EBAU CanariasConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS EBAU Canarias 2025

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — 2.º Bachillerato — Exercicios resoltos con explicación

Formato do exame

1 hora 30 minutos
Pregunta obligatoria y opciones (inferencia, probabilidad, análisis y álgebra)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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Exercicios do exame8 exercicios

EBAU CAN 2025 — 1.a (centro del intervalo)Dificultade 3/5

Para una muestra de $400$ pisos, con confianza del $99\%$ , el intervalo para la media del alquiler es $[1174{,}25;\ 1225{,}75]$ €. ¿Cuál es la media muestral del alquiler?

1174{,}25

€

1200

€

1225{,}75

€

25{,}75

€

Ver solución

Resposta correcta — opción B

$1200$ €

Correcto: la media muestral es el centro del intervalo:

\dfrac{1174{,}25+1225{,}75}{2}=1200

€.

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto a la media muestral (su centro). Por tanto,

\bar{x}=\dfrac{1174{,}25+1225{,}75}{2}=\dfrac{2400}{2}=1200

€. El error o semiamplitud es

E=\dfrac{1225{,}75-1174{,}25}{2}=25{,}75

€, dato que permite, despejando en

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

, calcular la desviación típica.

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EBAU CAN 2025 — 1.a (despejar la desviación típica)Dificultade 3/5

El intervalo del alquiler $[1174{,}25;\ 1225{,}75]$ tiene error $E=25{,}75$ , con $n=400$ y confianza $99\%$ ( $z_{\alpha/2}=2{,}575$ ). ¿Cuál es la desviación típica $\sigma$ ?

25{,}75

100

200

400

Ver solución

Resposta correcta — opción C

$200$

Correcto: de

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

se despeja

\sigma=\dfrac{E\sqrt{n}}{z_{\alpha/2}}=\dfrac{25{,}75\cdot 20}{2{,}575}=200

El error del intervalo de confianza para la media es

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Conocidos

E=25{,}75

n=400

(luego

\sqrt{n}=20

) y

z_{\alpha/2}=2{,}575

(para el

99\%

), despejamos la desviación típica:

\sigma=\dfrac{E\sqrt{n}}{z_{\alpha/2}}=\dfrac{25{,}75\cdot 20}{2{,}575}=\dfrac{515}{2{,}575}=200

€. Así, la desviación típica del precio del alquiler es

200

€.

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EBAU CAN 2025 — 2A.b (probabilidad total: queso de importación)Dificultade 3/5

Una cadena envasa queso fresco ( $45\%$ ), semicurado ( $30\%$ ) y curado ( $25\%$ ). Es de importación el $15\%$ del fresco, el $23\%$ del semicurado y el $40\%$ del curado. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete NO sea de importación?

0{,}2365

0{,}40

0{,}7635

0{,}85

Ver solución

Resposta correcta — opción C

$0{,}7635$

Correcto:

P(\text{import})=0{,}45\cdot 0{,}15+0{,}30\cdot 0{,}23+0{,}25\cdot 0{,}40=0{,}2365

, así que

P(\text{no import})=1-0{,}2365=0{,}7635

Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un paquete sea de importación es

P(\text{import})=P(F)P(\text{imp}|F)+P(S)P(\text{imp}|S)+P(C)P(\text{imp}|C)=0{,}45\cdot 0{,}15+0{,}30\cdot 0{,}23+0{,}25\cdot 0{,}40=0{,}0675+0{,}069+0{,}10=0{,}2365

. Por tanto, la probabilidad de que NO sea de importación es el complementario:

1-0{,}2365=0{,}7635

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EBAU CAN 2025 — 2A.c (Bayes: queso curado)Dificultade 3/5

Con los datos anteriores ( $P(\text{import})=0{,}2365$ ; el curado es el $25\%$ y de él se importa el $40\%$ ), si un queso elegido es de importación, ¿cuál es la probabilidad de que sea curado? (Redondea a centésimas.)

\approx 0{,}42

0{,}40

0{,}25

0{,}10

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Resposta correcta — opción A

$\approx 0{,}42$

Correcto: por Bayes,

P(C|\text{imp})=\dfrac{P(\text{imp}|C)P(C)}{P(\text{imp})}=\dfrac{0{,}40\cdot 0{,}25}{0{,}2365}=\dfrac{0{,}10}{0{,}2365}\approx 0{,}42

Se pide la probabilidad inversa

P(\text{curado}|\text{importación})

mediante el teorema de Bayes:

P(C|\text{imp})=\dfrac{P(\text{imp}|C)P(C)}{P(\text{imp})}=\dfrac{0{,}40\cdot 0{,}25}{0{,}2365}=\dfrac{0{,}10}{0{,}2365}\approx 0{,}42

. Es decir, aunque el queso curado solo representa el

25\%

de la producción, entre los paquetes de importación la proporción de curado sube hasta el

42\%

aproximadamente, porque es el tipo con mayor porcentaje de importación.

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EBAU CAN 2025 — 2B.a (proporción muestral: app QR)Dificultade 3/5

De $210$ clientes encuestados, $140$ creen que una app de pedidos por QR reduciría el tiempo de espera. ¿Cuál es la proporción muestral $\hat{p}$ a favor (redondeada a milésimas)?

0{,}333

0{,}667

140

0{,}5

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Resposta correcta — opción B

$0{,}667$

Correcto:

\hat{p}=\dfrac{140}{210}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667

La proporción muestral

\hat{p}

es el cociente entre las personas que opinan a favor y el total encuestado:

\hat{p}=\dfrac{140}{210}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667

. Es el centro del intervalo de confianza para la proporción poblacional. Al

98\%

(

z_{\alpha/2}\approx 2{,}33

), el intervalo sería

\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}

, con

\hat{q}=1-\hat{p}=\dfrac{1}{3}

n=210

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EBAU CAN 2025 — 2B.c (binomial: complementario)Dificultade 3/5

De la muestra de la app QR, la proporción que opina que NO reducirá el tiempo de espera es $\frac{1}{3}$ . Se eligen $9$ clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno opine que NO reducirá el tiempo?

\frac{1}{3}

\left(\frac{2}{3}\right)^9

\approx 0{,}974

(

1-(2/3)^9

)

\frac{1}{3^9}

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Resposta correcta — opción C

$\approx 0{,}974$ ( $1-(2/3)^9$ )

Correcto:

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{2}{3}\right)^9\approx 0{,}974

El número de clientes (de los 9) que opinan que la app NO reducirá el tiempo de espera sigue una binomial

X\sim B(9,\ \frac{1}{3})

. La probabilidad de "al menos uno" se calcula por el complementario "ninguno":

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{2}{3}\right)^9

. Como

\left(\frac{2}{3}\right)^9=\dfrac{512}{19683}\approx 0{,}026

, resulta

P(X\ge 1)\approx 1-0{,}026=0{,}974

. Es decir, es muy probable que al menos uno de los nueve opine que la app no reducirá el tiempo.

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EBAU CAN 2025 — 4B (sistema: regímenes de hotel)Dificultade 3/5

En un hotel hay clientes en Solo Alojamiento (SA), Alojamiento y Desayuno (AD) y Todo Incluido (TI). TI es el doble que SA ( $t=2s$ ) y por cada $3$ de SA hay $2$ de AD ( $a=\frac{2}{3}s$ ). Si se marcharan $39$ de TI, los otros dos regímenes igualarían a los que quedan en TI: $s+a=t-39$ . ¿Cuántos clientes hay en Solo Alojamiento?

18

117

234

78

Ver solución

Resposta correcta — opción B

$117$

Correcto: con

t=2s

a=\frac{2}{3}s

s+a=t-39

s+\frac{2}{3}s=2s-39

, es decir

\frac{5}{3}s=2s-39

, de donde

39=\frac{1}{3}s

s=117

Llamando

s

a los clientes de Solo Alojamiento, las condiciones son: TI es el doble (

t=2s

); por cada 3 de SA hay 2 de AD (

a=\frac{2}{3}s

); y si se marcharan 39 de TI, SA + AD igualarían a los que quedan en TI (

s+a=t-39

). Sustituyendo:

s+\frac{2}{3}s=2s-39

, es decir

\frac{5}{3}s=2s-39

. Pasando términos:

39=2s-\frac{5}{3}s=\frac{6s-5s}{3}=\frac{1}{3}s

, de donde

s=117

. Así, hay

117

clientes en Solo Alojamiento,

a=\frac{2}{3}\cdot 117=78

en Alojamiento y Desayuno y

t=2\cdot 117=234

en Todo Incluido.

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EBAU CAN 2025 — 4A (programación lineal: discos)Dificultade 3/5

Un ayuntamiento compra discos SATA ( $200$ €, $9{,}6$ Tb) y SSD ( $100$ €, $1{,}2$ Tb), con presupuesto de $4000$ €, al menos $30$ discos en total y al menos uno de cada tipo. Si $x$ = discos SATA e $y$ = discos SSD, ¿cuál es la restricción presupuestaria?

200x+100y\le 4000

200x+100y=4000

9{,}6x+1{,}2y\le 4000

200x+100y\ge 4000

Ver solución

Resposta correcta — opción A

$200x+100y\le 4000$

Correcto: el coste total no puede superar el presupuesto:

200x+100y\le 4000

En este problema de programación lineal, con

x

= discos SATA (

200

€ cada uno) e

y

= discos SSD (

100

€ cada uno), la restricción presupuestaria limita el gasto total al presupuesto disponible:

200x+100y\le 4000

. Las demás restricciones del problema son: al menos 30 discos en total (

x+y\ge 30

), al menos uno de cada tipo (

x\ge 1

y\ge 1

) y la no negatividad. La función objetivo a maximizar es la capacidad total de almacenamiento:

\text{Capacidad}=9{,}6x+1{,}2y

(en Tb), que se evaluaría en los vértices de la región factible.

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