PAU ValenciaConvocatoria ordinaria

Matemáticas PAU Valencia 2025

Matemàtiques II — 2.º Bachillerato — Exercicios resoltos con explicación

Formato do exame

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicios do exame8 exercicios

PAU VAL 2025 — Álgebra (rango)Dificultade 3/5

¿Cuál es el rango de la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ ?

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Resposta correcta — opción A

¡Correcto! La segunda fila es el doble de la primera (proporcionales): solo hay una fila independiente, rango 1.

El rango es el número de filas linealmente independientes. La segunda fila

(2,4,6)

es exactamente el doble de la primera

(1,2,3)

, por lo que son proporcionales (dependientes). Solo hay una fila independiente, así que el rango es 1.

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PAU VAL 2025 — Álgebra (matriz inversa)Dificultade 3/5

¿Cuándo existe la matriz inversa $A^{-1}$ de una matriz cuadrada $A$ ?

ASiempre, para cualquier matriz cuadrada

BCuando

\det(A)\ne0

CCuando

\det(A)=0

DSolo si

A

es simétrica

Ver solución

Resposta correcta — opción B

Cuando $\det(A)\ne0$

¡Correcto!

A^{-1}

existe si y solo si

\det(A)\ne0

(matriz regular).

Una matriz cuadrada

A

tiene inversa si y solo si es regular, es decir,

\det(A)\ne0

. La inversa se obtiene como

A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A)^T

, expresión que solo está definida cuando el determinante es no nulo. Si

\det(A)=0

la matriz es singular y no admite inversa.

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PAU VAL 2025 — Análisis (asíntotas)Dificultade 3/5

¿Qué asíntota horizontal tiene $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-4}$ ?

y=0

y=2

y=4

DNo tiene

Ver solución

Resposta correcta — opción B

$y=2$

¡Correcto! Grados iguales: la asíntota horizontal es el cociente de coeficientes principales,

y=2/1=2

Cuando los grados del numerador y del denominador coinciden (aquí, ambos de grado 2), la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes de mayor grado:

y=\frac{2}{1}=2

. Si el grado del numerador fuese menor, la asíntota sería

y=0

; si fuese mayor, no habría horizontal.

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PAU VAL 2025 — Derivadas (regla de la cadena)Dificultade 3/5

Calcula la derivada de $f(x)=\ln(x^2+1)$ .

\dfrac{1}{x^2+1}

\dfrac{1}{x}

\dfrac{2x}{x^2+1}

\dfrac{x}{x^2+1}

Ver solución

Resposta correcta — opción C

$\dfrac{2x}{x^2+1}$

¡Correcto! Regla de la cadena:

f'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+1}

Por la regla de la cadena, la derivada de

\ln(u)

\frac{u'}{u}

. Con

u=x^2+1

u'=2x

f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}

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PAU VAL 2025 — Integrales (área)Dificultade 3/5

Calcula el área encerrada entre $f(x)=x^2$ y el eje OX entre $x=0$ y $x=3$ .

A9/2 u²

B27 u²

C3 u²

D9 u²

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Resposta correcta — opción D

9 u²

¡Correcto!

\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9

u².

Como

f(x)=x^2\ge0

[0,3]

, el área coincide con la integral definida:

\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3}-0 = 9

unidades cuadradas.

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PAU VAL 2025 — Geometría (perpendicularidad)Dificultade 3/5

Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares cuando:

ASu producto escalar es 0

BSu producto vectorial es 0

CTienen el mismo módulo

DLa suma de sus componentes es 0

Ver solución

Resposta correcta — opción A

Su producto escalar es 0

¡Correcto! Son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo:

\vec{u}\cdot\vec{v}=0

Dos vectores son perpendiculares (ortogonales) cuando su producto escalar es cero:

\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta=0

, lo que ocurre si

\theta=90°

(siempre que ninguno sea el vector nulo). El producto vectorial nulo, en cambio, caracteriza el paralelismo.

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PAU VAL 2025 — Geometría (ecuación del plano)Dificultade 3/5

El plano que pasa por $P(0,0,0)$ con vector normal $\vec{n}=(1,2,3)$ tiene por ecuación:

x + 2y + 3z = 0

x + 2y + 3z = 6

3x + 2y + z = 0

x + y + z = 0

Ver solución

Resposta correcta — opción A

$x + 2y + 3z = 0$

¡Correcto!

A x + B y + C z + D = 0

con normal

(1,2,3)

y pasando por el origen (

D=0

x+2y+3z=0

La ecuación general de un plano es

Ax+By+Cz+D=0

, donde

(A,B,C)

es el vector normal. Con

\vec{n}=(1,2,3)

queda

x+2y+3z+D=0

. Al imponer que pase por el origen

(0,0,0)

se obtiene

D=0

, luego la ecuación es

x+2y+3z=0

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PAU VAL 2025 — Probabilidad (binomial)Dificultade 3/5

Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?

A1/4

B3/8

C1/2

D1/16

Ver solución

Resposta correcta — opción B

3/8

¡Correcto!

P=\binom{4}{2}(0,5)^2(0,5)^2 = 6\cdot\frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

El número de caras en 4 lanzamientos sigue una binomial

B(4, 0,5)

. La probabilidad de exactamente 2 caras es

P(X=2)=\binom{4}{2}(0,5)^2(0,5)^2 = 6\cdot\frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

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