Física ABAU Galicia 2023

ABAU GAL 2023 — 1.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 1.1 — Trabajo de la gravedad en media órbita circular

Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria sobre el satélite a lo largo de media órbita?

APositivo

BNegativo

CNulo

DIgual a la variación de energía cinética

Veure solució

Resposta correcta — opció C

Nulo

Correcto. La fuerza gravitatoria es centrípeta (perpendicular al desplazamiento), así que

W = \int\vec{F}\cdot d\vec{r} = 0

. Como además

r

es constante,

\Delta E_p = 0

y

W = 0

.

La fuerza gravitatoria que mantiene al satélite en órbita actúa como centrípeta: apunta hacia el centro de la Tierra en todo instante, perpendicular al desplazamiento (tangente a la circunferencia). Por tanto

W = \int\vec{F}\cdot d\vec{r} = 0

en media órbita o en cualquier tramo. De forma equivalente, como el radio

r

es constante, la energía potencial

E_p = -GMm/r

no varía y

W = -\Delta E_p = 0

.

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ABAU GAL 2023 — 2.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 2.1 — Fuerza sobre la carga del centro de un cuadrado

Se colocan cuatro cargas $+Q$ en los vértices de un cuadrado y una carga $-Q$ en su centro. ¿Cuántas veces mayor es la fuerza neta sobre $-Q$ respecto a la que ejercería una sola de las cargas $+Q$ de un vértice?

ACuatro veces mayor

BDos veces mayor

CCero (la fuerza neta es nula)

DIgual (una vez)

Veure solució

Resposta correcta — opció C

Cero (la fuerza neta es nula)

Correcto. Cero veces: por simetría, las cuatro fuerzas se anulan dos a dos y la resultante es nula (0 veces la de una sola carga).

Cada carga

+Q

del vértice ejerce sobre la carga central

-Q

una fuerza atractiva de módulo

F = kQ^2/d^2

(con

d

= media diagonal), dirigida hacia ese vértice. Las cargas de vértices diametralmente opuestos generan fuerzas de igual módulo y sentidos contrarios, que se cancelan. Al sumar vectorialmente las cuatro, la resultante es el vector nulo: la fuerza neta sobre la carga central es cero, es decir, 0 veces la de una sola carga.

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ABAU GAL 2023 — 3.2Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 3.2 — Composición relativista de velocidades

Una observadora en la Tierra ve dos naves, A y B, que se aproximan a ella en la misma dirección y sentidos opuestos, a $0{,}7c$ y $0{,}6c$ . ¿Por qué la velocidad relativa de A medida desde B no es $1{,}3c$ ?

APorque la suma relativista limita el resultado por debajo de

c

BPorque ambas naves frenan al acercarse

CPorque la suma galileana

1{,}3c

es correcta

DPorque la velocidad relativa es nula

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Porque la suma relativista limita el resultado por debajo de $c$

Correcto. A velocidades cercanas a

c

rige la composición relativista

u = \frac{v_A+v_B}{1+v_Av_B/c^2}

, que da

\approx 0{,}92c

: ningún objeto puede superar

c

.

La suma galileana (

0{,}7c + 0{,}6c = 1{,}3c

) violaría el postulado de la relatividad especial de que ningún objeto material supera la velocidad de la luz. La regla correcta es la composición relativista de velocidades:

u = \frac{v_A + v_B}{1 + \frac{v_A v_B}{c^2}} = \frac{1{,}3c}{1+0{,}42} = \frac{1{,}3c}{1{,}42} \approx 0{,}92c

. Como las naves se mueven en sentidos opuestos, en el marco de B la nave A se acerca, por lo que las velocidades se suman; el resultado siempre queda por debajo de

c

.

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ABAU GAL 2023 — 4Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 4 — Cálculo de $n$ con un par concreto de la tabla

En la práctica de refracción se mide, para incidencia $\theta_1 = 30{,}0°$ , un ángulo de refracción $\theta_2 = 23{,}6°$ (con $n_{aire} = 1$ ). ¿Qué índice de refracción resulta de ese par de datos?

A

n = 0{,}80

B

n = 1{,}25

C

n = 1{,}27

D

n = 1{,}50

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$n = 1{,}25$

Correcto.

n = \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{\sin 30°}{\sin 23{,}6°} = \frac{0{,}500}{0{,}400} = 1{,}25

(coherente con el promedio

n\approx 1{,}24

).

Aplicando la ley de Snell con

n_{aire} = 1

:

n = \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}

. Para el par

\theta_1 = 30{,}0°

,

\theta_2 = 23{,}6°

:

n = \frac{\sin 30°}{\sin 23{,}6°} = \frac{0{,}500}{0{,}400} = 1{,}25

. Repitiendo con los demás pares de la tabla y promediando se obtiene

n \approx 1{,}24

. Es esencial usar los senos de los ángulos, no los ángulos directamente.

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ABAU GAL 2023 — 5.bDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 5.b — Deducción de la velocidad de escape

Para deducir la velocidad de escape desde la superficie de la Luna, ¿qué condición energética hay que imponer al cuerpo lanzado?

AQue la energía mecánica total sea cero (

E_c + E_p = 0

)

BQue la energía cinética en la superficie sea cero

CQue la energía potencial en la superficie sea cero

DQue la energía cinética sea el doble de la potencial

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Que la energía mecánica total sea cero ( $E_c + E_p = 0$ )

Correcto. Se impone que la energía mecánica total sea nula (

E_c + E_p = 0

): el cuerpo llega al infinito con velocidad cero. De ahí

\frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GM_Lm}{R_L}

,

v_e = \sqrt{\frac{2GM_L}{R_L}} \approx 2{,}37\times10^3\ \text{m/s}

.

La velocidad de escape es la mínima velocidad inicial para que un cuerpo abandone el campo gravitatorio sin volver, es decir, que llegue al infinito con velocidad nula. En el infinito

E_c = 0

y

E_p = 0

, así que por conservación de la energía la energía mecánica total en la superficie también debe ser cero:

\frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GM_Lm}{R_L} = 0

. Despejando:

v_e = \sqrt{\frac{2GM_L}{R_L}}

. Con

M_L = 7{,}35\times10^{22}

kg y

R_L = 1{,}74\times10^6

m,

v_e \approx 2{,}37\times10^3

m/s.

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ABAU GAL 2023 — 6.aDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 6.a — Módulo de la fuerza entre dos conductores

Dos conductores rectilíneos paralelos separados 80 cm llevan corrientes de 12 A en sentidos contrarios. ¿Cuál es el módulo de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen?

Dato: $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}$ .

A

1{,}8\times10^{-5}\ \text{N/m}

B

3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

C

7{,}2\times10^{-5}\ \text{N/m}

D

4{,}3\times10^{-4}\ \text{N/m}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}$

Correcto.

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 12\cdot 12}{2\pi\cdot 0{,}8} = \frac{2\times10^{-7}\cdot 144}{0{,}8} = 3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

.

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores rectilíneos paralelos es

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

. Con

I_1 = I_2 = 12

A y

d = 0{,}8

m:

\frac{F}{L} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 144}{2\pi\cdot 0{,}8} = \frac{2\times10^{-7}\cdot 144}{0{,}8} = 3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

. Al circular las corrientes en sentidos opuestos, la fuerza es de repulsión. En el punto medio, los campos de ambos conductores se suman dando

B = 1{,}2\times10^{-5}

T.

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ABAU GAL 2023 — 7Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 7 — Imagen en una lente convergente

Se sitúa un objeto de 2 cm de altura a 15 cm de una lente de $+5$ dioptrías. ¿Cuál es la posición de la imagen y su aumento lateral?

(Convenio: distancia objeto $s = -15$ cm; potencia $P = 1/f$ .)

A

s_i = +60\ \text{cm}

; imagen real e invertida

B

s_i = +30\ \text{cm}

; aumento

-2

C

s_i = -60\ \text{cm}

; aumento

-4

D

s_i = -60\ \text{cm}

; aumento

+4

(virtual, derecha y aumentada)

Veure solució

Resposta correcta — opció D

$s_i = -60\ \text{cm}$ ; aumento $+4$ (virtual, derecha y aumentada)

Correcto.

f = 1/P = 1/5 = 0{,}2\ \text{m} = 20\ \text{cm}

. Con

\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s} = \frac{1}{f}

y

s = -15

:

s_i = -60\ \text{cm}

. El aumento

\beta = s_i/s = -60/-15 = +4

: imagen virtual, derecha y aumentada (efecto lupa).

La potencia

P = +5

D da una focal

f = 1/P = 0{,}2

m = 20 cm: lente convergente. Con el objeto a 15 cm (

s = -15

cm), que está dentro de la distancia focal, aplicamos la ecuación de las lentes delgadas

\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f}

:

\frac{1}{s_i}=\frac{1}{20}+\frac{1}{-15}=\frac{3-4}{60}=-\frac{1}{60}

, de donde

s_i=-60

cm. El aumento lateral es

\beta = s_i/s = \frac{-60}{-15} = +4

. La imagen es virtual, derecha y cuatro veces mayor (la lente funciona como lupa). La altura de la imagen es

4\times 2 = 8

cm.

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ABAU GAL 2023 — 8Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 8 — Desintegración del Pb-210

El $^{210}_{82}\text{Pb}$ tiene un período de semidesintegración de 22,3 años. Si inicialmente había 3 moles de átomos de ese isótopo, ¿cuántos núcleos quedan sin desintegrar al cabo de 100 años?

Dato: $N_A = 6{,}02\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ .

A

N \approx 9{,}03\times10^{23}

núcleos

B

N \approx 8{,}07\times10^{22}

núcleos

C

N \approx 4{,}52\times10^{23}

núcleos

D

N \approx 1{,}13\times10^{23}

núcleos

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$N \approx 8{,}07\times10^{22}$ núcleos

Correcto.

N = N_0\,e^{-\lambda t}

con

\lambda = \frac{\ln 2}{22{,}3} = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}

y

N_0 = 3\cdot 6{,}02\times10^{23}

:

N = 1{,}806\times10^{24}\cdot e^{-3{,}11} \approx 8{,}07\times10^{22}

núcleos.

El número inicial de núcleos es

N_0 = 3\ \text{mol}\times 6{,}02\times10^{23} = 1{,}806\times10^{24}

. La constante de desintegración es

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{22{,}3} = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}

. Aplicando

N = N_0\,e^{-\lambda t}

con

t = 100

años:

N = 1{,}806\times10^{24}\cdot e^{-3{,}11} \approx 8{,}07\times10^{22}

núcleos. Las reacciones nucleares descritas son:

^{210}_{82}\text{Pb} \to ^{210}_{83}\text{Bi} + ^{0}_{-1}\beta

, después

\to ^{210}_{84}\text{Po} + ^{0}_{-1}\beta

, y finalmente

^{210}_{84}\text{Po} \to ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\alpha

.

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ABAU GAL 2023 — 1.2Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 1.2 — Radio de la trayectoria de ³He frente a ⁴He

Un núcleo de $^{4}\text{He}$ (carga $2e$ , masa $\approx 4u$ ) describe una trayectoria circular de radio $r$ en un campo magnético. Sin variar el campo ni la dirección o velocidad de entrada, hacemos incidir un núcleo de $^{3}\text{He}$ (carga $2e$ , masa $\approx 3u$ ). ¿Qué trayectoria describirá?

AUna trayectoria de radio menor

BUna trayectoria de radio mayor

CUna trayectoria del mismo radio

DUna trayectoria de radio menor porque su carga es menor

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Una trayectoria de radio menor

Correcto. El radio es

r = \frac{mv}{qB}

. Ambos núcleos tienen la misma carga (

2e

) y entran con igual

v

y

B

, así que

r \propto m

. Como

m(^{3}\text{He}) < m(^{4}\text{He})

, el radio es menor (concretamente

\frac{3}{4}r

).

Cuando una carga

q

con velocidad

v

perpendicular a un campo

B

describe un círculo, la fuerza magnética es la centrípeta:

qvB = \frac{mv^2}{r}

, de donde

r = \frac{mv}{qB}

. Los dos núcleos de helio tienen la misma carga (

2e

, dos protones) y entran con la misma velocidad en el mismo campo. Por tanto

r \propto m

. Como

m(^{3}\text{He}) \approx 3u < m(^{4}\text{He}) \approx 4u

, el radio del

^{3}\text{He}

es menor, exactamente

r_f = \frac{3}{4}r

.

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ABAU GAL 2023 — 2.2Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 2.2 — Interferencia de dos focos sonoros

Dos focos emiten sonidos de 1,7 kHz en fase. Un observador está a 8 m de un foco y a 10 m del otro. Tomando la velocidad del sonido $v = 340\ \text{m/s}$ , ¿qué percibe en esa posición?

AUn máximo de intensidad (interferencia constructiva)

BUn mínimo de intensidad (interferencia destructiva)

CUna intensidad intermedia indeterminada

DLa misma intensidad que produciría un solo foco

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Un máximo de intensidad (interferencia constructiva)

Correcto.

\lambda = v/f = 340/1700 = 0{,}2\ \text{m}

. La diferencia de caminos es

\Delta r = 10-8 = 2\ \text{m} = 10\lambda

, un número entero de longitudes de onda: interferencia constructiva, es decir, un máximo de intensidad.

La longitud de onda es

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{1700} = 0{,}2\ \text{m}

. La diferencia de caminos hasta el observador es

\Delta r = 10 - 8 = 2\ \text{m}

. Como

\frac{\Delta r}{\lambda} = \frac{2}{0{,}2} = 10

, un número entero, las dos ondas llegan en fase y se produce interferencia constructiva: un máximo de intensidad. Si la diferencia hubiera sido un múltiplo impar de

\lambda/2

, se habría producido un mínimo.

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ABAU GAL 2023 — 3.2Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 3.2 — Velocidad relativa entre dos naves

Una observadora en la Tierra ve que dos naves, A y B, se dirigen hacia ella en la misma dirección y sentidos opuestos, con velocidades $0{,}7c$ y $0{,}6c$ respectivamente. Según la relatividad especial, ¿cuál es la velocidad relativa de la nave A medida desde la nave B?

A

1{,}3c

BAproximadamente

0{,}92c

(menor que

c

)

C

0{,}1c

DExactamente

c

Veure solució

Resposta correcta — opció B

Aproximadamente $0{,}92c$ (menor que $c$ )

Correcto. Con la suma relativista

u = \frac{v_A + v_B}{1 + \frac{v_A v_B}{c^2}} = \frac{1{,}3c}{1 + 0{,}42} = \frac{1{,}3c}{1{,}42} \approx 0{,}92c

, menor que $c$ .

A velocidades comparables a la de la luz, las velocidades no se suman de forma galileana. Como las naves se mueven en sentidos opuestos, desde B la nave A se aproxima con velocidad dada por la composición relativista:

u = \frac{v_A + v_B}{1 + \frac{v_A v_B}{c^2}} = \frac{0{,}7c + 0{,}6c}{1 + \frac{(0{,}7c)(0{,}6c)}{c^2}} = \frac{1{,}3c}{1{,}42} \approx 0{,}92c

. El resultado es siempre menor que

c

: ningún objeto material puede alcanzar o superar la velocidad de la luz.

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ABAU GAL 2023 — 4Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 4 — Procedimiento para medir el índice de refracción

En la práctica de determinación del índice de refracción de un medio (con $n_{aire} = 1$ ) se mide la pareja de ángulos de incidencia $\theta_1$ y refracción $\theta_2$ . ¿Qué representación gráfica permite obtener el índice de refracción $n$ como pendiente de una recta?

A

\sin\theta_1

frente a

\sin\theta_2

; la pendiente es

n

B

\theta_1

frente a

\theta_2

(en grados); la pendiente es

n

C

\cos\theta_1

frente a

\cos\theta_2

; la pendiente es

n

D

\sin\theta_2

frente a

\sin\theta_1

; la pendiente es

n

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\sin\theta_1$ frente a $\sin\theta_2$ ; la pendiente es $n$

Correcto. De la ley de Snell

\sin\theta_1 = n\sin\theta_2

, al representar

\sin\theta_1

(eje Y) frente a

\sin\theta_2

(eje X) se obtiene una recta por el origen de pendiente

n

.

El procedimiento de laboratorio consiste en hacer incidir un haz sobre la superficie del medio con distintos ángulos y medir, en cada caso, los ángulos de incidencia (

\theta_1

) y refracción (

\theta_2

). La ley de Snell con

n_{aire} = 1

es

\sin\theta_1 = n\sin\theta_2

, que tiene la forma de una recta

y = n\,x

tomando

y = \sin\theta_1

y

x = \sin\theta_2

. Al representar

\sin\theta_1

frente a

\sin\theta_2

se obtiene una recta que pasa por el origen cuya pendiente es directamente el índice de refracción

n

(con los datos de la tabla,

n \approx 1{,}24

).

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ABAU GAL 2023 — 5Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 5 — Período de un satélite lunar

Un pequeño satélite gira alrededor de la Luna en una órbita circular de radio $r = 3R_L$ . ¿Cuál es el período de la órbita?

Datos: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}$ ; $M_L = 7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}$ ; $R_L = 1740\ \text{km}$ .

A

T \approx 1{,}95\times10^{4}\ \text{s}

B

T \approx 6{,}51\times10^{3}\ \text{s}

C

T \approx 3{,}38\times10^{4}\ \text{s}

D

T \approx 5{,}86\times10^{4}\ \text{s}

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$T \approx 3{,}38\times10^{4}\ \text{s}$

Correcto.

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_L}}

con

r = 3\cdot 1{,}74\times10^{6} = 5{,}22\times10^{6}\ \text{m}

:

T \approx 3{,}38\times10^{4}\ \text{s}

(unas 9,4 h).

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria es la centrípeta, lo que conduce a la tercera ley de Kepler:

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_L} r^3

, es decir,

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_L}}

. Con

r = 3R_L = 5{,}22\times10^{6}

m:

T = 2\pi\sqrt{\frac{(5{,}22\times10^{6})^3}{6{,}67\times10^{-11}\cdot 7{,}35\times10^{22}}} \approx 3{,}38\times10^{4}\ \text{s}

(unas 9,4 horas). La energía mecánica en esa órbita es

E_m = -\frac{GM_Lm}{2r} \approx -7{,}0\times10^{8}

J.

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ABAU GAL 2023 — 6Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 6 — Campo magnético en el punto medio entre dos conductores

Dos conductores rectilíneos, paralelos e infinitos, están separados 80 cm. Por cada uno circula una corriente de 12 A en sentidos contrarios. ¿Cuál es el módulo del campo magnético en el punto medio entre ambos?

Dato: $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}$ .

A

B = 0

(los campos se cancelan)

B

B = 6{,}0\times10^{-6}\ \text{T}

C

B = 1{,}2\times10^{-5}\ \text{T}

D

B = 2{,}4\times10^{-5}\ \text{T}

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$B = 1{,}2\times10^{-5}\ \text{T}$

Correcto. Cada conductor crea

B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 12}{2\pi\cdot 0{,}4} = 6{,}0\times10^{-6}\ \text{T}

. Con corrientes opuestas, ambos campos se suman en el punto medio:

B = 1{,}2\times10^{-5}\ \text{T}

.

El campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a distancia

r

es

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

. En el punto medio,

r = d/2 = 0{,}4

m, así que cada conductor produce

B_1 = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 12}{2\pi\cdot 0{,}4} = 6{,}0\times10^{-6}

T. Como las corrientes son antiparalelas, en el punto medio ambos campos apuntan en el mismo sentido y se suman:

B = 2 B_1 = 1{,}2\times10^{-5}

T. (La fuerza por unidad de longitud entre los conductores es de repulsión,

3{,}6\times10^{-5}

N/m.)

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ABAU GAL 2023 — 7Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 7 — Tipo de imagen con una lente de +5 D

Se sitúa un objeto a 15 cm de una lente de $+5$ dioptrías (distancia focal $f = 20$ cm). ¿Qué características tiene la imagen formada?

AVirtual, derecha y mayor que el objeto

BReal, invertida y menor que el objeto

CVirtual, derecha y menor que el objeto

DSe forma en el infinito

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Virtual, derecha y mayor que el objeto

Correcto. Con el objeto dentro del foco (

15\ \text{cm} < f = 20\ \text{cm}

) de una lente convergente, la imagen es virtual, derecha y mayor (la lente actúa como lupa):

s_i = -60

cm,

\beta = +4

.

La lente de

+5

D es convergente, con

f = 1/P = 20

cm. Como el objeto está a 15 cm, dentro de la distancia focal, la lente funciona como lupa. Aplicando

\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f}

con

s=-15

cm:

s_i = -60

cm (al mismo lado que el objeto, imagen virtual) y aumento

\beta = s_i/s = +4

. La imagen es virtual, derecha y cuatro veces mayor que el objeto.

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ABAU GAL 2023 — 8Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 8 — Cadena de desintegración del Pb-210

El $^{210}_{82}\text{Pb}$ emite dos partículas beta y, después, una partícula alfa. ¿Cuál es el núcleo final de esta cadena de desintegraciones?

A

^{210}_{84}\text{Po}

B

^{206}_{82}\text{Pb}

C

^{206}_{84}\text{Po}

D

^{214}_{82}\text{Pb}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$^{206}_{82}\text{Pb}$

Correcto. Cada

\beta^-

aumenta

Z

en 1 sin cambiar

A

:

^{210}_{82}\text{Pb} \to ^{210}_{83}\text{Bi} \to ^{210}_{84}\text{Po}

. La emisión

\alpha

resta 2 a

Z

y 4 a

A

:

^{210}_{84}\text{Po} \to ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\alpha

. El núcleo final es

^{206}_{82}\text{Pb}

.

Las reglas de conservación en desintegraciones radiactivas: en

\beta^-

un neutrón se transforma en protón, así

Z \to Z+1

y

A

no cambia; en

\alpha

se emite un núcleo de helio,

Z \to Z-2

y

A \to A-4

. Partiendo de

^{210}_{82}\text{Pb}

: tras dos betas,

^{210}_{82}\text{Pb} \to ^{210}_{83}\text{Bi} \to ^{210}_{84}\text{Po}

; tras la alfa,

^{210}_{84}\text{Po} \to ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\alpha

. El núcleo final es plomo-206 (

^{206}_{82}\text{Pb}

). Tras 100 años quedan

\approx 8{,}07\times10^{22}

núcleos de Pb-210 de los

1{,}806\times10^{24}

iniciales.

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 1.2Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 1.2 — Peso en un planeta de doble radio

Si el peso de una masa $m$ en la superficie de un planeta esférico de radio $r$ vale 80 N, ¿cuánto pesará esa misma masa en la superficie de otro planeta esférico de radio $2r$ y la misma densidad?

A

20\ \text{N}

B

40\ \text{N}

C

160\ \text{N}

D

80\ \text{N}

(no cambia)

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$160\ \text{N}$

Correcto.

g = \frac{GM}{r^2}

y

M = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3

, así que

g = \frac{4}{3}\pi G\rho\, r \propto r

. Al duplicar

r

(igual

\rho

),

g

se duplica: el peso pasa de 80 N a 160 N.

La gravedad en la superficie es

g = \frac{GM}{r^2}

. Como ambos planetas tienen la misma densidad

\rho

, su masa es

M = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3

. Sustituyendo:

g = \frac{G\rho\frac{4}{3}\pi r^3}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G\rho\, r

, es decir,

g \propto r

. Al duplicar el radio (manteniendo

\rho

), la gravedad superficial se duplica y el peso

P = mg

pasa de 80 N a

2\times 80 = 160\ \text{N}

. (En la pregunta 1.1, la reacción

^{14}_{7}\text{N} + n \to ^{14}_{6}\text{C} + ^{1}_{1}\text{H}

emite un protón.)

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 2.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 2.1 — Cociente de campos magnéticos de dos corrientes rectilíneas

Una corriente rectilínea indefinida $I$ crea un campo $B_1$ en un punto a distancia perpendicular $r$ . Otra corriente $2I$ crea un campo $B_2$ en un punto a distancia $3r$ . ¿Cuánto vale el cociente $B_1/B_2$ ?

A

B_1/B_2 = 2/3

B

B_1/B_2 = 9/2

C

B_1/B_2 = 3/2

D

B_1/B_2 = 1

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$B_1/B_2 = 3/2$

Correcto.

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

, así que

\frac{B_1}{B_2} = \frac{I/r}{2I/(3r)} = \frac{I}{r}\cdot\frac{3r}{2I} = \frac{3}{2}

.

El campo magnético creado por una corriente rectilínea indefinida a distancia perpendicular

r

es

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

. Por tanto

B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

y

B_2 = \frac{\mu_0 (2I)}{2\pi (3r)}

. El cociente es

\frac{B_1}{B_2} = \frac{I/r}{2I/(3r)} = \frac{I}{r}\cdot\frac{3r}{2I} = \frac{3}{2}

. (En la pregunta 2.2, la teoría ondulatoria de Huygens se confirma con la refracción y las interferencias, fenómenos ondulatorios; el efecto fotoeléctrico y el Compton, en cambio, apoyan la naturaleza corpuscular.)

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ABAU GAL 2023 — 3.2Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 3.2 — Potencia de una fuente sonora

Un motor produce un nivel de intensidad sonora de 80 dB a 2 m de distancia. Tomando $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$ , ¿cuál es la potencia sonora del motor (suponiendo emisión isótropa)?

A

P \approx 500\ \text{mW}

B

P \approx 5\ \text{mW}

C

P \approx 50\ \text{mW}

D

P \approx 0{,}5\ \text{mW}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$P \approx 5\ \text{mW}$

Correcto.

\beta = 10\log\frac{I}{I_0} = 80 \Rightarrow I = 10^{-12}\cdot 10^{8} = 10^{-4}\ \text{W/m}^2

. Como

P = I\cdot 4\pi r^2 = 10^{-4}\cdot 4\pi\cdot 2^2 \approx 5{,}0\times10^{-3}\ \text{W} \approx 5\ \text{mW}

.

El nivel de intensidad sonora es

\beta = 10\log\frac{I}{I_0}

. De

80 = 10\log\frac{I}{10^{-12}}

se obtiene

\frac{I}{I_0} = 10^8

, es decir,

I = 10^{-4}\ \text{W/m}^2

. Si el motor emite por igual en todas direcciones, a 2 m la potencia se reparte sobre una esfera de área

4\pi r^2

:

P = I\cdot 4\pi r^2 = 10^{-4}\cdot 4\pi\cdot 2^2 \approx 5{,}0\times10^{-3}\ \text{W} = 5\ \text{mW}

. (En la pregunta 3.1, al acercar una barra de hierro —no un imán— el flujo a través de la espira no varía, por lo que no se induce corriente.)

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ABAU GAL 2023 — 4Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 4 — Función de trabajo a partir del potencial de frenado

Al iluminar un metal con luz de $\lambda = 280\ \text{nm}$ , la emisión de fotoelectrones cesa para un potencial de frenado de 1,3 V. ¿Cuál es la función de trabajo $W_0$ del metal?

Datos: $h = 6{,}63\times10^{-34}\ \text{J s}$ ; $c = 3\times10^{8}\ \text{m/s}$ ; $|q_e| = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ .

A

W_0 = 4{,}44\ \text{eV}

B

W_0 = 3{,}14\ \text{eV}

C

W_0 = 1{,}3\ \text{eV}

D

W_0 = 5{,}74\ \text{eV}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$W_0 = 3{,}14\ \text{eV}$

Correcto.

E_{fotón} = \frac{hc}{\lambda} = 7{,}10\times10^{-19}\ \text{J} = 4{,}44\ \text{eV}

. La energía cinética máxima es

E_c = q_e V_f = 1{,}3\ \text{eV}

. Por tanto

W_0 = E_{fotón} - E_c = 4{,}44 - 1{,}3 = 3{,}14\ \text{eV} \approx 5{,}0\times10^{-19}\ \text{J}

.

El potencial de frenado

V_f

da la energía cinética máxima de los fotoelectrones:

E_c = q_e V_f = 1{,}3\ \text{eV}

. La energía de cada fotón es

E_{fotón} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot 3\times10^8}{280\times10^{-9}} = 7{,}10\times10^{-19}\ \text{J} = 4{,}44\ \text{eV}

. Por la ecuación de Einstein

E_c = hf - W_0

, despejamos la función de trabajo:

W_0 = E_{fotón} - E_c = 4{,}44 - 1{,}3 = 3{,}14\ \text{eV} \approx 5{,}0\times10^{-19}\ \text{J}

. La frecuencia umbral es

f_0 = W_0/h \approx 7{,}58\times10^{14}\ \text{Hz}

. La pendiente de la gráfica

E_c

frente a

f

es la constante de Planck

h

.

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 5Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 5 — Velocidad orbital del satélite Sentinel-1

El satélite Sentinel-1 describe una órbita circular a 693 km sobre la superficie terrestre. ¿Qué velocidad orbital tiene?

Datos: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ ; $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$ .

A

v \approx 7{,}91\times10^{3}\ \text{m/s}

B

v \approx 7{,}51\times10^{3}\ \text{m/s}

C

v \approx 1{,}06\times10^{4}\ \text{m/s}

D

v \approx 3{,}07\times10^{3}\ \text{m/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$v \approx 7{,}51\times10^{3}\ \text{m/s}$

Correcto.

v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{R_T + h}}

con

r = 6{,}37\times10^{6} + 6{,}93\times10^{5} = 7{,}06\times10^{6}\ \text{m}

:

v \approx 7{,}51\times10^{3}\ \text{m/s}

.

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la centrípeta:

\frac{GM_Tm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

, de donde

v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}}

, con

r = R_T + h = 6{,}37\times10^6 + 6{,}93\times10^5 = 7{,}06\times10^6

m. Sustituyendo:

v = \sqrt{\frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot 5{,}97\times10^{24}}{7{,}06\times10^{6}}} \approx 7{,}51\times10^{3}\ \text{m/s}

. El período orbital es

T = \frac{2\pi r}{v} \approx 5{,}9\times10^3

s

\approx 98{,}5

min, lo que da unas 14-15 vueltas a la Tierra cada día.

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ABAU GAL 2023 — 6Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 6 — Péndulo con carga en un campo eléctrico

Una esfera de masa 4 g y carga $+8\ \mu\text{C}$ cuelga de un hilo en una región con campo eléctrico horizontal $\vec{E} = 6\times10^{3}\,\hat{i}\ \text{N/C}$ . ¿Qué ángulo forma el hilo con la vertical en equilibrio?

Dato: $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

A

\theta \approx 39{,}2°

B

\theta \approx 45°

C

\theta \approx 50{,}8°

D

\theta \approx 22{,}6°

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\theta \approx 50{,}8°$

Correcto.

F_e = qE = 8\times10^{-6}\cdot 6\times10^3 = 0{,}048\ \text{N}

(horizontal);

F_g = mg = 4\times10^{-3}\cdot 9{,}8 = 0{,}039\ \text{N}

(vertical).

\tan\theta = \frac{F_e}{F_g} = 1{,}22 \Rightarrow \theta \approx 50{,}8°

.

Sobre la esfera actúan tres fuerzas: el peso

F_g = mg = 4\times10^{-3}\cdot 9{,}8 = 0{,}039\ \text{N}

(hacia abajo), la fuerza eléctrica

F_e = qE = 8\times10^{-6}\cdot 6\times10^3 = 0{,}048\ \text{N}

(horizontal) y la tensión del hilo. En equilibrio, las componentes de la tensión equilibran al peso y a la fuerza eléctrica, de modo que

\tan\theta = \frac{F_e}{F_g} = \frac{0{,}048}{0{,}039} = 1{,}22

, luego

\theta \approx 50{,}8°

. Al desaparecer el campo, la esfera oscila; pasa por la vertical con velocidad

v = \sqrt{2g\,L(1-\cos\theta)} \approx 1{,}2\ \text{m/s}

.

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 7Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 7 — Período y longitud de onda

Una onda se propaga en el sentido positivo del eje X con velocidad $v = 20\ \text{m/s}$ , amplitud $A = 0{,}02\ \text{m}$ y frecuencia $f = 10\ \text{Hz}$ . ¿Cuáles son su período y su longitud de onda?

A

T = 0{,}1\ \text{s}

;

\lambda = 2\ \text{m}

B

T = 10\ \text{s}

;

\lambda = 2\ \text{m}

C

T = 0{,}1\ \text{s}

;

\lambda = 0{,}5\ \text{m}

D

T = 0{,}1\ \text{s}

;

\lambda = 200\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$T = 0{,}1\ \text{s}$ ; $\lambda = 2\ \text{m}$

Correcto.

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{10} = 0{,}1\ \text{s}

y

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20}{10} = 2\ \text{m}

.

El período es el inverso de la frecuencia:

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{10} = 0{,}1\ \text{s}

. La longitud de onda relaciona la velocidad de propagación con la frecuencia:

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20}{10} = 2\ \text{m}

. Con la condición de máxima elongación positiva en el origen para

t = 0

(fase inicial nula con coseno), la ecuación de la onda es

y(x,t) = 0{,}02\cos\left(\omega t - kx\right)

, con

\omega = 2\pi f = 20\pi\ \text{rad/s}

y

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \pi\ \text{m}^{-1}

.

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 8Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 8 — Imagen en una lente divergente

Un objeto de 4 cm de altura está a 20 cm delante de una lente delgada divergente de distancia focal $|f| = 12$ cm ( $f = -12$ cm). ¿Cuál es la posición de la imagen y su tamaño?

A

s_i = -7{,}5\ \text{cm}

;

h_i = 1{,}5\ \text{cm}

(virtual, derecha y menor)

B

s_i = +7{,}5\ \text{cm}

; imagen real e invertida

C

s_i = -12\ \text{cm}

;

h_i = 4\ \text{cm}

D

s_i = -7{,}5\ \text{cm}

;

h_i = 6\ \text{cm}

(mayor que el objeto)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$s_i = -7{,}5\ \text{cm}$ ; $h_i = 1{,}5\ \text{cm}$ (virtual, derecha y menor)

Correcto. Con

f = -12

cm,

s = -20

cm y

\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f}

:

s_i = -7{,}5

cm. El aumento

\beta = s_i/s = 0{,}375

, así que

h_i = 0{,}375\cdot 4 = 1{,}5

cm. Imagen virtual, derecha y menor.

En una lente divergente la distancia focal es negativa:

f = -12

cm. Con el objeto a

s = -20

cm, aplicamos

\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f}

:

\frac{1}{s_i}=\frac{1}{-12}+\frac{1}{-20}=\frac{-5-3}{60}=-\frac{8}{60}=-\frac{1}{7{,}5}

, de donde

s_i=-7{,}5

cm (imagen virtual, al mismo lado que el objeto). El aumento es

\beta = s_i/s = \frac{-7{,}5}{-20} = 0{,}375

, así que la altura de la imagen es

h_i = 0{,}375\cdot 4 = 1{,}5

cm. La imagen es virtual, derecha y menor, como siempre ocurre con las lentes divergentes.

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 1.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 1.1 — Captura de un neutrón por el nitrógeno-14

Un átomo de nitrógeno atmosférico $^{14}_{7}\text{N}$ choca con un neutrón y se transforma en carbono $^{14}_{6}\text{C}$ que, por desintegración $\beta$ , vuelve a convertirse en nitrógeno. ¿Qué partícula se emite en el primer proceso ( $^{14}_{7}\text{N} + n \to ^{14}_{6}\text{C} + \text{?}$ )?

ARadiación gamma

BUn protón

CNo puede existir (daría

^{14}_{5}\text{B}

)

DUn neutrón

Veure solució

Resposta correcta — opció B

Un protón

Correcto. Para que se conserven

A

(

14+1 = 14+1

) y

Z

(

7 = 6+1

), se emite un protón

^{1}_{1}\text{H}

:

^{14}_{7}\text{N} + ^{1}_{0}n \to ^{14}_{6}\text{C} + ^{1}_{1}\text{H}

.

Esta es la reacción que mantiene el

^{14}\text{C}

atmosférico usado en la datación radiocarbónica. Aplicando la conservación del número másico y del número atómico:

^{14}_{7}\text{N} + ^{1}_{0}n \to ^{14}_{6}\text{C} + ^{1}_{1}\text{H}

. En el lado derecho,

A = 14+1 = 15

y

Z = 6+1 = 7

, que coinciden con el lado izquierdo. La partícula emitida es un protón (

^{1}_{1}\text{H}

). El

^{14}_{6}\text{C}

resultante es radiactivo y vuelve a

^{14}_{7}\text{N}

por emisión

\beta^-

.

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 2.2Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 2.2 — Fenómenos que confirman la teoría ondulatoria de la luz

¿Qué pareja de fenómenos confirma la teoría ondulatoria de Huygens sobre la naturaleza de la luz?

AReflexión y formación de sombras

BRefracción e interferencias

CEfecto fotoeléctrico y efecto Compton

DDispersión en un prisma y formación de sombras

Veure solució

Resposta correcta — opció B

Refracción e interferencias

Correcto. La refracción y las interferencias son fenómenos típicamente ondulatorios; las interferencias, en particular, solo se explican si la luz es una onda.

La teoría ondulatoria de Huygens describe la luz como una onda. Los fenómenos que la confirman son los que requieren superposición de ondas: la refracción (cambio de dirección al variar la velocidad de propagación en el medio) y, de forma concluyente, las interferencias (máximos y mínimos por suma de ondas en fase u oposición de fase), junto con la difracción. En cambio, el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton solo se explican si la luz está formada por fotones (cuantos de energía), por lo que avalan el modelo corpuscular. La dualidad onda-corpúsculo reconcilia ambos conjuntos de observaciones.

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 3.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 3.1 — Inducción al acercar una barra de hierro a una espira con imán

Sobre una mesa hay una espira horizontal y, en su interior, un imán de barra fijo con sus polos en dirección vertical. Si acercamos y alejamos una barra de hierro hacia el interior de la espira, ¿qué ocurre en la espira?

ASe induce una corriente eléctrica

BNo se induce corriente (el imán está fijo)

CNo hay información suficiente para saberlo

DSolo se induciría si se moviera el imán

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Se induce una corriente eléctrica

Correcto. El hierro es ferromagnético: al acercarlo concentra y modifica las líneas del imán, de modo que el flujo a través de la espira varía y, por la ley de Faraday, se induce corriente.

La ley de Faraday-Lenz establece que se induce una fuerza electromotriz (y, por tanto, corriente) en la espira cuando el flujo magnético a través de ella varía:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

. El imán está fijo, pero la barra de hierro es ferromagnética: al acercarla y alejarla, concentra y deforma las líneas del campo del imán, de modo que el flujo que atraviesa la espira cambia con el tiempo. En consecuencia, sí se induce corriente mientras la barra de hierro se mueve. (En la pregunta 3.2, un motor de 80 dB a 2 m emite una potencia de unos 5 mW.)

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 4Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 4 — Frecuencia umbral del efecto fotoeléctrico

Al iluminar un metal con luz de $\lambda = 280\ \text{nm}$ , la emisión de fotoelectrones cesa para un potencial de frenado de 1,3 V (función de trabajo $W_0 = 3{,}14\ \text{eV}$ ). ¿Cuál es la frecuencia umbral $f_0$ de emisión fotoeléctrica?

Datos: $h = 6{,}63\times10^{-34}\ \text{J s}$ ; $|q_e| = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ .

A

f_0 \approx 1{,}07\times10^{15}\ \text{Hz}

B

f_0 \approx 7{,}58\times10^{14}\ \text{Hz}

C

f_0 \approx 3{,}14\times10^{14}\ \text{Hz}

D

f_0 \approx 4{,}74\times10^{15}\ \text{Hz}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$f_0 \approx 7{,}58\times10^{14}\ \text{Hz}$

Correcto.

f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{3{,}14\cdot 1{,}6\times10^{-19}}{6{,}63\times10^{-34}} = \frac{5{,}02\times10^{-19}}{6{,}63\times10^{-34}} \approx 7{,}58\times10^{14}\ \text{Hz}

.

La frecuencia umbral

f_0

es la mínima frecuencia capaz de arrancar electrones: un fotón aporta justo la función de trabajo,

W_0 = h f_0

. Despejando y pasando

W_0

a julios:

f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{3{,}14\ \text{eV}\times 1{,}6\times10^{-19}\ \text{J/eV}}{6{,}63\times10^{-34}\ \text{J s}} = \frac{5{,}02\times10^{-19}}{6{,}63\times10^{-34}} \approx 7{,}58\times10^{14}\ \text{Hz}

. En la gráfica

E_c

frente a

f

, la recta corta el eje de frecuencias en

f_0

y su pendiente es la constante de Planck

h

.

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ABAU GAL 2023 — 5Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 5 — Vueltas diarias del satélite Sentinel-1

El satélite Sentinel-1 orbita a 693 km sobre la superficie terrestre, con un período orbital de unos 98,5 min. Aproximadamente, ¿cuántas vueltas da a la Tierra cada día?

Datos: $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$ ; $1\ \text{día} = 86\,400\ \text{s}$ .

A1 vuelta al día

BUnas 14-15 vueltas al día

CUnas 24 vueltas al día

DUnas 7 vueltas al día

Veure solució

Resposta correcta — opció B

Unas 14-15 vueltas al día

Correcto. El número de vueltas es

\frac{86\,400\ \text{s}}{T}

, con

T \approx 98{,}5\ \text{min} = 5910\ \text{s}

:

\frac{86\,400}{5910} \approx 14{,}6

, es decir, unas 14-15 vueltas al día.

El radio orbital es

r = R_T + h = 7{,}06\times10^6

m; con

v = \sqrt{GM_T/r} \approx 7{,}51\times10^3

m/s, el período es

T = \frac{2\pi r}{v} \approx 5{,}9\times10^3\ \text{s} \approx 98{,}5\ \text{min}

. El número de vueltas que da en un día es

n = \frac{86\,400\ \text{s}}{T} = \frac{86\,400}{5910} \approx 14{,}6

, es decir, unas 14-15 vueltas diarias, típico de un satélite de órbita baja (LEO).

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ABAU GAL 2023 — 6.bDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 6.b — Velocidad del péndulo al desaparecer el campo

Una esfera (masa 4 g, carga $+8\ \mu\text{C}$ ) cuelga de un hilo de 20 cm en un campo eléctrico horizontal, formando 50,8° con la vertical. Si el campo desaparece de golpe, ¿con qué velocidad pasa la esfera por la posición vertical?

Dato: $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

A

v \approx 0{,}85\ \text{m/s}

B

v \approx 1{,}2\ \text{m/s}

C

v \approx 1{,}98\ \text{m/s}

D

v = 0\ \text{m/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$v \approx 1{,}2\ \text{m/s}$

Correcto. La esfera asciende una altura

h = L(1-\cos\theta) = 0{,}20(1-\cos 50{,}8°) = 0{,}073\ \text{m}

. Por conservación de energía,

v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}073} \approx 1{,}2\ \text{m/s}

.

En equilibrio el hilo formaba

\theta = 50{,}8°

con la vertical. Al desaparecer el campo eléctrico, la única fuerza horizontal desaparece y la esfera oscila hacia la vertical bajo la gravedad. La esfera desciende una altura

h = L(1-\cos\theta) = 0{,}20(1-\cos 50{,}8°) = 0{,}073\ \text{m}

. Por conservación de la energía mecánica (

\frac{1}{2}mv^2 = mgh

):

v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}073} \approx 1{,}2\ \text{m/s}

al pasar por la posición vertical.

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ABAU GAL 2023 — 7.aDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 7.a — Velocidad de propagación de una onda

Una onda armónica tiene una frecuencia de 10 Hz y una longitud de onda de 2 m. ¿Cuál es su velocidad de propagación?

A

v = 20\ \text{m/s}

B

v = 5\ \text{m/s}

C

v = 0{,}2\ \text{m/s}

D

v = 200\ \text{m/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$v = 20\ \text{m/s}$

Correcto. La velocidad de propagación es

v = \lambda f = 2\cdot 10 = 20\ \text{m/s}

.

La relación fundamental entre velocidad, longitud de onda y frecuencia de una onda es

v = \lambda f

. Con

\lambda = 2\ \text{m}

y

f = 10\ \text{Hz}

:

v = 2\cdot 10 = 20\ \text{m/s}

. Equivalentemente,

v = \lambda/T

con

T = 1/f = 0{,}1

s. La ecuación de la onda (máxima elongación en el origen en

t=0

) es

y(x,t) = 0{,}02\cos(20\pi t - \pi x)

en el SI.

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ABAU GAL 2023 — 8.aDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 8.a — Posición de la imagen en una lente divergente

Un objeto está a 20 cm de una lente divergente de distancia focal $|f| = 12$ cm ( $f = -12$ cm). ¿A qué distancia de la lente se forma la imagen?

A

s_i = +7{,}5\ \text{cm}

B

s_i = -7{,}5\ \text{cm}

C

s_i = -12\ \text{cm}

D

s_i = -30\ \text{cm}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$s_i = -7{,}5\ \text{cm}$

Correcto.

\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f}

con

f=-12

,

s=-20

:

\frac{1}{s_i}=-\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=-\frac{8}{60}

,

s_i=-7{,}5\ \text{cm}

.

Con la lente divergente (

f = -12

cm) y el objeto en

s = -20

cm, aplicamos

\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f}

:

\frac{1}{s_i}=\frac{1}{-12}+\frac{1}{-20}=\frac{-5-3}{60}=-\frac{8}{60}=-\frac{1}{7{,}5}

, de donde

s_i=-7{,}5

cm. El signo negativo confirma que la imagen es virtual (al mismo lado que el objeto). El aumento es

\beta = s_i/s = 0{,}375

, así que la imagen es derecha y de 1,5 cm de altura.

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ABAU GAL 2023 — 1.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 1.1 — Trabajo de la gravedad razonado por la energía potencial

Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Justificando la respuesta mediante la variación de energía potencial, ¿cuánto vale el trabajo de la fuerza gravitatoria a lo largo de media órbita?

APositivo

BNegativo

CNulo (

W = -\Delta E_p = 0

)

DIgual a la energía potencial

Veure solució

Resposta correcta — opció C

Nulo ( $W = -\Delta E_p = 0$ )

Correcto.

W_B = -\Delta E_p

. Como el radio orbital

r

es constante,

E_p = -GMm/r

no varía:

\Delta E_p = 0

y

W_B = 0

.

El trabajo de una fuerza conservativa como la gravedad se calcula con

W = -\Delta E_p

. La energía potencial gravitatoria es

E_p = -\frac{GMm}{r}

. En una órbita circular el radio

r

permanece constante, así que

\Delta E_p = 0

entre dos puntos cualesquiera de la órbita. Por tanto

W = -\Delta E_p = 0

. Esto concuerda con el cálculo directo

W = \int\vec{F}\cdot d\vec{r} = 0

, ya que la fuerza gravitatoria (centrípeta) es siempre perpendicular al desplazamiento. (En la pregunta 1.2, el

^{3}\text{He}

describe un radio menor que el

^{4}\text{He}

porque

r = mv/(qB)

y tiene menos masa con igual carga.)

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ABAU GAL 2023 — 2.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 2.1 — Razón física de la fuerza nula sobre la carga central

Cuatro cargas $+Q$ ocupan los vértices de un cuadrado y una carga $-Q$ está en el centro. La fuerza neta sobre $-Q$ es nula. ¿Cuál es la razón física correcta?

APor simetría, las fuerzas de vértices opuestos se cancelan dos a dos

BPorque todas las cargas tienen el mismo valor

Q

CPorque la carga central no interactúa con las de los vértices

DPorque la distancia del centro a los vértices es cero

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Por simetría, las fuerzas de vértices opuestos se cancelan dos a dos

Correcto. Las cargas de vértices diametralmente opuestos están a la misma distancia y ejercen sobre

-Q

fuerzas de igual módulo y sentidos contrarios, que se cancelan dos a dos. La resultante es el vector nulo.

Cada carga

+Q

del vértice atrae a la carga

-Q

del centro con una fuerza de módulo

F = \frac{kQ^2}{d^2}

, donde

d

es media diagonal. Las cargas situadas en vértices diametralmente opuestos están a la misma distancia y ejercen fuerzas de igual módulo y sentidos contrarios, que se cancelan. Por la simetría de la configuración, la suma vectorial de las cuatro fuerzas es el vector nulo: la fuerza neta sobre la carga central es cero.

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ABAU GAL 2023 — 3.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 3.1 — Energía cinética de los fotoelectrones según el color

Un metal produce efecto fotoeléctrico con luz roja (682 nm). Al cambiar a luz amarilla (570 nm), aumenta la energía cinética máxima de los electrones emitidos. ¿Cuál es la justificación cuantitativa correcta?

APorque

E_c = hc/\lambda - W_0

y al disminuir

\lambda

aumenta

E_c

BPorque la luz amarilla es más intensa que la roja

CPorque la función de trabajo

W_0

disminuye con la luz amarilla

DPorque

E_c

es proporcional a la longitud de onda

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Porque $E_c = hc/\lambda - W_0$ y al disminuir $\lambda$ aumenta $E_c$

Correcto. Como

E_c = hf - W_0 = \frac{hc}{\lambda} - W_0

y

\lambda

disminuye (570 < 682 nm), el término

hc/\lambda

aumenta mientras

W_0

es constante:

E_c

crece y los electrones salen más rápidos.

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico es

E_c = hf - W_0 = \frac{hc}{\lambda} - W_0

. La función de trabajo

W_0

es una propiedad fija del metal. Al pasar de luz roja (682 nm) a amarilla (570 nm), la longitud de onda disminuye, así que la frecuencia

f

y la energía del fotón

hf

aumentan. Con

W_0

constante, la energía cinética máxima

E_c

crece y los fotoelectrones salen con mayor velocidad. El número de electrones emitidos depende de la intensidad, no del color.

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ABAU GAL 2023 — 4Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 4 — Material para medir el índice de refracción

Para determinar el índice de refracción de un medio en el laboratorio, se monta sobre un banco óptico un foco luminoso, una lente convergente, un diafragma de rendija y un disco óptico graduado que se gira de 5 en 5 grados. ¿Qué magnitudes hay que medir para obtener el índice de refracción mediante la ley de Snell?

ALos ángulos de incidencia y de refracción para cada orientación

BLa distancia focal de la lente convergente

CLa intensidad de la luz que atraviesa el medio

DLa longitud de onda de la luz incidente

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Los ángulos de incidencia y de refracción para cada orientación

Correcto. Hay que medir, para cada giro del disco, el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción; con la ley de Snell

\sin\theta_1 = n\sin\theta_2

se obtiene

n

.

El montaje (foco, lente convergente, rendija y disco óptico graduado) sirve para enviar un haz fino y bien definido sobre la superficie del medio y medir ángulos. Girando el disco de 5 en 5 grados se obtienen distintas parejas de ángulo de incidencia

\theta_1

y de refracción

\theta_2

. Aplicando la ley de Snell

\sin\theta_1 = n\sin\theta_2

, o representando

\sin\theta_1

frente a

\sin\theta_2

(la pendiente es

n

), se determina el índice de refracción del medio (

n \approx 1{,}24

con los datos del examen).

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ABAU GAL 2023 — 5.aDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 5.a — Energía mecánica del satélite lunar

Un satélite de masa $m = 1500\ \text{kg}$ orbita la Luna en una circunferencia de radio $r = 3R_L$ . ¿Cuál es su energía mecánica total en la órbita?

Datos: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}$ ; $M_L = 7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}$ ; $R_L = 1740\ \text{km}$ .

A

E_m \approx -1{,}41\times10^{9}\ \text{J}

B

E_m \approx -7{,}04\times10^{8}\ \text{J}

C

E_m \approx +7{,}04\times10^{8}\ \text{J}

D

E_m \approx -2{,}11\times10^{9}\ \text{J}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$E_m \approx -7{,}04\times10^{8}\ \text{J}$

Correcto.

E_m = -\frac{GM_Lm}{2r}

con

r = 3R_L = 5{,}22\times10^{6}\ \text{m}

:

E_m = -\frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot 7{,}35\times10^{22}\cdot 1500}{2\cdot 5{,}22\times10^{6}} \approx -7{,}04\times10^{8}\ \text{J}

.

En una órbita circular, la energía cinética es

E_c = \frac{GM_Lm}{2r}

y la potencial

E_p = -\frac{GM_Lm}{r}

, de modo que la energía mecánica total es

E_m = E_c + E_p = -\frac{GM_Lm}{2r}

(siempre negativa para una órbita ligada). Con

r = 3R_L = 5{,}22\times10^{6}

m:

E_m = -\frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot 7{,}35\times10^{22}\cdot 1500}{2\cdot 5{,}22\times10^{6}} \approx -7{,}04\times10^{8}\ \text{J}

. El período de esta órbita es

T \approx 3{,}38\times10^{4}

s (unas 9,4 h).

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ABAU GAL 2023 — 6.aDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 6.a — Sentido de la fuerza entre dos conductores antiparalelos

Dos conductores rectilíneos paralelos separados 80 cm llevan corrientes de 12 A en sentidos contrarios (antiparalelas). ¿Cómo es la fuerza por unidad de longitud que se ejercen mutuamente?

AAtractiva,

3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

BRepulsiva,

3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

CNula

DParalela a los conductores,

3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

Repulsiva, $3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}$

Correcto. Corrientes antiparalelas se repelen. El módulo es

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = 3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

, perpendicular a los hilos y separándolos.

Cada conductor crea un campo magnético que ejerce fuerza sobre el otro. La regla es: corrientes del mismo sentido se atraen; corrientes de sentidos opuestos se repelen. Como aquí las corrientes son antiparalelas, la fuerza es de repulsión, perpendicular a los conductores y dirigida a separarlos. Su módulo por unidad de longitud es

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 12\cdot 12}{2\pi\cdot 0{,}8} = 3{,}6\times10^{-5}\ \text{N/m}

. En el punto medio, los campos de ambos hilos se suman dando

B = 1{,}2\times10^{-5}

T.

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ABAU GAL 2023 — 7.bDificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 7.b — Altura de la imagen en una lente de +5 D

Un objeto de 2 cm de altura está a 15 cm de una lente convergente de $+5$ dioptrías ( $f = 20$ cm). El aumento lateral resulta $\beta = +4$ . ¿Cuál es la altura de la imagen?

A

h_i = 2\ \text{cm}

B

h_i = 0{,}5\ \text{cm}

C

h_i = 8\ \text{cm}

D

h_i = -8\ \text{cm}

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$h_i = 8\ \text{cm}$

Correcto.

h_i = \beta\cdot h_o = 4\cdot 2 = 8\ \text{cm}

(positiva: imagen derecha).

El aumento lateral se define como

\beta = \frac{h_i}{h_o} = \frac{s_i}{s}

. Para esta lente convergente de

f = 20

cm con el objeto dentro del foco (

s = -15

cm), la imagen está en

s_i = -60

cm y

\beta = \frac{-60}{-15} = +4

. La altura de la imagen es

h_i = \beta\cdot h_o = 4\cdot 2 = 8\ \text{cm}

, positiva, lo que indica que la imagen es derecha (además de virtual y aumentada): la lente actúa como una lupa.

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ABAU GAL 2023 — 8Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 8 — Constante de desintegración y vida media del Pb-210

El $^{210}_{82}\text{Pb}$ tiene un período de semidesintegración $T_{1/2} = 22{,}3$ años. ¿Cuáles son su constante de desintegración $\lambda$ y su vida media $\tau$ ?

A

\lambda = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}

;

\tau \approx 32{,}2

años

B

\lambda = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}

;

\tau = 22{,}3

años

C

\lambda = 0{,}693\ \text{año}^{-1}

;

\tau \approx 1{,}44

años

D

\lambda = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}

;

\tau \approx 15{,}5

años

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\lambda = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}$ ; $\tau \approx 32{,}2$ años

Correcto.

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{22{,}3} = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}

y

\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 32{,}2\ \text{años}

.

La constante de desintegración mide la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo y se relaciona con el período de semidesintegración por

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{22{,}3} = 0{,}0311\ \text{año}^{-1}

. La vida media (tiempo medio que vive un núcleo) es el inverso de la constante:

\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = \frac{22{,}3}{0{,}693} \approx 32{,}2\ \text{años}

. La vida media siempre es mayor que el período de semidesintegración (factor

1/\ln 2 \approx 1{,}44

).

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ABAU GAL 2023 — 1.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 1.1 — Por qué no se obtiene boro-14 en la captura neutrónica

En la reacción $^{14}_{7}\text{N} + ^{1}_{0}n \to \text{?}$ , ¿por qué el resultado no puede ser $^{14}_{5}\text{B}$ , sino $^{14}_{6}\text{C}$ más un protón?

APorque hay que conservar el número atómico: emitir un protón da

^{14}_{6}\text{C}

, no

^{14}_{5}\text{B}

BPorque el boro-14 es demasiado inestable para formarse

CPorque no habría energía suficiente para crear boro

DPorque no se conservaría el número másico al formar carbono

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Porque hay que conservar el número atómico: emitir un protón da $^{14}_{6}\text{C}$ , no $^{14}_{5}\text{B}$

Correcto. La conservación del número atómico exige

Z = 7

en total. Emitiendo un protón (

Z=1

) queda

^{14}_{6}\text{C}

(

Z=6

); obtener

^{14}_{5}\text{B}

(

Z=5

) violaría el balance de carga.

En una reacción nuclear se conservan tanto el número másico

A

(superíndices) como el número atómico

Z

(subíndices). En el lado izquierdo,

A = 14+1 = 15

y

Z = 7+0 = 7

. La reacción real es

^{14}_{7}\text{N} + ^{1}_{0}n \to ^{14}_{6}\text{C} + ^{1}_{1}\text{H}

, donde el carbono tiene

Z=6

y el protón

Z=1

(suman 7). Si en su lugar se obtuviera

^{14}_{5}\text{B}

, su número atómico sería 5, lo que no cierra el balance de carga (

Z=7

): por eso ese resultado es imposible. El motivo es la conservación del número atómico, no la estabilidad del boro.

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ABAU GAL 2023 — 2.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 — 2.1 — Dependencia del campo magnético con corriente y distancia

El campo de un hilo rectilíneo indefinido es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ . Si una corriente $I$ produce $B_1$ a distancia $r$ y otra corriente $2I$ produce $B_2$ a distancia $3r$ , ¿qué factor relaciona ambos campos?

A

B_2 = \tfrac{1}{3}B_1

B

B_2 = 6\,B_1

C

B_2 = \tfrac{2}{3}B_1

D

B_2 = 2\,B_1

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$B_2 = \tfrac{2}{3}B_1$

Correcto.

B_2 = \frac{2I}{3r}

frente a

B_1 = \frac{I}{r}

(salvo constantes):

B_2 = \frac{2}{3}B_1

, equivalentemente

B_1/B_2 = 3/2

.

El campo de un conductor rectilíneo indefinido es

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

, proporcional a la corriente

I

e inversamente proporcional a la distancia

r

. Para el primer punto,

B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

; para el segundo, con corriente

2I

y distancia

3r

,

B_2 = \frac{\mu_0 (2I)}{2\pi (3r)} = \frac{2}{3}\cdot\frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{2}{3}B_1

. Por tanto

\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{2}

. Hay que combinar los dos efectos: la corriente doble aumenta el campo (×2) y la distancia triple lo reduce (÷3). (En la pregunta 2.2, la teoría ondulatoria de Huygens se confirma con la refracción y las interferencias.)

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ABAU GAL 2023 (extr.) — 3.1Dificultat 3/5

ABAU GAL 2023 (extr.) — 3.1 — Condición para que aparezca corriente inducida

Según el criterio oficial, en un circuito cerrado aparece una fuerza electromotriz inducida $\varepsilon$ (y una corriente) cuando varía en el tiempo el flujo magnético que lo atraviesa. Al acercar y alejar una barra de hierro al interior de una espira que contiene un imán, ¿por qué se induce corriente?

APorque al mover la barra de hierro varía el flujo magnético en la espira

BPorque la barra de hierro está imantada

CPorque hay un flujo magnético constante a través de la espira

DPorque la espira tiene una corriente permanente propia

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Porque al mover la barra de hierro varía el flujo magnético en la espira

Correcto. La barra de hierro (ferromagnética) concentra las líneas del campo del imán; al moverla cambia el flujo

\Phi

a través de la espira y, por la ley de Faraday

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

, se induce corriente.

La ley de Faraday establece que en un circuito cerrado se induce una fuerza electromotriz

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

siempre que varíe el flujo magnético

\Phi

que lo atraviesa. La barra de hierro es ferromagnética: aunque no esté imantada, concentra y redistribuye las líneas del campo del imán. Al acercarla o alejarla, cambia el flujo a través de la espira, y ese cambio induce una corriente mientras dura el movimiento. Si la barra estuviera quieta, el flujo sería constante y no se induciría corriente.

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Format de l'examen

43 exercicis a EureQuiz

Exercicis de l'examen43 exercicis

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