ABAU GaliciaConvocatòria ordinaria

Matemáticas ABAU Galicia 2022

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
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Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen5 exercicis

ABAU Galicia 2022 — Pregunta 1 (matrices)Dificultat 3/5

Sean $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}2&2&4\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ . Despeja $X$ de la ecuación $AB\,(X-I)=C$ (donde $I$ es la identidad) y calcula el producto $AB$ . ¿Cuál es la matriz $AB$ ?

\begin{pmatrix}4&4&6\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}4&4&6\\0&1&0\\2&2&2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&4&6\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2&4&3\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\begin{pmatrix}4&4&6\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}$

Correcto. Fila 1 de

AB

(1,2,3)\cdot

columnas de

B

(1+0+3,\,2+2+0,\,0+0+6)=(4,4,6)

. Fila 2:

(0,1,0)\Rightarrow(0,1,0)

. Fila 3:

(0,0,1)\Rightarrow(1,0,2)

. Luego

AB=\begin{pmatrix}4&4&6\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}

AB(X-I)=C

se despeja

X=(AB)^{-1}C+I

. El primer paso es el producto

AB

. Como las filas 2 y 3 de

A

son

(0,1,0)

(0,0,1)

, copian las filas 2 y 3 de

B

. La fila 1 es

(1,2,3)

por las columnas de

B

(1\cdot1+2\cdot0+3\cdot1,\,1\cdot2+2\cdot1+3\cdot0,\,1\cdot0+2\cdot0+3\cdot2)=(4,4,6)

. Por tanto

AB=\begin{pmatrix}4&4&6\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}

, y con su inversa se obtiene finalmente

X=(AB)^{-1}C+I

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ABAU Galicia 2022 — Pregunta 2 (sistema con parámetro)Dificultat 3/5

Discute, según los valores del parámetro $m$ , el sistema $\begin{cases}x+(m-3)y+mz=1\\ x+(m-3)y+(m^2-m)z=1\\ x+m^2z=0\end{cases}$ Al restar la primera ecuación de la segunda queda $(m^2-2m)z=0$ . ¿Para qué valores de $m$ se anula el coeficiente $m^2-2m$ (valores críticos de la discusión)?

m=0

únicamente

m=0

m=2

m=\pm\sqrt2

m=3

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$m=0$ y $m=2$

Correcto.

m^2-2m=m(m-2)=0

se anula en

m=0

m=2

; esos son los valores críticos donde el sistema cambia de comportamiento.

Restando la primera ecuación de la segunda se eliminan

x

y

\big[(m^2-m)-m\big]z=(m^2-2m)z=0

. Factorizando,

m^2-2m=m(m-2)

, que se anula en

m=0

m=2

. Estos son los valores críticos: para

m\neq0,2

el sistema es compatible determinado; en

m=0

m=2

hay que estudiar el rango por separado (compatible indeterminado o incompatible).

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ABAU Galicia 2022 — Pregunta 3 (límites)Dificultat 3/5

Calcula el límite $\lim_{x\to 0}\dfrac{x\cos x}{\sin x}.$ ¿Cuál es su valor?

0

1

+\infty

DNo existe

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$1$

Correcto. Separa

\dfrac{x\cos x}{\sin x}=\dfrac{x}{\sin x}\cdot\cos x

. Como

\dfrac{x}{\sin x}\to1

\cos 0=1

, el límite es

1\cdot1=1

Es una indeterminación

\tfrac00

. Reescribimos

\dfrac{x\cos x}{\sin x}=\dfrac{x}{\sin x}\cdot\cos x

. Por el límite notable

\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1

se tiene

\dfrac{x}{\sin x}\to1

, y

\cos x\to\cos 0=1

. El límite vale

1\cdot1=1

. (El apartado b del examen pide

\lim_{x\to0^+}x\ln x=0

, indeterminación

0\cdot(-\infty)

resuelta por L'Hôpital.)

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ABAU Galicia 2022 — Pregunta 6 (posición relativa de rectas)Dificultat 3/5

Estudia la posición relativa de las rectas $r:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{2}$ y $s:\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+1}{3}$ . Las rectas se cortan en un único punto. ¿Cuáles son sus coordenadas?

(1,\,-1,\,2)

(-2,\,-3,\,-1)

(3,\,2,\,4)

(-1,\,-4,\,1)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(1,\,-1,\,2)$

Correcto. Igualando

r(t)=(1+2t,-1+3t,2+2t)

con

s(u)=(-2+3u,-3+2u,-1+3u)

se obtiene

u=1

t=0

. El punto de corte es

r(0)=(1,-1,2)

Parametrizando,

r(t)=(1+2t,-1+3t,2+2t)

s(u)=(-2+3u,-3+2u,-1+3u)

. Igualando coordenadas: de la combinación de las ecuaciones

x

z

sale

u=1

t=0

; la ecuación

y

(

-1+3\cdot0=-3+2\cdot1

) se cumple, luego las rectas se cortan. El punto de corte es

r(0)=(1,-1,2)

, que coincide con

s(1)=(1,-1,2)

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ABAU Galicia 2022 — Pregunta 7 (probabilidad)Dificultat 3/5

Se sabe que $P(A\cup B)=\tfrac13$ y $P(B)=\tfrac14$ . Calcula $P(A)$ suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles. ¿Cuánto vale $P(A)$ ?

\tfrac{1}{12}

\tfrac{7}{12}

\tfrac{1}{9}

-\tfrac{1}{12}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\tfrac{1}{12}$

Correcto. Al ser incompatibles,

P(A\cap B)=0

, así

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

. Despejando:

P(A)=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{4-3}{12}=\tfrac{1}{12}

A

B

son incompatibles,

P(A\cap B)=0

y la fórmula

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

se reduce a

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

. Despejamos

P(A)=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{4-3}{12}=\tfrac{1}{12}

. (En el caso independiente,

P(A)(1-\tfrac14)=\tfrac13-\tfrac14

daría

P(A)=\tfrac19

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