletismo.

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EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2A.bDificultad 3/5

EBAU Cantabria 2025 — Cuestión 2A.b — Asíntota oblicua

Sea $f(x) = \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ . Simplificando ( $x\neq2$ ): $f(x) = \dfrac{x^2+2x+4}{x+2}$ .

¿Cuál es la asíntota oblicua de $f$ ?

y = x

y = x + 2

y = 2x

DAsíntota horizontal

y = 0

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$y = x$

Correcto. Dividiendo

\dfrac{x^2+2x+4}{x+2} = x + \dfrac{4}{x+2}

. Cuando

x\to\pm\infty

, el resto tiende a 0, así que la asíntota oblicua es

y = x

Tras simplificar,

f(x) = \dfrac{x^2+2x+4}{x+2}

. Como el grado del numerador (2) supera en uno al del denominador (1), existe asíntota oblicua. Haciendo la división polinómica:

\dfrac{x^2+2x+4}{x+2} = x + \dfrac{4}{x+2}

. Cuando

x\to\pm\infty

, el término

\dfrac{4}{x+2}\to0

, de modo que la asíntota oblicua es

y = x

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