ABAU GaliciaConvocatoria ordinaria

Matemáticas ABAU Galicia 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Dos opciones (A y B), elige una completa

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1 (matrices)Dificultad 3/5

Sean $A$ y $B$ dos matrices tales que $A+2B=\begin{pmatrix}6&-3\\0&3\end{pmatrix}$ y $A+B=\begin{pmatrix}4&-2\\0&1\end{pmatrix}$ . Calcula la matriz $A$ . ¿Cuál es?

\begin{pmatrix}2&-1\\0&-1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}6&-3\\0&3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\begin{pmatrix}2&-1\\0&-1\end{pmatrix}$

Correcto. Restando,

(A+2B)-(A+B)=B=\begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}

. Entonces

A=(A+B)-B=\begin{pmatrix}4&-2\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&-1\end{pmatrix}

Restando las dos ecuaciones:

(A+2B)-(A+B)=B=\begin{pmatrix}6&-3\\0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&-2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}

. Después

A=(A+B)-B=\begin{pmatrix}4&-2\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&-1\end{pmatrix}

. (El apartado b despeja

X

2X-(A+B)^T=3B-2A

, dando

X=\begin{pmatrix}3&0\\-\tfrac32&\tfrac92\end{pmatrix}

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2 (sistema con parámetro)Dificultad 3/5

Discute, según los valores del parámetro $m$ , el sistema $\begin{cases}mx+(m+2)y+z=3\\ 2mx+3my+2z=5\\ (m-4)y+mz=m\end{cases}$ . ¿Para qué valor de $m$ se anulan simultáneamente los coeficientes de $x$ en las dos primeras ecuaciones (valor crítico inmediato)?

m=0

m=4

m=2

m=-2

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$m=0$

Correcto. Los coeficientes de

x

son

m

2m

; ambos se anulan solo cuando

m=0

. Para

m=0

el sistema pierde la incógnita

x

y cambia de estructura.

Los coeficientes de

x

son

m

(primera ecuación) y

2m

(segunda); ambos se anulan únicamente en

m=0

, valor en que la incógnita

x

desaparece y el sistema cambia de estructura, por lo que debe discutirse aparte. La discusión completa compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada para cada valor crítico (también los que anulen el determinante).

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3 (integral definida)Dificultad 3/5

Calcula $\displaystyle\int_0^{3}e^{x}\,dx$ . ¿Cuál es su valor exacto?

e^3-1\approx 19{,}09

e^3\approx 20{,}09

3e^3\approx 60{,}26

\dfrac{e^3-1}{3}\approx 6{,}36

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$e^3-1\approx 19{,}09$

Correcto. La primitiva de

e^x

e^x

. Por Barrow:

\big[e^x\big]_0^3=e^3-e^0=e^3-1\approx19{,}09

La primitiva de

e^x

e^x

. Aplicando la regla de Barrow,

\int_0^3 e^x\,dx=\big[e^x\big]_0^3=e^3-e^0=e^3-1\approx19{,}09

. (El apartado a del examen pide enunciar los teoremas de Rolle y de Bolzano.)

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 4 (límite)Dificultad 3/5

Calcula el límite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x\,\sin x}$ . ¿Cuál es su valor?

1

0

\infty

(diverge)

\tfrac12

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$\infty$ (diverge)

Correcto. Simplificando

\sin x

\dfrac{\sin x}{x\sin x}=\dfrac{1}{x}

, que tiende a

+\infty

por la derecha y

-\infty

por la izquierda, por lo que el límite es

\infty

(no existe límite finito).

Simplificando el factor

\sin x

común (válido para

x\neq0

\dfrac{\sin x}{x\sin x}=\dfrac{1}{x}

. Cuando

x\to0^+

tiende a

+\infty

y cuando

x\to0^-

-\infty

, así que no existe límite finito (diverge). El segundo apartado del examen calcula

\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}=2

por L'Hôpital o desarrollos.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 5 (distancia punto-plano)Dificultad 3/5

Calcula la distancia del punto $P(1,3,1)$ al plano $\pi':4x+2y-4z=2$ . ¿Cuánto vale?

\dfrac{2}{3}\approx0{,}67

1

\dfrac{4}{\sqrt{10}}\approx1{,}26

\dfrac{6}{6}=1

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\dfrac{2}{3}\approx0{,}67$

Correcto.

d=\dfrac{|4\cdot1+2\cdot3-4\cdot1-2|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}}=\dfrac{|4+6-4-2|}{\sqrt{36}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}

Con

\pi':4x+2y-4z-2=0

, la distancia de

P(1,3,1)

d=\dfrac{|4\cdot1+2\cdot3-4\cdot1-2|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}}=\dfrac{|4+6-4-2|}{\sqrt{36}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}

. (El apartado a determina

b

c

para que la recta

r

esté contenida en el plano

\pi:4x+2y+bz=2

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 6 (plano por tres puntos)Dificultad 3/5

Obtén la ecuación general del plano que contiene a los puntos $A(-1,3,-5)$ , $B(3,1,0)$ y $C(0,1,2)$ . ¿Cuál es?

4x+23y+6z=34

4x-2y+5z=0

-4x-23y-6z=0

x+y+z=-3

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$4x+23y+6z=34$

Correcto.

\vec{AB}=(4,-2,5)

\vec{AC}=(1,-2,7)

. La normal es

\vec{AB}\times\vec{AC}=(-4,-23,-6)

. El plano

-4(x+1)-23(y-3)-6(z+5)=0

equivale a

4x+23y+6z=34

Con

\vec{AB}=(4,-2,5)

\vec{AC}=(1,-2,7)

, la normal es

\vec{AB}\times\vec{AC}=(-2\cdot7-5\cdot(-2),\,5\cdot1-4\cdot7,\,4\cdot(-2)-(-2)\cdot1)=(-4,-23,-6)

. Usando el punto

A(-1,3,-5)

-4(x+1)-23(y-3)-6(z+5)=0

, que simplificado (cambiando de signo) es

4x+23y+6z=34

. (El apartado b da la recta perpendicular a

4x+23y+6z-35=0

por

P(3,-1,-1)

x=3+4t

y=-1+23t

z=-1+6t

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 7 (probabilidad)Dificultad 3/5

Se sabe que $P(A)=\tfrac13$ y $P(B)=\tfrac23$ . Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos independientes, calcula $P(A\cap B)$ . ¿Cuánto vale?

1

\tfrac{2}{9}

\tfrac{7}{9}

0

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$\tfrac{2}{9}$

Correcto. Al ser independientes,

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\tfrac13\cdot\tfrac23=\tfrac{2}{9}

Para sucesos independientes,

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\tfrac13\cdot\tfrac23=\tfrac{2}{9}

. (El apartado b supone

A

B

incompatibles:

P(A\cup B)=\tfrac13+\tfrac23=1

P(A|(A\cup B))=\dfrac{P(A)}{P(A\cup B)}=\tfrac13

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (distribución normal)Dificultad 3/5

Una máquina envasa agua en botellas con una cantidad que sigue una distribución normal de media $500$ ml y desviación típica $4$ ml. Si se elige una botella al azar, calcula la probabilidad de que lleve entre $499$ y $502$ ml. ¿Cuál es?

\approx 0{,}53

\approx 0{,}38

\approx 0{,}29

\approx 0{,}69

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$\approx 0{,}29$

Correcto.

z_1=\tfrac{499-500}{4}=-0{,}25

z_2=\tfrac{502-500}{4}=0{,}5

P=\Phi(0{,}5)-\Phi(-0{,}25)=0{,}6915-0{,}4013\approx0{,}29

Con

X\sim N(500,4)

, tipificamos:

z_1=\dfrac{499-500}{4}=-0{,}25

z_2=\dfrac{502-500}{4}=0{,}5

. Entonces

P(499\le X\le502)=\Phi(0{,}5)-\Phi(-0{,}25)=0{,}6915-0{,}4013\approx0{,}29

. (El apartado b busca la cantidad superada por el

97{,}5\%

de las botellas:

P(X\ge k)=0{,}975\Rightarrow z=-1{,}96\Rightarrow k=500-1{,}96\cdot4\approx492{,}2

ml.)

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