EBAU Castilla y LeónConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS EBAU Castilla y León 2025

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Apartados por bloques (álgebra, análisis y probabilidad-estadística)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU CyL 2025 — Ap.3 (probabilidad total)Dificultad 3/5

Seis de cada diez personas practican deporte ( $P=0{,}6$ ). Entre quienes practican, el $85\%$ presenció un evento deportivo; entre quienes no, el $70\%$ . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona al azar haya presenciado un evento deportivo?

0{,}85

0{,}70

0{,}79

0{,}60

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$0{,}79$

Correcto: por la probabilidad total,

P=0{,}6\cdot 0{,}85+0{,}4\cdot 0{,}70=0{,}51+0{,}28=0{,}79

Sea

D

= "practica deporte" (

P(D)=0{,}6

) y "presenció" el suceso de haber presenciado un evento deportivo. Por el teorema de la probabilidad total:

P(\text{presenció})=P(\text{pres}|D)P(D)+P(\text{pres}|\bar{D})P(\bar{D})=0{,}85\cdot 0{,}6+0{,}70\cdot 0{,}4=0{,}51+0{,}28=0{,}79

. En consecuencia, la probabilidad de NO haber presenciado ningún evento es

1-0{,}79=0{,}21

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EBAU CyL 2025 — Ap.3.1.b (Bayes)Dificultad 3/5

Con los datos anteriores ( $P(D)=0{,}6$ ; entre los que practican el $85\%$ presenció, entre los que no el $70\%$ ; $P(\text{no presenció})=0{,}21$ ), una persona elegida al azar NO ha presenciado ningún evento. ¿Cuál es la probabilidad de que SÍ practique deporte?

\approx 0{,}43

0{,}6

0{,}15

0{,}79

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\approx 0{,}43$

Correcto:

P(D|\text{no pres})=\dfrac{P(\text{no pres}|D)P(D)}{P(\text{no pres})}=\dfrac{0{,}15\cdot 0{,}6}{0{,}21}=\dfrac{0{,}09}{0{,}21}\approx 0{,}43

Se pide

P(D|\text{no presenció})

por el teorema de Bayes. La probabilidad de no presenciar entre los practicantes es

1-0{,}85=0{,}15

. Entonces

P(D|\text{no pres})=\dfrac{P(\text{no pres}|D)P(D)}{P(\text{no pres})}=\dfrac{0{,}15\cdot 0{,}6}{0{,}21}=\dfrac{0{,}09}{0{,}21}\approx 0{,}43

. Como

0{,}43<0{,}5

, es más probable que quien no ha presenciado ningún evento NO practique deporte (

P(\bar{D}|\text{no pres})\approx 0{,}57

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EBAU CyL 2025 — Ap.3.2.a (binomial)Dificultad 3/5

Entre quienes NO practican deporte, el $70\%$ presenció un evento deportivo. Se eligen $8$ personas de ese grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad ( $4$ ) hayan presenciado un evento? (Usa $p=0{,}7$ .)

0{,}5

\approx 0{,}136

0{,}25

0{,}70

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Respuesta correcta — opción B

$\approx 0{,}136$

Correcto:

P(X=4)=\binom{8}{4}\,0{,}7^4\,0{,}3^4=70\cdot 0{,}2401\cdot 0{,}0081\approx 0{,}136

El número de personas (de las 8 no practicantes) que presenciaron un evento deportivo sigue una distribución binomial

X\sim B(n=8,\ p=0{,}7)

. La probabilidad de que exactamente

4

lo hayan presenciado es

P(X=4)=\binom{8}{4}\,0{,}7^4\,0{,}3^4=70\cdot 0{,}2401\cdot 0{,}0081\approx 0{,}136

. La probabilidad de que "alguna" lo haya presenciado se calcularía por el complementario:

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0{,}3^8\approx 0{,}9999

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EBAU CyL 2025 — Ap.3.2.b (binomial: complementario)Dificultad 3/5

De las $8$ personas que no practican deporte ( $p=0{,}7$ de presenciar un evento), ¿cuál es la probabilidad de que al menos una haya presenciado un evento deportivo?

0{,}7

0{,}136

\approx 1

(

1-0{,}3^8

)

0{,}3^8

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Respuesta correcta — opción C

$\approx 1$ ( $1-0{,}3^8$ )

Correcto:

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0{,}3^8\approx 0{,}99993

Para calcular la probabilidad de que "al menos una" de las 8 personas haya presenciado un evento, lo más sencillo es usar el suceso complementario "ninguna lo presenció":

P(X\ge 1)=1-P(X=0)

. Con

X\sim B(8,\ 0{,}7)

P(X=0)=\binom{8}{0}0{,}7^0\,0{,}3^8=0{,}3^8\approx 0{,}0000656

. Por tanto,

P(X\ge 1)=1-0{,}3^8\approx 0{,}99993

, es decir, es prácticamente seguro que al menos una de las ocho haya presenciado un evento deportivo.

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EBAU CyL 2025 — Ap.3.3.a (distribución normal)Dificultad 3/5

El tiempo (horas/año) presenciando eventos sigue $N(\mu=25,\ \sigma=10)$ . ¿Qué porcentaje de personas presenció eventos más de $30$ horas al año? (Usa $P(Z\le 0{,}5)=0{,}6915$ .)

69{,}15\%

30{,}85\%

50\%

0{,}5\%

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Respuesta correcta — opción B

$30{,}85\%$

Correcto:

P(X>30)=P\left(Z>\dfrac{30-25}{10}\right)=P(Z>0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085=30{,}85\%

Con

X\sim N(25,\ 10)

, tipificamos para calcular

P(X>30)

Z=\dfrac{30-25}{10}=0{,}5

. Entonces

P(X>30)=P(Z>0{,}5)=1-P(Z\le 0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085

. Por tanto, aproximadamente el

30{,}85\%

de las personas presenciaron eventos deportivos más de

30

horas al año.

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EBAU CyL 2025 — Ap.3.3.b (intervalo de confianza)Dificultad 3/5

Para estimar la media de horas ( $\sigma=10$ ), se toma una muestra de $n=49$ con media $\bar{x}=26$ . Con un nivel de confianza del $98\%$ ( $z_{\alpha/2}=2{,}33$ ), ¿cuál es el error del intervalo (redondeado a centésimas)?

1{,}43

10

\approx 3{,}33

0{,}33

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Respuesta correcta — opción C

$\approx 3{,}33$

Correcto:

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}33\cdot\dfrac{10}{\sqrt{49}}=2{,}33\cdot\dfrac{10}{7}\approx 3{,}33

El intervalo de confianza para la media con desviación típica conocida es

\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

. El error (semiamplitud) es

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}33\cdot\dfrac{10}{\sqrt{49}}=2{,}33\cdot\dfrac{10}{7}\approx 3{,}33

horas. El intervalo resulta

(26-3{,}33;\ 26+3{,}33)=(22{,}67;\ 29{,}33)

horas, con un nivel de confianza del

98\%

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EBAU CyL 2025 — Ap.1 (clasificación de sistemas)Dificultad 3/5

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se clasifica con Rouché-Frobenius. Si $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2$ (menor que el número de incógnitas, 3), ¿cómo es el sistema?

ACompatible determinado

BCompatible indeterminado (infinitas soluciones)

CIncompatible (sin solución)

DNo se puede clasificar

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Respuesta correcta — opción B

Compatible indeterminado (infinitas soluciones)

Correcto: compatible indeterminado (infinitas soluciones), porque

\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2<3

Según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible cuando el rango de la matriz de coeficientes

A

coincide con el de la ampliada

A^

. Si además ese rango común es igual al número de incógnitas $n$ , el sistema es compatible determinado (solución única); si es menor que $n$ , es compatible indeterminado (infinitas soluciones, con $n-\text{rg}$ parámetros libres). En este caso, $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^$ )=2<3

rg (A) = rg (A^{*}) = 2 < 3

, por lo que el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

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EBAU CyL 2025 — Ap.2 (extremos de una función)Dificultad 3/5

La función de material contaminante es $m(t)=\frac{1}{200}t^3-\frac{1}{10}t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}$ . Su derivada es $m'(t)=\frac{3}{200}t^2-\frac{1}{5}t+\frac{1}{2}$ . Para hallar los extremos, ¿qué ecuación hay que resolver?

m'(t)=0

m(t)=0

m''(t)=0

m(t)=1

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$m'(t)=0$

Correcto: los extremos están donde la derivada se anula:

m'(t)=0

Los extremos relativos (máximos y mínimos) de una función derivable se encuentran en los puntos donde su primera derivada se anula, es decir, donde la pendiente de la recta tangente es cero:

m'(t)=0

. Una vez halladas esas soluciones, se determina si cada una es máximo o mínimo estudiando el signo de la derivada a ambos lados (o el signo de la segunda derivada). Igualar la función original a cero da los cortes con el eje horizontal, y la segunda derivada igualada a cero da los puntos de inflexión, no los extremos.

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