EvAU Castilla-La ManchaConvocatoria ordinaria

Matemáticas EvAU Castilla-La Mancha 2025

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

Practica este examen con variantes ilimitadas. Cada intento genera datos nuevos para que realmente aprendas el método.

Ejercicios que cambian cada vez
Explicación detallada
XP y seguimiento de progreso

Practica ahora — gratis →

Ejercicios del examen8 ejercicios

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 1bDificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 1b — Límite de una función

La concentración de virus activos se modela con $f(t) = 5(t+1)e^{-t}$ , con $t \ge 0$ .

¿Cuál es la concentración a largo plazo, es decir, $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)$ ?

0

5

+\infty

1

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$0$

Correcto.

\lim_{t\to+\infty} 5(t+1)e^{-t} = 0

: la exponencial decreciente

e^{-t}

domina sobre el crecimiento lineal

(t+1)

El límite

\lim_{t\to+\infty} 5(t+1)e^{-t}

es una indeterminación del tipo

\infty\cdot0

. Aplicando la jerarquía de infinitos (o L'Hôpital sobre

\frac{5(t+1)}{e^{t}}

), la exponencial

e^{t}

del denominador crece mucho más rápido que el polinomio del numerador, de modo que el cociente tiende a 0. La concentración de virus activos decae a cero a largo plazo.

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 1aDificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 1a — Derivada de un producto

Dada $f(t) = 5(t+1)e^{-t}$ , se quiere analizar cómo cambia ( $f'(t)$ ).

¿Cuál es la derivada $f'(t)$ ?

f'(t) = -5t\,e^{-t}

f'(t) = 5e^{-t}

f'(t) = -5(t+1)e^{-t}

f'(t) = 5(t+1)e^{-t}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$f'(t) = -5t\,e^{-t}$

Correcto.

f'(t) = 5\left[e^{-t} + (t+1)(-e^{-t})\right] = 5e^{-t}\left[1 - (t+1)\right] = -5t\,e^{-t}

Por la regla del producto, con

u = 5(t+1)

(

u' = 5

) y

v = e^{-t}

(

v' = -e^{-t}

f'(t) = 5e^{-t} + 5(t+1)(-e^{-t}) = 5e^{-t}[1 - (t+1)] = -5t\,e^{-t}

. Esta derivada permite estudiar dónde la concentración crece o decrece (cambia de signo en

t=0

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 2a.1Dificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 2a.1 — Producto vectorial de directores

Dos rectas tienen vectores directores $\vec{u_1} = (1, -1, 1)$ y $\vec{u_2} = (2, 1, -1)$ . Se busca una recta $r_3$ cuyo vector director sea perpendicular a ambos.

¿Cuál es un vector director válido de $r_3$ (a partir de $\vec{u_1}\times\vec{u_2}$ )?

(0,\ 3,\ 3)

(1,\ 1,\ 1)

(3,\ 0,\ 3)

(0,\ -3,\ 3)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$(0,\ 3,\ 3)$

Correcto.

\vec{u_1}\times\vec{u_2} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix} = (0,\ 3,\ 3)

. Es perpendicular a ambos directores.

Un vector perpendicular simultáneamente a

\vec{u_1} = (1,-1,1)

\vec{u_2} = (2,1,-1)

se obtiene mediante el producto vectorial

\vec{u_1}\times\vec{u_2}

. Desarrollando el determinante: componente

i = (-1)(-1)-(1)(1) = 0

; componente

j = -[(1)(-1)-(1)(2)] = 3

; componente

k = (1)(1)-(-1)(2) = 3

. El resultado

(0, 3, 3)

es perpendicular a ambas rectas, por lo que sirve como vector director de

r_3

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 2b.2Dificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 2b.2 — Ángulo recta-plano

Se tiene la recta $r$ con vector director $\vec{u} = (1, -1, 2)$ y el plano $\pi: x - y + 3z = 0$ , con vector normal $\vec{n} = (1, -1, 3)$ .

¿Cuál es el seno del ángulo entre la recta y el plano, $\sin\alpha = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}$ ?

\sin\alpha \approx 0{,}985

\sin\alpha = 0{,}5

\sin\alpha \approx 0{,}12

\sin\alpha = 1

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\sin\alpha \approx 0{,}985$

Correcto.

\vec{u}\cdot\vec{n} = 1+1+6 = 8

|\vec{u}| = \sqrt{6}

|\vec{n}| = \sqrt{11}

\sin\alpha = \dfrac{8}{\sqrt{6}\sqrt{11}} = \dfrac{8}{\sqrt{66}} \approx 0{,}985

El ángulo

\alpha

entre una recta (director

\vec u

) y un plano (normal

\vec n

) se obtiene con

\sin\alpha = \dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|}

, porque el ángulo recta-plano es el complementario del que forma

\vec u

con

\vec n

. Aquí

\vec u\cdot\vec n = (1)(1)+(-1)(-1)+(2)(3) = 8

|\vec u| = \sqrt6

|\vec n| = \sqrt{11}

, por lo que

\sin\alpha = \dfrac{8}{\sqrt{66}} \approx 0{,}985

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 3a.2Dificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 3a.2 — Sistema de ecuaciones (a = 0)

Resuelve el sistema para $a = 0$ : $\begin{cases} x + y = 1 \\ x - 2z = 0 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases}$

¿Cuál es la solución $(x, y, z)$ ?

\left(\tfrac{4}{3},\ -\tfrac{1}{3},\ \tfrac{2}{3}\right)

(1,\ 0,\ 0{,}5)

(2,\ -1,\ 1)

(0,\ 1,\ 0)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\left(\tfrac{4}{3},\ -\tfrac{1}{3},\ \tfrac{2}{3}\right)$

Correcto. De la 1.ª:

y = 1-x

. De la 2.ª:

z = x/2

. Sustituyendo en la 3.ª:

2x + (1-x) + x/2 = 3 \Rightarrow 1{,}5x + 1 = 3 \Rightarrow x = \tfrac{4}{3}

. Entonces

y = -\tfrac13

z = \tfrac23

Para

a=0

el sistema es

\{x+y=1;\ x-2z=0;\ 2x+y+z=3\}

. De la primera,

y = 1-x

; de la segunda,

z = x/2

. Sustituyendo en la tercera:

2x + (1-x) + \tfrac{x}{2} = 3

, es decir

\tfrac{3}{2}x = 2

, de donde

x = \tfrac{4}{3}

. Entonces

y = 1 - \tfrac43 = -\tfrac13

z = \tfrac23

. La solución es

\left(\tfrac43, -\tfrac13, \tfrac23\right)

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 3b.1Dificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 3b.1 — Solución única de un sistema matricial

Sea $A\cdot X - B = X$ con $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix}$ . Reescrito: $(A - I)X = B$ .

¿Para qué valores de $m$ tiene solución única (es decir, $A - I$ es invertible)?

m \neq 2

m \neq 1

m \neq 0

DPara todo

m

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$m \neq 2$

Correcto.

A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m-1 \end{pmatrix}

, con

\det = 1\cdot(m-1) - 1\cdot1 = m-2

. Hay solución única si

\det \neq 0

, es decir,

m \neq 2

La ecuación

A\cdot X - B = X

se reescribe como

(A-I)X = B

, que tiene solución única cuando

A-I

es invertible, es decir, cuando

\det(A-I) \neq 0

. Con

A - I = \begin{pmatrix}1&1\\1&m-1\end{pmatrix}

, el determinante es

1\cdot(m-1) - 1\cdot1 = m-2

. Por tanto, hay solución única para todo

m \neq 2

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 4a.1Dificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 4a.1 — Probabilidad con baraja española

En una baraja de 40 cartas (4 ases), se sacan cartas una a una hasta encontrar el primer as.

¿Cuál es la probabilidad de que el as salga exactamente al sacar la 2.ª carta?

P \approx 0{,}0923

P = 0{,}10

P \approx 0{,}103

P = 0{,}10

(exacto)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P \approx 0{,}0923$

Correcto.

P = P(\text{1.ª no as})\cdot P(\text{2.ª as}) = \dfrac{36}{40}\cdot\dfrac{4}{39} = \dfrac{144}{1560} \approx 0{,}0923

Para que el primer as aparezca exactamente en la 2.ª carta, la primera carta no debe ser as y la segunda sí. Como es sin reemplazo:

P = \dfrac{36}{40}\cdot\dfrac{4}{39} = \dfrac{144}{1560} \approx 0{,}0923

. El factor

\tfrac{36}{40}

es la probabilidad de que la 1.ª no sea as (36 no ases de 40), y

\tfrac{4}{39}

la de que la 2.ª sea uno de los 4 ases restantes entre las 39 cartas.

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 4b.1Dificultad 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2025 — Ejercicio 4b.1 — Distribución normal

Las mediciones de un aparato siguen una distribución normal de media $\mu = 1{,}5\ \text{m}$ y varianza $\sigma^2 = 0{,}64\ \text{m}^2$ (desviación típica $\sigma = 0{,}8\ \text{m}$ ).

¿Cuál es la probabilidad de que una medición sea mayor de $2{,}1\ \text{m}$ ?

Dato: $P(Z \le 0{,}75) = 0{,}7734$ .

P \approx 0{,}2266

P = 0{,}7734

P = 0{,}75

P = 0{,}5

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P \approx 0{,}2266$

Correcto.

z = \dfrac{2{,}1 - 1{,}5}{0{,}8} = 0{,}75

P(X > 2{,}1) = P(Z > 0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266

La desviación típica es

\sigma = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\ \text{m}

. Tipificando:

z = \dfrac{2{,}1 - 1{,}5}{0{,}8} = 0{,}75

. Como la tabla da

P(Z \le 0{,}75) = 0{,}7734

, la probabilidad de medir más de 2,1 m es la cola superior:

P(X > 2{,}1) = P(Z > 0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266

Practica variantes con datos diferentes en EureQuiz

Practica gratis →

Practica este examen completo con EureQuiz

Variantes ilimitadas con datos distintos cada vez. Explicación inmediata. Seguimiento de progreso. Desde 4,95 €/mes o 14 días gratis, sin tarjeta.

Crear cuenta gratis 14 días de prueba gratuita

Otros exámenes de Matemáticas EvAU Castilla-La Mancha:

2024

Otros exámenes de Matemáticas:

Madrid EvAU Galicia ABAU Cataluña PAU Asturias EBAU Baleares PBAU Cantabria EBAU La Rioja EBAU Extremadura EBAU Valencia PAU Murcia EBAU País Vasco EAU Andalucía EvAU Aragón EvAU Canarias EBAU Castilla y León EBAU