EvAU AragónConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS EvAU Aragón 2025

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Tres preguntas obligatorias y una a elegir (programación lineal, análisis, probabilidad)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EvAU ARA 2025 — Ej.1.a (planteamiento de programación lineal)Dificultad 3/5

Miguel compra barritas A (1,50 €, 20 g de proteínas, 10 g de carbohidratos) y B (1,20 €, 10 g de proteínas, 15 g de carbohidratos). Necesita al menos 600 g de proteínas y al menos 620 g de carbohidratos, y no más de 100 barritas en total. Si $x$ son las barritas A e $y$ las B, ¿cuál es el planteamiento correcto?

AMin

C=1{,}5x+1{,}2y

;

20x+10y\ge 600

;

10x+15y\ge 620

;

x+y\le 100

;

x,y\ge 0

BMin

C=1{,}5x+1{,}2y

;

20x+10y\le 600

;

10x+15y\le 620

;

x+y\le 100

CMax

C=1{,}5x+1{,}2y

;

20x+10y\ge 600

;

10x+15y\ge 620

;

x+y\le 100

DMin

C=1{,}5x+1{,}2y

;

20x+10y\ge 600

;

10x+15y\ge 620

;

x+y=100

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Min $C=1{,}5x+1{,}2y$ ; $20x+10y\ge 600$ ; $10x+15y\ge 620$ ; $x+y\le 100$ ; $x,y\ge 0$

Correcto: minimizar

C=1{,}5x+1{,}2y

con

20x+10y\ge 600

10x+15y\ge 620

x+y\le 100

x,y\ge 0

En un problema de programación lineal hay que definir las variables (

x

= barritas A,

y

= barritas B), la función objetivo y las restricciones. El coste se quiere minimizar:

C=1{,}5x+1{,}2y

. Las exigencias nutricionales son cotas inferiores ("al menos"):

20x+10y\ge 600

(proteínas) y

10x+15y\ge 620

(carbohidratos). El límite de barritas es una cota superior ("no más de"):

x+y\le 100

. Y, por el contexto,

x,y\ge 0

. La solución óptima se busca evaluando

C

en los vértices de la región factible.

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EvAU ARA 2025 — Ej.1.b (evaluación del coste)Dificultad 3/5

En el problema de las barritas (A: 1,50 €; B: 1,20 €), supón que un vértice de la región factible es $(20,30)$ , es decir, 20 barritas A y 30 barritas B. ¿Cuál es el coste en ese vértice?

50

€

60

€

66

€

36

€

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$66$ €

Correcto:

C=1{,}5\cdot 20+1{,}2\cdot 30=30+36=66

€.

Para hallar el coste en un vértice de la región factible se evalúa la función objetivo en sus coordenadas:

C=1{,}5x+1{,}2y

. En el vértice

(20,30)

C=1{,}5\cdot 20+1{,}2\cdot 30=30+36=66

€. El mínimo del problema se obtiene comparando el coste en todos los vértices de la región factible y eligiendo el menor.

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EvAU ARA 2025 — Ej.2.a (usuarios en el lanzamiento)Dificultad 3/5

El número de usuarios de una app es $N(t)=\dfrac{1400\,t}{49+t^2}+100$ (en miles, con $t$ en cientos de días). Se considera exitosa la campaña si en el lanzamiento ( $t=0$ ) hay al menos 100.000 usuarios. ¿Cuántos usuarios hay en $t=0$ y fue exitosa?

1400

mil usuarios; sí fue exitosa

100

mil usuarios (100.000); sí fue exitosa

0

usuarios; no fue exitosa

1500

mil usuarios; sí fue exitosa

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$100$ mil usuarios (100.000); sí fue exitosa

Correcto:

N(0)=\dfrac{1400\cdot 0}{49}+100=100

(miles), es decir 100.000 usuarios. Cumple justo el mínimo: la campaña fue exitosa.

Para conocer el número de usuarios en el lanzamiento, sustituimos

t=0

N(t)=\dfrac{1400t}{49+t^2}+100

: el primer término se anula porque el numerador es

0

, así que

N(0)=0+100=100

(en miles), es decir, 100.000 usuarios. Como el mínimo exigido para considerar exitosa la campaña era de 100.000 usuarios, la campaña cumple justo ese umbral y se considera exitosa. En un horizonte infinito,

\lim_{t\to\infty}N(t)=100

(miles), porque el término

\dfrac{1400t}{49+t^2}\to 0

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EvAU ARA 2025 — Ej.2.b (máximo de usuarios)Dificultad 3/5

Para $N(t)=\dfrac{1400\,t}{49+t^2}+100$ , su derivada es $N'(t)=\dfrac{1400(49-t^2)}{(49+t^2)^2}$ . En $t\in[1,14]$ , ¿en qué valor de $t$ alcanza la app el máximo número de usuarios?

t=1

t=-7

t=7

t=14

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$t=7$

Correcto:

N'(t)=0\Rightarrow 49-t^2=0\Rightarrow t=7

(la raíz positiva). En

t=7

hay un máximo.

El máximo de

N(t)

se alcanza donde

N'(t)=0

. Como

N'(t)=\dfrac{1400(49-t^2)}{(49+t^2)^2}

y el denominador es siempre positivo, basta resolver

49-t^2=0\Rightarrow t^2=49\Rightarrow t=\pm 7

. La raíz

t=-7

se descarta por carecer de sentido (el tiempo no es negativo) y por estar fuera de

[1,14]

. En

t=7

la derivada pasa de positiva a negativa, así que la función crece antes y decrece después: hay un máximo. Como

t

se mide en cientos de días,

t=7

equivale a 700 días desde el lanzamiento, y

N(7)=\dfrac{1400\cdot 7}{49+49}+100=\dfrac{9800}{98}+100=100+100=200

(miles), es decir, 200.000 usuarios.

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EvAU ARA 2025 — Ej.3.a (proporción muestral)Dificultad 3/5

En una encuesta a 300 suscriptores, 210 prefieren ciencia ficción. ¿Cuál es la proporción muestral $\hat{p}$ de suscriptores que prefieren ciencia ficción?

0{,}3

0{,}7

210

0{,}21

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$0{,}7$

Correcto:

\hat{p}=\dfrac{210}{300}=0{,}7

La proporción muestral

\hat{p}

es el cociente entre el número de elementos con la característica estudiada y el tamaño total de la muestra:

\hat{p}=\dfrac{210}{300}=0{,}7

. Esta proporción es el centro del intervalo de confianza para la proporción poblacional. Para construir el intervalo al 96 % de confianza se usaría

\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}

, con

\hat{q}=0{,}3

n=300

z_{\alpha/2}\approx 2{,}05

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EvAU ARA 2025 — Ej.3.b (probabilidad total y Bayes)Dificultad 3/5

El 60 % de los usuarios son menores de 30 años, y de ellos el 80 % prefiere ciencia ficción; entre los de 30 o más (40 %), el 50 % la prefiere. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario elegido al azar prefiera ciencia ficción?

0{,}68

0{,}80

0{,}48

0{,}50

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$0{,}68$

Correcto: por la probabilidad total,

P(CF)=0{,}8\cdot 0{,}6+0{,}5\cdot 0{,}4=0{,}48+0{,}20=0{,}68

Por el teorema de la probabilidad total, considerando los dos grupos de edad:

P(CF)=P(CF|<30)\cdot P(<30)+P(CF|\ge 30)\cdot P(\ge 30)=0{,}8\cdot 0{,}6+0{,}5\cdot 0{,}4=0{,}48+0{,}20=0{,}68

. Para la segunda parte (que el ganador, que prefiere CF, tenga menos de 30), se aplicaría Bayes:

P(<30|CF)=\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}6}{0{,}68}=\dfrac{0{,}48}{0{,}68}\approx 0{,}71

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EvAU ARA 2025 — Ej.4.I.Q1 (distribución de la media muestral)Dificultad 3/5

Los estudiantes esperan en cola, de media, $3{,}5$ horas con desviación típica $1{,}8$ horas. Para una muestra de $n=64$ estudiantes, ¿cuál es la desviación típica de la media muestral $\bar{X}$ ?

1{,}8

0{,}45

0{,}225

0{,}028

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$0{,}225$

Correcto:

\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{1{,}8}{\sqrt{64}}=\dfrac{1{,}8}{8}=0{,}225

Según el teorema central del límite, la media muestral

\bar{X}

de una muestra de tamaño

n

se distribuye (aproximadamente) como una normal de media

\mu

y desviación típica

\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

(error estándar de la media). Aquí

\sigma=1{,}8

n=64

, por lo que

\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{1{,}8}{\sqrt{64}}=\dfrac{1{,}8}{8}=0{,}225

. Con

\bar{X}\sim N(3{,}5;\ 0{,}225)

se calcularía

P(\bar{X}<4)

tipificando:

z=\dfrac{4-3{,}5}{0{,}225}\approx 2{,}22

, de donde

P(\bar{X}<4)\approx 0{,}9868

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EvAU ARA 2025 — Ej.4.II.Q1 (Rouché-Frobenius)Dificultad 3/5

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se clasifica con el teorema de Rouché-Frobenius. Si el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada coinciden y son iguales al número de incógnitas (3), ¿cómo es el sistema?

ACompatible determinado (solución única)

BCompatible indeterminado (infinitas soluciones)

CIncompatible (sin solución)

DNo se puede clasificar

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Compatible determinado (solución única)

Correcto: si

\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=n

(número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (solución única).

El teorema de Rouché-Frobenius clasifica un sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes

A

con el de la matriz ampliada

A^

, y ambos con el número de incógnitas $n$ . Si $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^$ )=n

rg (A) = rg (A^{*}) = n

, el sistema es compatible determinado (solución única); si

\text{rg}(A)=\text{rg}(A^

, es compatible indeterminado (infinitas soluciones, con $n-\text{rg}$ parámetros libres); y si $\text{rg}(A)\ne\text{rg}(A^$ )

rg (A) \neq = rg (A^{*})

, es incompatible (sin solución). En este caso, con rangos iguales a 3 (el número de incógnitas), el sistema es compatible determinado.

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