EvAU MadridConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS EvAU Madrid 2023

Matemàtiques aplicades a les ciències socials — 2.º Bachillerato — Exercicios resoltos con explicación

Formato do exame

1 hora 30 minutos
Cuatro ejercicios obligatorios de 2,5 puntos (opción A o B en el último)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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Exercicios do exame9 exercicios

EvAU MAD 2023 — A.2 (integral definida con parámetro)Dificultade 3/5

Sea $f(x)=6x^2+a\,e^{x}-2$ . Obtén el valor del parámetro $a$ sabiendo que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=e-1$ .

a=2

a=1

a=e-1

a=-1

Ver solución

Resposta correcta — opción B

$a=1$

Correcto.

\int_0^1(6x^2+a e^x-2)\,dx=\big[2x^3+a e^x-2x\big]_0^1=(2+ae-2)-(0+a-0)=a(e-1)

. Igualando a

e-1

sale

a=1

\int_0^1(6x^2+a e^x-2)\,dx=[2x^3+a e^x-2x]_0^1=(2+ae-2)-(a)=a(e-1)

. Igualando a

e-1

a(e-1)=e-1\Rightarrow a=1

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EvAU MAD 2023 — A.2b (recta tangente)Dificultade 3/5

Para $f(x)=6x^2+e^{x}-2$ (con $a=1$ ), obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=0$ .

y=-1

y=x+1

y=x-1

y=12x-1

Ver solución

Resposta correcta — opción C

$y=x-1$

Correcto.

f(0)=e^0-2=-1

f'(x)=12x+e^x

f'(0)=1

. Tangente:

y=-1+1\cdot(x-0)=x-1

Con

a=1

f(x)=6x^2+e^x-2

f(0)=-1

f'(x)=12x+e^x

f'(0)=1

. La tangente es

y=-1+1\cdot x=x-1

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EvAU MAD 2023 — A.4 (probabilidad)Dificultade 3/5

Sean $A$ y $B$ con $P(A)=0{,}55$ , $P(B)=0{,}1$ y $P(\bar{B}\mid A)=0{,}89$ ( $\bar{B}$ es el complementario de $B$ ). Calcula $P(A\cap B)$ .

0{,}0605

0{,}4895

0{,}055

0{,}11

Ver solución

Resposta correcta — opción A

$0{,}0605$

Correcto.

P(B\mid A)=1-P(\bar{B}\mid A)=1-0{,}89=0{,}11

. Entonces

P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)=0{,}11\cdot0{,}55=0{,}0605

P(B\mid A)=1-P(\bar{B}\mid A)=0{,}11

. Por la definición de probabilidad condicionada,

P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)=0{,}11\cdot0{,}55=0{,}0605

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EvAU MAD 2023 — A.5 (intervalo de confianza)Dificultade 3/5

La capacidad de un bote de champú sigue una normal con $\sigma=10$ ml. En una muestra de $n=20$ botes la media es $\bar{x}=200$ ml. Calcula el intervalo de confianza del 95 % ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ ). ( $\sqrt{20}\approx4{,}472$ )

(180{,}40;\,219{,}60)

(196{,}32;\,203{,}68)

(195{,}62;\,204{,}38)

(199{,}02;\,200{,}98)

Ver solución

Resposta correcta — opción C

$(195{,}62;\,204{,}38)$

Correcto.

E=1{,}96\cdot\dfrac{10}{\sqrt{20}}=1{,}96\cdot2{,}236\approx4{,}38

. IC

=(200-4{,}38;\,200+4{,}38)=(195{,}62;\,204{,}38)

=\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=200\pm1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{20}}=200\pm4{,}38

, es decir

(195{,}62;\,204{,}38)

ml.

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EvAU MAD 2023 — B.1 (sistema)Dificultade 3/5

Una pastelería tiene 220 buñuelos de chocolate, nata y crema. Hay el doble de buñuelos de nata que de crema. Además, el doble de los de crema más el triple de los de chocolate es igual al doble de los de nata. ¿Cuántos buñuelos de chocolate hay?

A40 buñuelos

B60 buñuelos

C120 buñuelos

D80 buñuelos

Ver solución

Resposta correcta — opción A

40 buñuelos

Correcto. Con

n=2c

(nata),

ch+n+c=220

2c+3ch=2n=4c

→

3ch=2c

→

ch=\tfrac{2c}{3}

. Sustituyendo:

\tfrac{2c}{3}+2c+c=220\Rightarrow c=60

n=120

ch=40

. Hay 40 de chocolate.

Sea

ch

n

c

ch+n+c=220

;

n=2c

;

2c+3ch=2n=4c\Rightarrow ch=\tfrac{2c}{3}

. Sustituyendo:

\tfrac{2c}{3}+2c+c=220\Rightarrow \tfrac{11c}{3}=220\Rightarrow c=60

n=120

ch=40

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EvAU MAD 2023 — B.2 (programación lineal)Dificultade 3/5

Se produce VERDE1 ( $x$ ) y VERDE2 ( $y$ ). Un litro de VERDE1 usa 0,3 L de azul y 0,7 L de amarillo; uno de VERDE2 usa 0,5 L de azul y 0,5 L de amarillo. Hay 20 L de azul y 28 L de amarillo, y no se pueden producir más de 30 L de VERDE1. Beneficio: 1 €/L de VERDE1 y 1,2 €/L de VERDE2. ¿Cuál es el beneficio máximo?

48

€

53{,}6

€

60

€

50

€

Ver solución

Resposta correcta — opción B

$53{,}6$ €

Correcto. Restricciones:

0{,}3x+0{,}5y\le20

0{,}7x+0{,}5y\le28

x\le30

x,y\ge0

. El óptimo es el corte de las dos primeras:

x=20

y=28

B=20+1{,}2\cdot28=20+33{,}6=53{,}6

€.

Maximizar

B=x+1{,}2y

con

0{,}3x+0{,}5y\le20

0{,}7x+0{,}5y\le28

x\le30

x,y\ge0

. Restando las dos primeras:

0{,}4x=8\Rightarrow x=20

, y entonces

y=28

. Beneficio máximo

20+1{,}2\cdot28=53{,}6

€.

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EvAU MAD 2023 — B.3 (monotonía)Dificultade 3/5

Se considera $f(x)=-x^3+2x^2+4x$ . Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ( $\sqrt{16}=4$ ; raíces de $-3x^2+4x+4$ en $x=2$ y $x=-\tfrac23$ )

ACrece en

(-\tfrac23,\,2)

; decrece en

(-\infty,-\tfrac23)

(2,+\infty)

BDecrece en

(-\tfrac23,\,2)

; crece fuera

CCrece en

(0,\,4)

; decrece fuera

DCrece en

(-\infty,\,2)

; decrece en

(2,+\infty)

Ver solución

Resposta correcta — opción A

Crece en $(-\tfrac23,\,2)$ ; decrece en $(-\infty,-\tfrac23)$ y $(2,+\infty)$

Correcto.

f'(x)=-3x^2+4x+4=-(3x+2)(x-2)

, raíces

x=-\tfrac23

x=2

. Como el coeficiente de

x^2

es negativo,

f'>0

entre las raíces: crece en

(-\tfrac23,2)

y decrece fuera.

f'(x)=-3x^2+4x+4

, con raíces

x=-\tfrac23

x=2

. Por ser parábola

\cap

f'>0

(-\tfrac23,2)

(crece) y

f'<0

fuera (decrece). En

x=-\tfrac23

hay mínimo relativo y en

x=2

máximo relativo.

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EvAU MAD 2023 — B.4 (probabilidad total)Dificultade 3/5

Las ayudas al estudio se reparten: 56,5 % Obligatorias, 24 % Universitarias y 19,5 % Postobligatorias. Las financia el ministerio en el 13,8 % de las Obligatorias, el 86,1 % de las Universitarias y el 80,3 % de las Postobligatorias. Eligiendo una ayuda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la financie el ministerio?

0{,}601

0{,}441

0{,}207

0{,}534

Ver solución

Resposta correcta — opción B

$0{,}441$

Correcto.

P(\text{min})=0{,}565\cdot0{,}138+0{,}24\cdot0{,}861+0{,}195\cdot0{,}803=0{,}07797+0{,}20664+0{,}156585\approx0{,}441

Probabilidad total:

P(\text{min})=0{,}565\cdot0{,}138+0{,}24\cdot0{,}861+0{,}195\cdot0{,}803\approx0{,}078+0{,}207+0{,}157=0{,}441

. (Por Bayes,

P(O\mid\text{min})=\frac{0{,}078}{0{,}441}\approx0{,}177

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EvAU MAD 2023 — B.5 (distribución muestral de proporciones)Dificultade 3/5

El 30 % de una población tiene titulación universitaria. Se toma una muestra de $n=120$ individuos. ¿Cuál es la desviación típica de la proporción muestral $\hat{p}$ ? ( $\sqrt{0{,}30\cdot0{,}70/120}$ )