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PBAU Illes BalearsConvocatoria ordinaria

Matemáticas PBAU Illes Balears 2025

Matemàtiques II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

PBAU BAL 2025 — Álgebra (matrices)Dificultad 3/5

Sea AA una matriz cuadrada de orden 3 con det⁡(A)=2\det(A) = 2. ¿Cuánto vale det⁡(2A)\det(2A)?

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Respuesta correcta — opción C

16

¡Correcto! Para una matriz n×nn\times n, det⁡(kA)=kndet⁡(A)\det(kA) = k^n\det(A). Con n=3n=3 y k=2k=2: 23⋅2=162^3\cdot 2 = 16.
Para una matriz cuadrada AA de orden nn y un escalar kk, se cumple det⁡(kA)=kndet⁡(A)\det(kA) = k^n\det(A), porque al multiplicar la matriz por kk cada una de las nn filas queda multiplicada por kk y cada fila aporta un factor kk al determinante. Con n=3n = 3, k=2k = 2 y det⁡(A)=2\det(A) = 2: det⁡(2A)=23⋅2=16\det(2A) = 2^3\cdot 2 = 16.

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PBAU BAL 2025 — Sistemas de ecuacionesDificultad 3/5

Un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene matriz de coeficientes con det⁡=0\det = 0 y rango 2, y la matriz ampliada también tiene rango 2. ¿Cómo es el sistema?

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Respuesta correcta — opción B

Compatible indeterminado

¡Correcto! Rango(A) = rango(A|b) = 2 < 3 incógnitas: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Por el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible cuando rango(A) = rango(A|b). Si ese rango común coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (solución única); si es menor, es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Aquí rango(A) = rango(A|b) = 2 < 3 incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado.

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PBAU BAL 2025 — Análisis (límites)Dificultad 3/5

Calcula lim⁡x→0sin⁡(3x)x\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{x}.

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Respuesta correcta — opción C

3

¡Correcto! lim⁡x→0sin⁡(3x)x=3⋅lim⁡x→0sin⁡(3x)3x=3⋅1=3\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3\cdot 1 = 3.
Es una indeterminación 0/00/0. Usando el límite notable lim⁡u→0sin⁡uu=1\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, escribimos sin⁡(3x)x=3⋅sin⁡(3x)3x\frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}. Cuando x→0x\to0 también 3x→03x\to0, así que sin⁡(3x)3x→1\frac{\sin(3x)}{3x}\to1 y el límite total es 3⋅1=33\cdot1 = 3.

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PBAU BAL 2025 — Derivadas (optimización)Dificultad 3/5

Se quiere construir un rectángulo de perímetro 20 cm con área máxima. ¿Qué dimensiones tiene?

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Respuesta correcta — opción A

5 cm × 5 cm (cuadrado)

¡Correcto! Con perímetro 2(x+y)=202(x+y)=20, y=10−xy=10-x y área A(x)=x(10−x)A(x)=x(10-x). A′(x)=10−2x=0⇒x=5A'(x)=10-2x=0\Rightarrow x=5. El cuadrado de lado 5 cm maximiza el área.
Sea xx la base e yy la altura. Del perímetro 2(x+y)=202(x+y)=20 sale y=10−xy=10-x. El área es A(x)=x(10−x)=10x−x2A(x)=x(10-x)=10x-x^2. Derivando e igualando a cero: A′(x)=10−2x=0⇒x=5A'(x)=10-2x=0\Rightarrow x=5, con A′′(x)=−2<0A''(x)=-2<0 (máximo). Entonces y=5y=5: el rectángulo de área máxima a perímetro fijo es el cuadrado de lado 5 cm.

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PBAU BAL 2025 — Integral definidaDificultad 3/5

Calcula ∫02(3x2+1) dx\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx.

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Respuesta correcta — opción D

10

¡Correcto! ∫(3x2+1)dx=x3+x\int(3x^2+1)dx = x^3 + x. Evaluando: (8+2)−(0+0)=10(8+2)-(0+0) = 10.
Integrando término a término, una primitiva de 3x2+13x^2+1 es F(x)=x3+xF(x)=x^3+x. Por la regla de Barrow, ∫02(3x2+1)dx=F(2)−F(0)=(23+2)−(03+0)=10\int_0^2(3x^2+1)dx = F(2)-F(0) = (2^3+2)-(0^3+0) = 10.

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PBAU BAL 2025 — Geometría (producto escalar)Dificultad 3/5

Dados u⃗=(1,2,2)\vec{u}=(1,2,2) y v⃗=(2,−1,2)\vec{v}=(2,-1,2), ¿cuánto vale el producto escalar u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}?

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Respuesta correcta — opción B

4

¡Correcto! u⃗⋅v⃗=1⋅2+2⋅(−1)+2⋅2=2−2+4=4\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2 = 2-2+4 = 4.
El producto escalar de dos vectores en el espacio se obtiene sumando los productos de sus componentes homólogas: u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3=1⋅2+2⋅(−1)+2⋅2=2−2+4=4\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2 = 2-2+4 = 4.

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PBAU BAL 2025 — Geometría (distancia punto-plano)Dificultad 3/5

Calcula la distancia del punto P(1,1,1)P(1,1,1) al plano π:2x−y+2z−3=0\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0.

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Respuesta correcta — opción A

0

¡Correcto! d=∣2⋅1−1+2⋅1−3∣22+(−1)2+22=∣0∣3=0d = \dfrac{|2\cdot1 - 1 + 2\cdot1 - 3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \dfrac{|0|}{3} = 0. El punto pertenece al plano.
La distancia de un punto P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0) a un plano Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 es d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. Sustituyendo P(1,1,1)P(1,1,1): numerador ∣2−1+2−3∣=0|2-1+2-3|=0 y denominador 4+1+4=3\sqrt{4+1+4}=3, de modo que d=0d=0: el punto pertenece al plano.

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PBAU BAL 2025 — ProbabilidadDificultad 3/5

En una urna hay 4 bolas rojas y 6 azules. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

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Respuesta correcta — opción C

2/15

¡Correcto! P=410⋅39=1290=215P = \dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}.
En extracción sin reemplazamiento la urna cambia entre extracciones. La probabilidad de roja en la primera es 410\frac{4}{10}; tras retirarla quedan 3 rojas entre 9 bolas, así que la segunda es 39\frac{3}{9}. Por la regla del producto: P(ambas rojas)=410⋅39=1290=215P(\text{ambas rojas}) = \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}.

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