EvAU MadridConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS EvAU Madrid 2025

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Cuatro ejercicios de 2,5 puntos (el primero sin opcionalidad)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EvAU MAD 2025 — Ej. 1.a (sistema de ecuaciones)Dificultad 3/5

Una frutería vende sandía rayada ( $x$ kg, a $1{,}25$ €/kg), negra con pepitas ( $y$ kg, a $2{,}25$ €/kg) y negra sin pepitas ( $z$ kg, a $2{,}75$ €/kg). Vende $2700$ kg en total ( $x+y+z=2700$ ), quiere recaudar $5400$ € ( $1{,}25x+2{,}25y+2{,}75z=5400$ ) y que los kilos con pepitas sean un tercio de los demás ( $x-3y+z=0$ ). ¿Cuántos kilos de sandía negra sin pepitas ( $z$ ) debe vender?

675

1125

900

2700

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$900$ kg

Correcto: resolviendo el sistema se obtiene

x=1125

y=675

z=900

. La sandía negra sin pepitas es

z=900

kg.

Con

x+y+z=2700

1{,}25x+2{,}25y+2{,}75z=5400

x-3y+z=0

, resolvemos por Gauss. De la primera y la tercera:

(x+z)=2700-y

x+z=3y

, luego

3y=2700-y\Rightarrow 4y=2700\Rightarrow y=675

. Sustituyendo en la ecuación de recaudación se obtiene

z=900

x=1125

. Por tanto, hay que vender

900

kg de sandía negra sin pepitas,

675

kg de negra con pepitas y

1125

kg de rayada.

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EvAU MAD 2025 — Ej. 1.b (precio único)Dificultad 3/5

En el mismo problema de las sandías, el frutero quiere poner el mismo precio a todas las variedades y seguir recaudando $5400$ € vendiendo los $2700$ kg. ¿Cuál debería ser ese precio único por kilo?

1{,}25

€

2

€

2{,}25

€

2{,}75

€

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$2$ €

Correcto: si todas valen lo mismo a

p

€/kg, entonces

p\cdot 2700=5400\Rightarrow p=2

€/kg.

Si todas las variedades se venden al mismo precio

p

€/kg y se venden los

2700

kg, la recaudación es

p\cdot 2700

. Para que sea

5400

€:

p=\dfrac{5400}{2700}=2

€/kg. Con este precio el sistema tiene infinitas soluciones (la solución no es única): solo queda fijada

y=675

kg de sandía con pepitas, mientras que el reparto entre rayada y negra sin pepitas puede variar sumando

2025

kg.

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EvAU MAD 2025 — Ej. 2.1.a (continuidad)Dificultad 3/5

Sea $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+1}{x-1} & x\le 0\\[4pt]\dfrac{x+a}{x+1} & x>0\end{cases}$ con $a\in\mathbb{R}$ . ¿Qué valor debe tomar $a$ para que $f$ sea continua en $x=0$ ?

a=-1

a=1

a=0

a=2

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$a=-1$

Correcto:

f(0)=\dfrac{0+1}{0-1}=-1

\lim_{x\to 0^+}f(x)=\dfrac{0+a}{0+1}=a

. Para continuidad

a=-1

Una función definida a trozos es continua en el punto de empalme

x=0

si y solo si

\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)

. Aquí

f(0)

y el límite por la izquierda valen

\dfrac{0^2+1}{0-1}=-1

, mientras que el límite por la derecha vale

\dfrac{0+a}{0+1}=a

. Igualando:

a=-1

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EvAU MAD 2025 — Ej. 2.2.a (extremos relativos)Dificultad 3/5

Sea $f(x)=e^{x}(-x^2+3)$ . Su derivada es $f'(x)=e^{x}(-x^2-2x+3)$ . ¿En qué punto presenta $f$ un máximo relativo?

x=-3

x=0

x=1

x=3

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$x=1$

Correcto:

f'(x)=0\Rightarrow -x^2-2x+3=0\Rightarrow x=-3,\ x=1

. La función crece en

(-3,1)

y decrece después, así que en

x=1

hay un máximo relativo.

Para

f(x)=e^{x}(-x^2+3)

f'(x)=e^{x}(-x^2+3)+e^{x}(-2x)=e^{x}(-x^2-2x+3)

. Como

e^x>0

f'(x)=0\Leftrightarrow -x^2-2x+3=0\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\Leftrightarrow x=-3,\ x=1

. Estudiando el signo:

f

decrece en

(-\infty,-3)

, crece en

(-3,1)

y decrece en

(1,\infty)

. Por tanto hay un mínimo relativo en

x=-3

y un máximo relativo en

x=1

, donde

f(1)=2e

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EvAU MAD 2025 — Ej. 3.1.a (tamaño muestral)Dificultad 3/5

Un maestro jabonero sabe que el $90\%$ de sus pastillas pasan el control de calidad ( $p=0{,}90$ ). Se quiere estimar esa proporción con un nivel de confianza del $95\%$ ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ ) y un margen de error inferior al $5\%$ ( $E<0{,}05$ ). ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra?

138

139

96

196

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$139$

Correcto:

n>\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,p\,q}{E^2}=\dfrac{1{,}96^2\cdot 0{,}90\cdot 0{,}10}{0{,}05^2}=138{,}3

, luego el mínimo es

n=139

El margen de error en la estimación de una proporción es

E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{pq}{n}}

. Imponiendo

E<0{,}05

y despejando:

n>\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,p\,q}{E^2}=\dfrac{1{,}96^2\cdot 0{,}90\cdot 0{,}10}{0{,}05^2}=138{,}3

. Como

n

debe ser entero y superar esa cota para garantizar el margen exigido, el tamaño mínimo es

n=139

pastillas.

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EvAU MAD 2025 — Ej. 3.2.a (intervalo de confianza)Dificultad 3/5

El peso de las pastillas sigue $X\sim N(\mu,\,30)$ gramos. En una muestra de $140$ pastillas el peso total fue $17500$ g, así que la media muestral es $\bar{x}=125$ g. Con un nivel de confianza del $99\%$ ( $z_{\alpha/2}=2{,}575$ ), ¿cuál es el error del intervalo de confianza para $\mu$ (redondeado a centésimas)?

2{,}54

-6{,}53

6{,}53

30

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$6{,}53$ g

Correcto:

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}575\cdot\dfrac{30}{\sqrt{140}}\approx 6{,}53

El intervalo de confianza para la media con desviación típica poblacional conocida es

\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

. El error (semiamplitud) es

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}575\cdot\dfrac{30}{\sqrt{140}}=\dfrac{77{,}25}{11{,}83}\approx 6{,}53

g. El intervalo resulta

(125-6{,}53;\ 125+6{,}53)=(118{,}47;\ 131{,}53)

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EvAU MAD 2025 — Ej. 4.1.a (probabilidad total)Dificultad 3/5

En un concesionario, el $50\%$ de las ventas son microhíbridos, el $35\%$ híbridos y el $15\%$ eléctricos enchufables. El acabado más alto de gama se vende en el $45\%$ de los microhíbridos, el $60\%$ de los híbridos y el $80\%$ de los eléctricos. ¿Cuál es la probabilidad de que un coche vendido al azar tenga el acabado más alto de gama?

0{,}445

0{,}555

0{,}80

0{,}15

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$0{,}555$

Correcto: por la probabilidad total,

P(G)=0{,}45\cdot 0{,}50+0{,}60\cdot 0{,}35+0{,}80\cdot 0{,}15=0{,}225+0{,}21+0{,}12=0{,}555

Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un coche vendido tenga el acabado más alto de gama (

G

) es

P(G)=P(G|M)P(M)+P(G|H)P(H)+P(G|E)P(E)=0{,}45\cdot 0{,}50+0{,}60\cdot 0{,}35+0{,}80\cdot 0{,}15=0{,}225+0{,}21+0{,}12=0{,}555

. En consecuencia, la probabilidad de NO tener el acabado más alto es

1-0{,}555=0{,}445

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EvAU MAD 2025 — Ej. 4.1.b (probabilidad inversa, Bayes)Dificultad 3/5

Con los datos del concesionario anterior ( $P(G)=0{,}555$ ; los eléctricos son el $15\%$ y en ellos el acabado más alto se da en el $80\%$ ), si un coche vendido tiene el acabado más alto de gama, ¿cuál es la probabilidad de que sea eléctrico enchufable? (Redondea a centésimas.)

0{,}22

0{,}80

0{,}15

0{,}12

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Respuesta correcta — opción A

$0{,}22$

Correcto: por Bayes,

P(E|G)=\dfrac{P(G|E)P(E)}{P(G)}=\dfrac{0{,}80\cdot 0{,}15}{0{,}555}=\dfrac{0{,}12}{0{,}555}\approx 0{,}22

Se pide la probabilidad inversa

P(E|G)

: dado que el coche tiene el acabado más alto, que sea eléctrico. Por el teorema de Bayes,

P(E|G)=\dfrac{P(G|E)\,P(E)}{P(G)}=\dfrac{0{,}80\cdot 0{,}15}{0{,}555}=\dfrac{0{,}12}{0{,}555}\approx 0{,}22

. Es decir, aunque solo el

15\%

de los coches son eléctricos, entre los que llevan el acabado más alto la proporción de eléctricos sube hasta el

22\%

aproximadamente.

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