ABAU GaliciaConvocatòria ordinaria

Matemáticas ABAU Galicia 2023

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Dos opciones (A y B), elige una completa

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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15 exercicis a EureQuiz

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Exercicis de l'examen15 exercicis

ABAU Galicia 2023 — Pregunta 1 (matrices)Dificultat 3/5

Despeja la matriz $X$ de la ecuación $XA=A+XB$ , donde $A$ y $B$ son cuadradas y $A-B$ es invertible. Sabiendo que $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$ y $B=A^2-A-I$ (con $I$ la identidad de orden 2), calcula la matriz $X$ . ¿Cuál es?

\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$

Correcto.

X(A-B)=A\Rightarrow X=A(A-B)^{-1}

. Como

A^2=A

A-B=A-(A^2-A-I)=2A-A^2+I=A+I=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}

, cuya inversa es

\begin{pmatrix}\tfrac12&-1\\0&1\end{pmatrix}

. Entonces

X=A(A-B)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

XA=A+XB

se pasa a

XA-XB=A

, esto es

X(A-B)=A

, y como

A-B

es invertible,

X=A(A-B)^{-1}

. Aquí

A^2=A

, por lo que

A-B=A-(A^2-A-I)=2A-A^2+I=A+I=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}

, con inversa

\begin{pmatrix}\tfrac12&-1\\0&1\end{pmatrix}

. Multiplicando,

X=A(A-B)^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tfrac12&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 2 (sistema con parámetro)Dificultat 3/5

Considera el sistema $\begin{cases}mx+(2+m^2)y=1+m\\ my-z=1\\ mx+2y+(2m-4)z=5\end{cases}$ . ¿Para qué valor del parámetro $m$ desaparece la incógnita $x$ de las ecuaciones primera y tercera (valor crítico de la discusión)?

m=0

m=2

m=1

m=-2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$m=0$

Correcto. El coeficiente de

x

en las ecuaciones 1 y 3 es

m

, que se anula en

m=0

. Para

m=0

ambas pierden la incógnita

x

y el sistema cambia de estructura.

En las ecuaciones primera

mx+(2+m^2)y=1+m

y tercera

mx+2y+(2m-4)z=5

, el coeficiente de

x

m

. En

m=0

esa incógnita desaparece de ambas, transformando la estructura del sistema, por lo que

m=0

es un valor crítico que se discute aparte. Para

m\neq0

el sistema se analiza estudiando el rango de la matriz de coeficientes frente a la ampliada.

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 3 (parámetros de una función)Dificultat 3/5

Sea $f(x)=ae^x+b$ . Determina los valores de $a$ y $b$ para que se cumplan $f(0)=0$ y $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=3$ . ¿Qué valores resultan?

a=3,\ b=-3

a=-3,\ b=3

a=3,\ b=0

a=1,\ b=-1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a=3,\ b=-3$

Correcto.

f(0)=a+b=0

. El límite

\tfrac00

por L'Hôpital da

\lim\dfrac{ae^x}{1}=a=3

, luego

a=3

b=-3

f(0)=ae^0+b=a+b=0

. El límite

\lim_{x\to0}\dfrac{ae^x+b}{x}

es indeterminado

\tfrac00

(porque

a+b=0

); por L'Hôpital,

\lim_{x\to0}\dfrac{ae^x}{1}=a=3

. Por tanto

a=3

b=-3

. (El apartado b estudia

g(x)=x+\sin x

, con

g'(x)=1+\cos x\ge0

: no tiene extremos y presenta inflexión en

x=\pi

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 4 (área entre curvas)Dificultat 3/5

Calcula el área de la región determinada por $x\ge 1$ , $y\le x$ e $y\ge x\ln x$ . ¿Cuál es su valor exacto?

\dfrac{e^2-3}{4}\approx 1{,}097

\dfrac{3-e^2}{4}\approx -1{,}097

\dfrac{e^2-1}{4}\approx 1{,}597

e-1\approx 1{,}718

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\dfrac{e^2-3}{4}\approx 1{,}097$

Correcto. Los cortes son

x\ln x=x\Rightarrow\ln x=1\Rightarrow x=e

. Área

=\int_1^e(x-x\ln x)\,dx=\dfrac{e^2-3}{4}\approx1{,}097

Las curvas

y=x

y=x\ln x

se cortan donde

x\ln x=x\Rightarrow\ln x=1\Rightarrow x=e

. En

[1,e]

la recta queda por encima. El área es

\int_1^e(x-x\ln x)\,dx

. Como

\int(x-x\ln x)\,dx=\dfrac{x^2}{4}(3-2\ln x)

, evaluando:

F(e)=\dfrac{e^2}{4}(3-2)=\dfrac{e^2}{4}

F(1)=\dfrac{3}{4}

, luego el área es

\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{e^2-3}{4}\approx1{,}097

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 5 (ángulo recta-plano)Dificultat 3/5

Calcula el ángulo agudo que forma la recta $r:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{0}$ con el plano $\pi:x+z+2=0$ . ¿Cuánto vale ese ángulo?

60^\circ

30^\circ

45^\circ

90^\circ

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$30^\circ$

Correcto.

\sin\alpha=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u||\vec n|}=\dfrac{|1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1|}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12

, luego

\alpha=30^\circ

El director de

r

\vec u=(1,1,0)

y la normal de

\pi

\vec n=(1,0,1)

. El ángulo recta-plano cumple

\sin\alpha=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|}=\dfrac{|1+0+0|}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac{1}{2}

, luego

\alpha=30^\circ

. (El apartado a obtiene

r:(2+t,-1+t,0)

y el plano

\pi:x+z+2=0

con normal

\vec u\times\vec v=(1,0,1)

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 6 (simétrico respecto a un plano)Dificultat 3/5

Calcula el punto simétrico de $P(2,-1,0)$ respecto del plano $\pi:x+z+2=0$ . ¿Cuáles son sus coordenadas?

(-2,\,-1,\,-4)

(0,\,-1,\,-2)

(6,\,-1,\,4)

(2,\,-1,\,0)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(-2,\,-1,\,-4)$

Correcto. La recta por

P

con dirección

\vec n=(1,0,1)

(2+t,-1,t)

. El pie cumple

(2+t)+t+2=0\Rightarrow t=-2

: pie

(0,-1,-2)

. El simétrico es

2\cdot\text{pie}-P=(-2,-1,-4)

La recta perpendicular a

\pi

por

P(2,-1,0)

tiene dirección

\vec n=(1,0,1)

(2+t,-1,t)

. Imponiendo

x+z+2=0

(2+t)+t+2=2t+4=0\Rightarrow t=-2

, lo que da el pie

M=(0,-1,-2)

. El simétrico es

P'=2M-P=(2\cdot0-2,\,2\cdot(-1)-(-1),\,2\cdot(-2)-0)=(-2,-1,-4)

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 7 (probabilidad)Dificultat 3/5

Se sabe que $P(A\cup B)=0{,}8$ , $P(A\cap B)=0{,}2$ y $P(A)=2P(B)$ . Calcula $P(A)$ . ¿Cuánto vale?

\tfrac23\approx0{,}667

\tfrac13\approx0{,}333

0{,}53

0{,}8

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\tfrac23\approx0{,}667$

Correcto.

P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)=0{,}8+0{,}2=1

. Con

P(A)=2P(B)

3P(B)=1\Rightarrow P(B)=\tfrac13

P(A)=\tfrac23

Sumando

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

se obtiene

P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)=0{,}8+0{,}2=1

. Con la condición

P(A)=2P(B)

2P(B)+P(B)=1\Rightarrow P(B)=\tfrac13

P(A)=\tfrac23

. (Además

P(A\cap\bar B)=P(A)-P(A\cap B)=\tfrac23-0{,}2\approx0{,}467

P(A|B)=\dfrac{0{,}2}{1/3}=0{,}6

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 8 (distribución normal)Dificultat 3/5

Para conceder becas, la puntuación de los solicitantes sigue una distribución normal de media $100$ y desviación típica $20$ , y se concede la beca al $5\%$ mejor. ¿Cuál es la puntuación mínima (aproximada) que da derecho a la beca?

\approx 125{,}6

\approx 67{,}1

\approx 132{,}9

\approx 101{,}6

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\approx 132{,}9$

Correcto.

P(X\ge k)=0{,}05\Rightarrow z=1{,}645

. Entonces

k=100+1{,}645\cdot20\approx132{,}9

puntos.

Buscamos

k

con

P(X\ge k)=0{,}05

. En la normal estándar eso equivale a

z=1{,}645

. Deshaciendo la tipificación:

k=\mu+z\sigma=100+1{,}645\cdot20\approx132{,}9

puntos. (El apartado a aproxima una binomial

\mathrm{Bin}(2500;0{,}02)\approx N(50,49)

y calcula

P(X\ge55)=P(Z\ge0{,}71)\approx0{,}24

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 1 (matriz traspuesta)Dificultat 3/5

Calcula la matriz $A$ sabiendo que $(AB)^T=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ . ¿Cuál es la matriz $A$ ?

\begin{pmatrix}\tfrac32&\tfrac12\\\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\begin{pmatrix}\tfrac32&\tfrac12\\\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix}$

Correcto.

AB=\big((AB)^T\big)^T=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

. Como

B^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}

A=(AB)B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac32&\tfrac12\\\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix}

Trasponiendo el dato,

AB=\big((AB)^T\big)^T=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

. La inversa de

B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}

B^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}

. Despejando,

A=(AB)\,B^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\cdot\tfrac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac32&\tfrac12\\\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix}

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 2 (sistema con parámetro)Dificultat 3/5

Considera el sistema $\begin{cases}(m+1)x+z=1\\ (m+1)x+y+z=m+1\\ (m+1)x+my+(m-1)z=m\end{cases}$ . Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene directamente el valor de $y$ . ¿Cuánto vale $y$ (en función de $m$ )?

y=m

y=-m

y=m+1

y=1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$y=m$

Correcto. Segunda menos primera:

\big[(m+1)x+y+z\big]-\big[(m+1)x+z\big]=y=(m+1)-1=m

. Luego

y=m

Restando la primera ecuación de la segunda se cancelan

(m+1)x

z

, quedando

y=(m+1)-1=m

. Este resultado simplifica la discusión del sistema: una vez fijado

y=m

, las ecuaciones primera y tercera determinan

x

z

, y los valores críticos surgen al anularse el coeficiente

m+1

(es decir

m=-1

) o el determinante de coeficientes.

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 3 (teorema del valor medio)Dificultat 3/5

Para $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ , comprueba que se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio y halla el valor $c\in(0,1)$ de la tesis. ¿Cuánto vale $c$ ?

c=\tfrac12

c=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707

c=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866

c=0

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$c=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707$

Correcto.

\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{0-1}{1}=-1

. Con

f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=-1

se obtiene

x^2=1-x^2\Rightarrow c=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707

f(x)=\sqrt{1-x^2}

es continua en

[0,1]

y derivable en

(0,1)

, luego cumple las hipótesis del TVM. La pendiente media es

\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{0-1}{1}=-1

. Con

f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}

, la ecuación

f'(c)=-1

c=\sqrt{1-c^2}\Rightarrow c^2=1-c^2\Rightarrow c^2=\tfrac12\Rightarrow c=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 4 (integral por cambio de variable)Dificultat 3/5

Calcula $\displaystyle\int\dfrac{\ln x}{x}\,dx$ mediante el cambio $t=\ln x$ . ¿Cuál es una primitiva?

\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C

\ln x+C

\ln(\ln x)+C

\dfrac{x^2}{2}\ln x+C

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C$

Correcto. Con

t=\ln x

dt=\dfrac{dx}{x}

, la integral pasa a

\int t\,dt=\dfrac{t^2}{2}+C=\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C

Con el cambio

t=\ln x

se tiene

dt=\dfrac{dx}{x}

, por lo que

\int\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\int t\,dt=\dfrac{t^2}{2}+C=\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C

. Para la integral definida,

\int_e^B\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\dfrac{(\ln B)^2-1}{2}=\tfrac32\Rightarrow(\ln B)^2=4\Rightarrow B=e^2

. (El otro apartado pide

\int(\sin x)^5\cos x\,dx=\dfrac{(\sin x)^6}{6}+C

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 5 (recta perpendicular a un plano)Dificultat 3/5

Dados el plano $\pi:ax+y+z=1$ (con $a$ parámetro real) y la recta $r:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{3}$ , halla el valor de $a$ que hace que $\pi$ y $r$ sean perpendiculares. ¿Cuánto vale $a$ ?

a=3

a=\tfrac23

a=0

a=1

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$a=\tfrac23$

Correcto.

r\perp\pi

cuando

\vec u\parallel\vec n

\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}

, de donde

a=\dfrac23

El director de

r

\vec u=(2,3,3)

y la normal de

\pi:ax+y+z=1

\vec n=(a,1,1)

. La recta es perpendicular al plano cuando

\vec u

\vec n

son paralelos, es decir

\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}

. Las dos últimas razones coinciden (

\tfrac13

), y de

\dfrac{a}{2}=\dfrac13

se obtiene

a=\dfrac23

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 6 (distancia punto-plano)Dificultat 3/5

Calcula la distancia del punto $P(1,0,0)$ al plano $\pi:2x-y+z=1$ . ¿Cuánto vale?

1

\dfrac{2}{\sqrt6}\approx0{,}816

\dfrac{1}{6}\approx0{,}167

\dfrac{1}{\sqrt6}\approx0{,}408

Veure solució

Resposta correcta — opció D

$\dfrac{1}{\sqrt6}\approx0{,}408$

Correcto.

d=\dfrac{|2\cdot1-0+0-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\dfrac{|1|}{\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}\approx0{,}408

Escribiendo

\pi:2x-y+z-1=0

, la distancia de

P(1,0,0)

\pi

d=\dfrac{|2\cdot1-1\cdot0+1\cdot0-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\dfrac{|1|}{\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}\approx0{,}408

. (El apartado a halla el corte de las dos rectas y calcula su distancia a

\pi

; el b obtiene el simétrico de

P

respecto de

\pi

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ABAU Galicia 2023 — Pregunta 7 (binomial)Dificultat 3/5

Se tira un dado siete veces. Calcula la probabilidad de que salgan exactamente dos seises. ¿Cuál es su valor aproximado?

\approx 0{,}011

\approx 0{,}047

\approx 0{,}234

\approx 0{,}391

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\approx 0{,}234$

Correcto.

X\sim\mathrm{Bin}(7,\tfrac16)

P(X=2)=\binom{7}{2}\left(\tfrac16\right)^2\left(\tfrac56\right)^5\approx0{,}234

El número de seises en 7 lanzamientos es

X\sim\mathrm{Bin}(7,\tfrac16)

. La probabilidad de exactamente dos seises es

P(X=2)=\binom{7}{2}\left(\tfrac16\right)^2\left(\tfrac56\right)^5=21\cdot\dfrac{1}{36}\cdot\dfrac{3125}{7776}\approx0{,}234

. (El apartado a usa propiedades:

P(A|B)=1

B\subset A

, y para

E,F

independientes

P(E\cup F)=0{,}44

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