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EBAU AsturiasConvocatoria ordinaria

Matemáticas EBAU Asturias 2025

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

  • 1 hora 30 minutos
  • Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

  • Álgebra lineal
  • Análisis matemático
  • Geometría analítica
  • Estadística y probabilidad
Web oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 1B.aDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 1B.a — Matriz invertible

Dada B=(−1−1−211121x)B = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & x \end{pmatrix}, ¿para qué valores de xx tiene inversa BB (es decir, det⁡B≠0\det B \neq 0)?

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Respuesta correcta — opción A

Para todo x∈Rx\in\mathbb{R} (det⁡B=1\det B = 1)

Correcto. det⁡B=−1(x−1)−(−1)(x−2)+(−2)(1−2)=−x+1+x−2+2=1≠0\det B = -1(x-1) - (-1)(x-2) + (-2)(1-2) = -x+1 +x-2 +2 = 1 \neq 0 para todo xx. Por tanto BB tiene inversa para todo x∈Rx\in\mathbb{R}.
Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollando det⁡B\det B por la primera fila: −1(1⋅x−1⋅1)−(−1)(1⋅x−1⋅2)+(−2)(1⋅1−1⋅2)=−1(x−1)+(x−2)−2(−1)=−x+1+x−2+2=1-1(1\cdot x - 1\cdot1) - (-1)(1\cdot x - 1\cdot2) + (-2)(1\cdot1 - 1\cdot2) = -1(x-1) + (x-2) - 2(-1) = -x+1+x-2+2 = 1. Como el determinante vale 1 para cualquier xx, la matriz BB tiene inversa para todo x∈Rx\in\mathbb{R}.

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EBAU Asturias 2025 — Pregunta 2A.aDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 2A.a — Continuidad de una función a trozos

Sea f(x)={x2,0≤x<43−(x−5)2,4≤xf(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{2}, & 0 \le x < 4 \\ 3 - (x-5)^2, & 4 \le x \end{cases}.

¿Es continua en x=4x = 4?

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Respuesta correcta — opción A

Sí, ambos límites laterales valen 2

Correcto. Por la izquierda: lim⁡x→4−x2=2\lim_{x\to4^-} \dfrac{x}{2} = 2. Por la derecha: 3−(4−5)2=3−1=23-(4-5)^2 = 3-1 = 2. Coinciden y f(4)=2f(4) = 2, así que sí es continua en x=4x=4.
Una función a trozos es continua en el punto de empalme si los límites laterales coinciden con el valor de la función. Por la izquierda: lim⁡x→4−x2=2\lim_{x\to4^-} \dfrac{x}{2} = 2. Por la derecha: lim⁡x→4+[3−(x−5)2]=3−(4−5)2=3−1=2\lim_{x\to4^+}[3-(x-5)^2] = 3-(4-5)^2 = 3-1 = 2. Como ambos valen 2 y f(4)=2f(4)=2, la función es continua en x=4x=4.

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EBAU Asturias 2025 — Pregunta 2B.aDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 2B.a — Derivada de un cociente

De dos funciones se sabe f(1)=1f(1)=1, f′(1)=2f'(1)=2, g(1)=−1g(1)=-1, g′(1)=2g'(1)=2. Sea h(x)=f(x)g(x)h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.

¿Cuánto vale h′(1)h'(1)?

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Respuesta correcta — opción A

h′(1)=−4h'(1) = -4

Correcto. h′(x)=f′g−fg′g2h'(x) = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}. En x=1x=1: 2⋅(−1)−1⋅2(−1)2=−2−21=−4\dfrac{2\cdot(-1) - 1\cdot2}{(-1)^2} = \dfrac{-2-2}{1} = -4.
Por la regla del cociente, h′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2h'(x) = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}. Sustituyendo en x=1x=1 con f(1)=1f(1)=1, f′(1)=2f'(1)=2, g(1)=−1g(1)=-1, g′(1)=2g'(1)=2: h′(1)=2⋅(−1)−1⋅2(−1)2=−2−21=−4h'(1) = \dfrac{2\cdot(-1) - 1\cdot2}{(-1)^2} = \dfrac{-2-2}{1} = -4.

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EBAU Asturias 2025 — Pregunta 3B.aDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 3B.a — Área bajo una curva

Calcula el área encerrada por f(x)=4sin⁡(x−π)f(x) = 4\sin(x-\pi), el eje y=0y=0 y las rectas x=0x=0, x=πx=\pi.

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Respuesta correcta — opción A

Área =8= 8

Correcto. En [0,π][0,\pi], sin⁡(x−π)≤0\sin(x-\pi) \le 0, así que el área es ∣∫0π4sin⁡(x−π) dx∣\left|\int_0^\pi 4\sin(x-\pi)\,dx\right|. ∫4sin⁡(x−π)dx=−4cos⁡(x−π)\int 4\sin(x-\pi)dx = -4\cos(x-\pi), evaluado: [−4cos⁡(0)]−[−4cos⁡(−π)]=−4−4=−8[-4\cos(0)]-[-4\cos(-\pi)] = -4 - 4 = -8. Área =8= 8.
En [0,π][0,\pi], x−πx-\pi recorre [−π,0][-\pi,0], donde el seno es negativo o nulo, de modo que f(x)≤0f(x)\le0 y el área es el valor absoluto de la integral. Una primitiva es ∫4sin⁡(x−π) dx=−4cos⁡(x−π)\int 4\sin(x-\pi)\,dx = -4\cos(x-\pi). Evaluando: [−4cos⁡(x−π)]0π=−4cos⁡(0)−(−4cos⁡(−π))=−4−4=−8[-4\cos(x-\pi)]_0^\pi = -4\cos(0) - (-4\cos(-\pi)) = -4 - 4 = -8. El área encerrada es ∣−8∣=8|-8| = 8 unidades cuadradas.

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EBAU Asturias 2025 — Pregunta 4A.aDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 4A.a — Posición relativa de dos rectas

Dos rectas: r1(t)=(2+t, −1−2t, 3+2t)r_1(t) = (2+t,\ -1-2t,\ 3+2t) y r2(s)=(1+2s, 4−s, 4−2s)r_2(s) = (1+2s,\ 4-s,\ 4-2s). Sus vectores directores son u1⃗=(1,−2,2)\vec{u_1} = (1,-2,2) y u2⃗=(2,−1,−2)\vec{u_2} = (2,-1,-2).

¿Cuál es la posición relativa de las rectas?

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Respuesta correcta — opción A

Se cruzan (alabeadas)

Correcto. Los directores no son proporcionales (1/2≠−2/−11/2 \neq -2/-1), así que no son paralelas. Comprobando, no tienen punto común: se cruzan (rectas alabeadas).
Para estudiar la posición relativa, primero se comparan los vectores directores: u1⃗=(1,−2,2)\vec{u_1}=(1,-2,2) y u2⃗=(2,−1,−2)\vec{u_2}=(2,-1,-2) no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes. A continuación se busca un punto común resolviendo el sistema; como resulta incompatible (no hay valores de tt y ss que igualen las tres coordenadas), las rectas no se cortan. Por tanto, se cruzan en el espacio (rectas alabeadas).

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EBAU Asturias 2025 — Pregunta 4B.bDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 4B.b — Área de un triángulo en el espacio

Dados A(1,2,3)A(1,2,3), B(−2,1,4)B(-2,1,4) y C(3,0,5)C(3,0,5), calcula el área del triángulo ABCABC usando Aˊrea=12∣AB⃗×AC⃗∣\text{Área} = \tfrac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|.

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Respuesta correcta — opción A

Área =42≈5,66= 4\sqrt2 \approx 5{,}66

Correcto. AB⃗=(−3,−1,1)\vec{AB}=(-3,-1,1), AC⃗=(2,−2,2)\vec{AC}=(2,-2,2). AB⃗×AC⃗=(0,8,8)\vec{AB}\times\vec{AC} = (0, 8, 8). ∣⋅∣=0+64+64=128=82|\cdot| = \sqrt{0+64+64} = \sqrt{128} = 8\sqrt2. Área =12⋅82=42≈5,66= \tfrac12\cdot8\sqrt2 = 4\sqrt2 \approx 5{,}66.
El área de un triángulo de vértices AA, BB, CC es 12∣AB⃗×AC⃗∣\tfrac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|. Con AB⃗=B−A=(−3,−1,1)\vec{AB} = B-A = (-3,-1,1) y AC⃗=C−A=(2,−2,2)\vec{AC} = C-A = (2,-2,2), el producto vectorial es AB⃗×AC⃗=(0,8,8)\vec{AB}\times\vec{AC} = (0, 8, 8), cuyo módulo es 02+82+82=128=82\sqrt{0^2+8^2+8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt2. El área es por tanto 12⋅82=42≈5,66\tfrac12\cdot8\sqrt2 = 4\sqrt2 \approx 5{,}66 unidades cuadradas.

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EBAU Asturias 2025 — Pregunta 5A.aDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 5A.a — Probabilidad binomial (al menos una)

En una fábrica, el 6 %6\,\% de las piezas son defectuosas. Se toman 1010 piezas al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea defectuosa?

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Respuesta correcta — opción A

P≈0,461P \approx 0{,}461

Correcto. P(al menos una)=1−P(ninguna)=1−0,9410=1−0,539≈0,461P(\text{al menos una}) = 1 - P(\text{ninguna}) = 1 - 0{,}94^{10} = 1 - 0{,}539 \approx 0{,}461.
El número de piezas defectuosas en 10 sigue una distribución binomial B(10; 0,06)B(10;\ 0{,}06). La probabilidad de "al menos una defectuosa" se calcula por el complementario: P(X≥1)=1−P(X=0)=1−0,9410P(X\ge1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}94^{10}. Como 0,9410≈0,5390{,}94^{10} \approx 0{,}539, resulta P≈1−0,539=0,461P \approx 1 - 0{,}539 = 0{,}461.

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EBAU Asturias 2025 — Pregunta 5B.aDificultad 3/5

EBAU Asturias 2025 — Pregunta 5B.a — Distribución normal (intervalo)

El tiempo de atención al cliente sigue N(μ=30, σ=5)N(\mu=30,\ \sigma=5) minutos.

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tarde entre 25 y 30 minutos?

Dato: F(1)=P(Z≤1)=0,8413F(1) = P(Z\le1) = 0{,}8413.

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Respuesta correcta — opción A

P≈0,3413P \approx 0{,}3413

Correcto. z25=25−305=−1z_{25} = \dfrac{25-30}{5} = -1, z30=0z_{30} = 0. P(−1≤Z≤0)=F(0)−F(−1)=0,5−(1−0,8413)=0,5−0,1587=0,3413P(-1\le Z\le0) = F(0)-F(-1) = 0{,}5 - (1-0{,}8413) = 0{,}5 - 0{,}1587 = 0{,}3413.
Tipificando los extremos del intervalo con z=x−μσz = \dfrac{x-\mu}{\sigma}: z25=25−305=−1z_{25} = \dfrac{25-30}{5} = -1 y z30=30−305=0z_{30} = \dfrac{30-30}{5} = 0. La probabilidad es P(−1≤Z≤0)=F(0)−F(−1)P(-1\le Z\le0) = F(0) - F(-1). Por simetría, F(−1)=1−F(1)=1−0,8413=0,1587F(-1) = 1 - F(1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587, así que P=0,5−0,1587=0,3413P = 0{,}5 - 0{,}1587 = 0{,}3413.

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