EvAU MadridConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS EvAU Madrid 2022

Matemàtiques aplicades a les ciències socials — 2.º Bachillerato — Exercicios resoltos con explicación

Formato do exame

1 hora 30 minutos
Cuatro ejercicios obligatorios de 2,5 puntos (opción A o B en el último)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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Exercicios do exame8 exercicios

EvAU MAD 2022 — A.1 (invertibilidad)Dificultade 3/5

Se considera $A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\ a & -1 & 1\\ 0 & a & 1\end{pmatrix}$ . ¿Para qué valores del parámetro $a$ la matriz $A$ es invertible?

APara todo

a\neq 1+\sqrt3

BPara

a=0

a=2

únicamente

CPara todo

a\neq -1\pm\sqrt3

DPara todo

a\neq 1\pm\sqrt3

Ver solución

Resposta correcta — opción D

Para todo $a\neq 1\pm\sqrt3$

Correcto.

\det A=2(-1\cdot1-1\cdot a)-0+1(a\cdot a-0)=2(-1-a)+a^2=a^2-2a-2

, que se anula en

a=1\pm\sqrt3

. Es invertible para todo

a\neq1+\sqrt3

a\neq1-\sqrt3

\det A=2(-1-a)+1\cdot a^2=a^2-2a-2

. Igualando a cero:

a=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt3

. La matriz es invertible para todo

a\neq1+\sqrt3

a\neq1-\sqrt3

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EvAU MAD 2022 — A.2 (programación lineal)Dificultade 3/5

Se mezcla leche ( $x$ ) y chocolate líquido ( $y$ ). Hay 30 L de leche y 20 L de chocolate. Por cada litro de chocolate como máximo 3 L de leche ( $x\le3y$ ); por cada litro de leche como máximo 1,6 L de chocolate ( $y\le1{,}6x$ ). Solo hay botellas para 45 L de mezcla ( $x+y\le45$ ). Beneficio: 1 €/L de leche y 2 €/L de chocolate. ¿Cuál es el beneficio máximo?

55

€

50

€

65

€

60

€

Ver solución

Resposta correcta — opción C

$65$ €

Correcto. Con

x\le30

y\le20

x\le3y

y\le1{,}6x

x+y\le45

, el vértice óptimo es

x=25

y=20

B=25+2\cdot20=65

€.

Maximizar

B=x+2y

con

x\le30

y\le20

x\le3y

y\le1{,}6x

x+y\le45

. El vértice óptimo es

x=25

y=20

(corte de

y=20

con

x+y=45

, que cumple las demás):

B=25+40=65

€.

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EvAU MAD 2022 — A.4 (probabilidad)Dificultade 3/5

Sean $A$ y $B$ con $P(A)=0{,}6$ , $P(A\mid B)=0{,}4$ y $P(A\mid B^c)=0{,}8$ . Calcula $P(B)$ .

0{,}5

0{,}2

0{,}4

0{,}6

Ver solución

Resposta correcta — opción A

$0{,}5$

Correcto. Probabilidad total:

P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid B^c)(1-P(B))

. Es decir

0{,}6=0{,}4p+0{,}8(1-p)=0{,}8-0{,}4p

, de donde

p=P(B)=0{,}5

Probabilidad total:

0{,}6=0{,}4P(B)+0{,}8(1-P(B))=0{,}8-0{,}4P(B)

, luego

P(B)=0{,}5

. (Como

P(A\mid B)\neq P(A)

A

B

no son independientes.)

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EvAU MAD 2022 — A.5 (intervalo de confianza 99 %)Dificultade 3/5

El peso de un saco de cemento sigue una normal con $\sigma=2$ kg. En una muestra de $n=20$ sacos la media es $\bar{x}=50$ kg. Calcula el intervalo de confianza del 99 % ( $z_{\alpha/2}=2{,}575$ ; $\sqrt{20}\approx4{,}472$ ).

(49{,}12;\,50{,}88)

(48{,}85;\,51{,}15)

(44{,}85;\,55{,}15)

(49{,}74;\,50{,}26)

Ver solución

Resposta correcta — opción B

$(48{,}85;\,51{,}15)$

Correcto.

E=2{,}575\cdot\dfrac{2}{\sqrt{20}}=2{,}575\cdot0{,}447\approx1{,}15

. IC

=(50-1{,}15;\,50+1{,}15)=(48{,}85;\,51{,}15)

IC al 99 %:

50\pm2{,}575\cdot\frac{2}{\sqrt{20}}=50\pm1{,}15

, es decir

(48{,}85;\,51{,}15)

kg.

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EvAU MAD 2022 — B.1 (discusión de sistema)Dificultade 3/5

Se considera el sistema $\begin{cases}x+ay+z=a\\ ax-y-az=0\\ x+y+z=1\end{cases}$ . ¿Para qué valor del parámetro $a$ se anula el determinante de la matriz de coeficientes?

a=1

a=-1

a=2

únicamente

a=0

a=3

a=-3

Ver solución

Resposta correcta — opción A

$a=1$ y $a=-1$

Correcto. La matriz de coeficientes es

\begin{pmatrix}1&a&1\\a&-1&-a\\1&1&1\end{pmatrix}

; su determinante es

(a-1)(a+1)

tras simplificar, que se anula en

a=1

(la fila 1 y la fila 3 coinciden) y

a=-1

La matriz de coeficientes

\begin{pmatrix}1&a&1\\a&-1&-a\\1&1&1\end{pmatrix}

tiene determinante que factoriza como

(a-1)(a+1)

. Se anula en

a=1

(filas 1 y 3 iguales) y

a=-1

; para los demás valores el sistema es compatible determinado.

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EvAU MAD 2022 — B.2 (asíntotas)Dificultade 3/5

Se considera $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ . Determina sus asíntotas.

AVertical

x=1

; horizontal

y=1

BVertical

x=1

; oblicua

y=x

CVertical

x=1

; oblicua

y=x-1

DVertical

x=1

; horizontal

y=0

Ver solución

Resposta correcta — opción B

Vertical $x=1$ ; oblicua $y=x$

Correcto. Vertical

x=1

(anula el denominador). Como

\deg(\text{num})=\deg(\text{den})+1

, hay oblicua: dividiendo,

f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}

, asíntota oblicua

y=x

El denominador se anula en

x=1

(vertical). Dividiendo,

f(x)=x+\frac{1}{x-1}

; como

\frac{1}{x-1}\to0

, la asíntota oblicua es

y=x

. No hay horizontal.

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EvAU MAD 2022 — B.4 (probabilidad sin reemplazo)Dificultade 3/5

De un mazo de 52 cartas (13 de cada palo) se elimina una carta al azar sin verla. Después se extrae otra carta de las restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes?

\frac{13}{51}\approx0{,}255

\frac{12}{51}\approx0{,}235

0{,}25

0{,}26

Ver solución

Resposta correcta — opción C

$0{,}25$

Correcto. Por probabilidad total:

P(\text{diam})=\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}+\frac{39}{52}\cdot\frac{13}{51}=\frac{13}{52}=\frac14=0{,}25

. La simetría hace que sea

\tfrac{13}{52}

Probabilidad total:

P(\text{diam})=\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}+\frac{39}{52}\cdot\frac{13}{51}=\frac{13\cdot12+39\cdot13}{52\cdot51}=\frac{13\cdot51}{52\cdot51}=\frac{13}{52}=0{,}25

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EvAU MAD 2022 — B.5 (amplitud de un IC)Dificultade 3/5

Una variable $X$ es normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ . Para una muestra de tamaño $n=10$ , el intervalo de confianza al 95 % de $\mu$ es $I=(58{,}2;\,73{,}8)$ . Determina el valor de $\sigma$ ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ ; $\sqrt{10}\approx3{,}162$ ).