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EBAU La RiojaConvocatoria ordinaria

Matemáticas EBAU La Rioja 2025

Matemáticas II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU RIO 2025 — Álgebra (determinante 3×3)Dificultad 3/5

Calcula ∣102030101∣\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}.

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Respuesta correcta — opción B

-3

¡Correcto! Desarrollando por la 2ª fila: 3⋅∣1211∣=3⋅(1−2)=3⋅(−1)=−33\cdot\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=3\cdot(1-2)=3\cdot(-1)=-3.
Conviene desarrollar por la segunda fila (0,3,0)(0,3,0) porque tiene dos ceros. El único término no nulo es el del 3: 3⋅∣1211∣=3⋅(1⋅1−2⋅1)=3⋅(−1)=−33\cdot\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=3\cdot(1\cdot1-2\cdot1)=3\cdot(-1)=-3.

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EBAU RIO 2025 — Sistemas (discusión)Dificultad 3/5

Un sistema con rango(A) = 2 y rango(A|b) = 3 (3 incógnitas) es:

Ver solución
Respuesta correcta — opción C

Incompatible

¡Correcto! Rango(A)=2 < rango(A|b)=3: sistema incompatible (sin solución).
Por el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es incompatible cuando rango(A) < rango(A|b). Aquí rango(A)=2 y rango(A|b)=3 no coinciden, por lo que el sistema no tiene solución: es incompatible.

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EBAU RIO 2025 — Límites en el infinitoDificultad 3/5

Calcula lim⁡x→+∞3x2−xx2+5\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{x^2+5}.

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Respuesta correcta — opción C

3

¡Correcto! Grados iguales: el límite es el cociente de coeficientes principales, 3/1=33/1=3.
En el límite en el infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Como numerador y denominador son de grado 2: lim⁡x→+∞3x2−xx2+5=31=3\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}=\frac{3}{1}=3.

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EBAU RIO 2025 — Recta tangenteDificultad 3/5

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a f(x)=x2f(x)=x^2 en el punto x=2x=2?

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Respuesta correcta — opción C

4

¡Correcto! La pendiente es f′(2)f'(2). Como f′(x)=2xf'(x)=2x, f′(2)=4f'(2)=4.
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en ese punto. Como f(x)=x2f(x)=x^2, su derivada es f′(x)=2xf'(x)=2x, y en x=2x=2: f′(2)=2⋅2=4f'(2)=2\cdot2=4.

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EBAU RIO 2025 — Integral (sustitución)Dificultad 3/5

Calcula ∫2x ex2 dx\int 2x\,e^{x^2}\,dx.

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Respuesta correcta — opción A

ex2+Ce^{x^2}+C

¡Correcto! Con u=x2u=x^2, du=2x dxdu=2x\,dx: ∫eu du=eu+C=ex2+C\int e^u\,du = e^u + C = e^{x^2} + C.
Es una integral por sustitución: tomando u=x2u=x^2 se tiene du=2x dxdu=2x\,dx, que aparece exactamente en el integrando. Así ∫2x ex2 dx=∫eu du=eu+C=ex2+C\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \int e^u\,du = e^u + C = e^{x^2} + C.

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EBAU RIO 2025 — Geometría (punto medio)Dificultad 3/5

¿Cuál es el punto medio del segmento de extremos A(2,0,4)A(2,0,4) y B(0,2,2)B(0,2,2)?

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Respuesta correcta — opción B

(1,1,3)(1,1,3)

¡Correcto! M=(2+02,0+22,4+22)=(1,1,3)M=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{4+2}{2}\right)=(1,1,3).
El punto medio de un segmento de extremos A(xA,yA,zA)A(x_A,y_A,z_A) y B(xB,yB,zB)B(x_B,y_B,z_B) es la media de sus coordenadas: M=(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2)=(2+02,0+22,4+22)=(1,1,3)M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{4+2}{2}\right)=(1,1,3).

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EBAU RIO 2025 — Geometría (vector entre dos puntos)Dificultad 3/5

¿Cuál es el vector AB⃗\vec{AB} si A(1,2,3)A(1,2,3) y B(4,0,5)B(4,0,5)?

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Respuesta correcta — opción A

(3,−2,2)(3,-2,2)

¡Correcto! AB⃗=B−A=(4−1,0−2,5−3)=(3,−2,2)\vec{AB}=B-A=(4-1,0-2,5-3)=(3,-2,2).
El vector que une dos puntos, dirigido de AA hacia BB, se calcula restando las coordenadas del origen a las del extremo: AB⃗=B−A=(4−1,0−2,5−3)=(3,−2,2)\vec{AB}=B-A=(4-1,0-2,5-3)=(3,-2,2).

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EBAU RIO 2025 — Probabilidad (unión)Dificultad 3/5

Si P(A)=0,6P(A)=0,6, P(B)=0,3P(B)=0,3 y P(A∩B)=0,1P(A\cap B)=0,1, ¿cuánto vale P(A∪B)P(A\cup B)?

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Respuesta correcta — opción B

0,8

¡Correcto! P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,6+0,3−0,1=0,8P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,1=0,8.
La probabilidad de la unión se calcula con la regla de la suma: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). Se resta la intersección para no contarla dos veces: 0,6+0,3−0,1=0,80,6+0,3-0,1=0,8.

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