Física ABAU Galicia 2024

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.1Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.1 — Masa de una partícula en campo magnético

Una partícula de carga $q = 5\ \text{nC}$ penetra en una región con campo magnético $\vec{B} = 0{,}6\,\hat{\imath}\ \text{T}$ con velocidad $\vec{v} = 8 \times 10^4\,\hat{\jmath}\ \text{m/s}$ , describiendo una circunferencia de radio $r = 2\ \mu\text{m} = 2 \times 10^{-6}\ \text{m}$ .

¿Cuál es la masa de la partícula?

A

m = 7{,}5 \times 10^{-22}\ \text{kg}

B

m = 4{,}5 \times 10^{-22}\ \text{kg}

C

m = 2{,}5 \times 10^{-22}\ \text{kg}

D

m = 1{,}5 \times 10^{-21}\ \text{kg}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$m = 7{,}5 \times 10^{-22}\ \text{kg}$

Correcto. La fuerza magnética actúa como centrípeta:

qvB = \frac{mv^2}{r}

, de donde

m = \frac{qBr}{v} = \frac{5\times10^{-9} \cdot 0{,}6 \cdot 2\times10^{-6}}{8\times10^4} = 7{,}5\times10^{-22}\ \text{kg}

.

En un campo magnético uniforme, una carga con velocidad perpendicular describe una circunferencia donde la fuerza magnética es la centrípeta:

qvB = \frac{mv^2}{r}

. Despejando la masa:

m = \frac{qBr}{v} = \frac{(5\times10^{-9})(0{,}6)(2\times10^{-6})}{8\times10^4} = 7{,}5\times10^{-22}\ \text{kg}

. La clave es expresar el radio en metros.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.2Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.2 — Campo eléctrico y potencial constante

En una región del espacio el potencial eléctrico es constante.

¿Cuál es el valor de la intensidad de campo eléctrico en esa región?

AConstante y distinto de cero

BNulo (

\vec{E} = 0

)

CDepende del punto considerado

DIgual al potencial dividido por la distancia

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

Nulo ( $\vec{E} = 0$ )

Correcto. El campo es el gradiente (con signo cambiado) del potencial:

\vec{E} = -\nabla V

. Si

V

es constante, todas sus derivadas son cero, por lo que

\vec{E} = 0

.

El campo eléctrico se relaciona con el potencial mediante

\vec{E} = -\nabla V

. Si el potencial es constante en toda la región, su gradiente (las derivadas espaciales) es cero en cada dirección, por lo que el campo eléctrico es nulo. Las superficies equipotenciales coinciden con toda la región y no hay variación que genere campo.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.1Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.1 — Velocidad de una onda

La velocidad de propagación de una onda en un punto del espacio:

AVaría con la fase en que se encuentre el punto

BVaría con la distancia del punto al origen

CVaría al cambiar el medio de propagación

DVaría con la amplitud de la onda

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

Varía al cambiar el medio de propagación

Correcto. La velocidad de propagación depende de las propiedades del medio (densidad, tensión, índice de refracción…). Al cambiar de medio, cambia la velocidad.

La velocidad de propagación de una onda depende únicamente de las propiedades del medio: en una cuerda

v = \sqrt{T/\mu}

, en un fluido de su compresibilidad, y en óptica

v = c/n

. La fase, la distancia al origen y la amplitud caracterizan el estado de oscilación, pero no modifican la rapidez con la que la perturbación recorre el medio. Solo al cambiar de medio cambia la velocidad.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.2Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.2 — Período de un péndulo al duplicar la longitud

El período de un péndulo simple es $T = 1\ \text{s}$ . Si se duplica su longitud, ¿cuál es el nuevo período?

A

T = \dfrac{1}{2}\ \text{s}

B

T = \sqrt{2}\ \text{s} \approx 1{,}41\ \text{s}

C

T = 2\ \text{s}

D

T = 4\ \text{s}

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$T = \sqrt{2}\ \text{s} \approx 1{,}41\ \text{s}$

Correcto.

T = 2\pi\sqrt{L/g}

, así que

T \propto \sqrt{L}

. Al duplicar

L

:

T_{nuevo} = \sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\ \text{s}

.

El período de un péndulo simple es

T = 2\pi\sqrt{L/g}

, de modo que

T \propto \sqrt{L}

. Al duplicar la longitud, el nuevo período es

T_{nuevo} = 2\pi\sqrt{2L/g} = \sqrt{2}\cdot 2\pi\sqrt{L/g} = \sqrt{2}\,T = \sqrt{2}\cdot 1 \approx 1{,}41\ \text{s}

. La dependencia con la raíz cuadrada hace que el período crezca más despacio que la longitud.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.1Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.1 — Efecto fotoeléctrico y potencial de frenado

Se ilumina el cátodo de una célula fotoeléctrica con una radiación de frecuencia $f_1 = 1{,}6 \times 10^{15}\ \text{Hz}$ y el potencial de frenado es $2\ \text{V}$ . Si después se usa luz de longitud de onda $\lambda_2 = 187{,}5\ \text{nm}$ , el potencial de frenado será:

Dato: $c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}$ .

AMenor que

2\ \text{V}

BMayor que

2\ \text{V}

CIgual a

2\ \text{V}

DNulo (

0\ \text{V}

)

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

Igual a $2\ \text{V}$

Correcto.

f_2 = c/\lambda_2 = \frac{3\times10^8}{187{,}5\times10^{-9}} = 1{,}6\times10^{15}\ \text{Hz} = f_1

. Misma frecuencia ⇒ misma

E_c

máxima ⇒ mismo potencial de frenado.

El potencial de frenado cumple

eV_0 = hf - W_0

: depende solo de la frecuencia (para un metal dado). La segunda luz tiene frecuencia

f_2 = c/\lambda_2 = \frac{3\times10^8}{187{,}5\times10^{-9}} = 1{,}6\times10^{15}\ \text{Hz}

, idéntica a

f_1

. Al coincidir las frecuencias, la energía cinética máxima de los fotoelectrones es la misma y el potencial de frenado permanece en

2\ \text{V}

.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.2Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.2 — Contracción de la longitud (relatividad)

Una nave espacial viaja a velocidad uniforme $0{,}866\,c$ respecto a la Tierra. Un observador en la Tierra mide que la nave en movimiento tiene una longitud de $100\ \text{m}$ .

¿Cuánto mide la nave para su propio piloto?

A

50\ \text{m}

B

100\ \text{m}

C

200\ \text{m}

D

173\ \text{m}

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$200\ \text{m}$

Correcto. La longitud propia es

L_0 = L/\sqrt{1-v^2/c^2} = 100/\sqrt{1-0{,}866^2} = 100/0{,}5 = 200\ \text{m}

.

La contracción de la longitud afecta a quien ve el objeto en movimiento. El observador terrestre mide la longitud contraída

L = 100\ \text{m}

. El piloto, en reposo respecto a su nave, mide la longitud propia

L_0

, que es la mayor:

L_0 = L/\sqrt{1-v^2/c^2}

. Con

v = 0{,}866c

,

v^2/c^2 = 0{,}75

y

\sqrt{1-0{,}75} = 0{,}5

, de modo que

L_0 = 100/0{,}5 = 200\ \text{m}

.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 4Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 4 — Determinación de la masa de la Tierra

A partir de los datos orbitales de satélites terrestres (por ejemplo, GOES 2: radio orbital $r = 36\,005\ \text{km} = 3{,}6005\times10^7\ \text{m}$ , período $T = 1449\ \text{min} = 86\,940\ \text{s}$ ) se determina la masa de la Tierra.

Dato: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}$ .

¿Qué valor de la masa de la Tierra se obtiene?

A

M \approx 5{,}96 \times 10^{24}\ \text{kg}

B

M \approx 5{,}96 \times 10^{21}\ \text{kg}

C

M \approx 7{,}45 \times 10^{24}\ \text{kg}

D

M \approx 1{,}99 \times 10^{30}\ \text{kg}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$M \approx 5{,}96 \times 10^{24}\ \text{kg}$

Correcto.

M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} = \frac{4\pi^2 (3{,}6005\times10^7)^3}{6{,}67\times10^{-11}\,(86\,940)^2} \approx 5{,}96\times10^{24}\ \text{kg}

.

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

\frac{GMm}{r^2} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}

. La masa del satélite se cancela y se obtiene la tercera ley de Kepler

\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}

, de donde

M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}

. Con los datos de GOES 2 (

r = 3{,}6005\times10^7\ \text{m}

,

T = 86\,940\ \text{s}

):

M \approx 5{,}96\times10^{24}\ \text{kg}

, muy próximo al valor tabulado

5{,}98\times10^{24}\ \text{kg}

.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 4 (b)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 4 (b) — Incertidumbre relativa de la masa de la Tierra

El valor de los libros de texto para la masa de la Tierra es $M_{ref} = 5{,}98 \times 10^{24}\ \text{kg}$ . A partir de los datos orbitales se obtuvo $M_{exp} = 5{,}96 \times 10^{24}\ \text{kg}$ .

¿Cuál es la incertidumbre relativa del valor calculado?

A

\varepsilon_r \approx 0{,}33\ \%

B

\varepsilon_r \approx 3{,}3\ \%

C

\varepsilon_r \approx 0{,}02\ \%

D

\varepsilon_r \approx 2{,}0\ \%

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\varepsilon_r \approx 0{,}33\ \%$

Correcto.

\varepsilon_r = \frac{|M_{exp}-M_{ref}|}{M_{ref}} = \frac{|5{,}96-5{,}98|\times10^{24}}{5{,}98\times10^{24}} = \frac{0{,}02}{5{,}98} \approx 0{,}0033 = 0{,}33\ \%

.

La incertidumbre relativa cuantifica el error respecto al valor de referencia:

\varepsilon_r = \frac{|M_{exp}-M_{ref}|}{M_{ref}}

. La diferencia es

|5{,}96-5{,}98|\times10^{24} = 0{,}02\times10^{24}\ \text{kg}

, y dividida entre

5{,}98\times10^{24}\ \text{kg}

da

\approx 0{,}0033

, es decir,

0{,}33\ \%

. Un error tan pequeño confirma la calidad del método orbital.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 5 (a)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 5 (a) — Punto de fuerza gravitatoria nula Tierra-Sol

Un objeto de $20\ \text{kg}$ se sitúa entre la Tierra y el Sol en el punto donde la fuerza gravitatoria neta es nula.

Datos: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}$ ; $M_T = 5{,}98\times10^{24}\ \text{kg}$ ; $M_S = 2{,}00\times10^{30}\ \text{kg}$ ; distancia Tierra-Sol $= 1{,}50\times10^{11}\ \text{m}$ .

¿A qué distancia del centro de la Tierra está ese punto?

A

d_1 \approx 2{,}59 \times 10^{8}\ \text{m}

B

d_1 \approx 1{,}50 \times 10^{11}\ \text{m}

C

d_1 \approx 7{,}5 \times 10^{10}\ \text{m}

D

d_1 \approx 2{,}59 \times 10^{10}\ \text{m}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$d_1 \approx 2{,}59 \times 10^{8}\ \text{m}$

Correcto. Igualando atracciones,

\frac{M_T}{d_1^2}=\frac{M_S}{d_2^2}

con

d_1+d_2 = 1{,}50\times10^{11}

. Como

d_2/d_1=\sqrt{M_S/M_T}\approx 578{,}5

, resulta

d_1 \approx 2{,}59\times10^8\ \text{m}

.

En el punto de fuerza neta nula, las atracciones de Tierra y Sol se equilibran:

\frac{GM_T m}{d_1^2}=\frac{GM_S m}{d_2^2}

. Cancelando

m

y reordenando:

\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{M_S}{M_T}}=\sqrt{\frac{2{,}00\times10^{30}}{5{,}98\times10^{24}}}\approx 578{,}5

. Con

d_1+d_2=1{,}50\times10^{11}\ \text{m}

:

d_1 = \frac{1{,}50\times10^{11}}{1+578{,}5}\approx 2{,}59\times10^8\ \text{m}

. El punto está muy cerca de la Tierra por ser la masa mucho menor.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 5 (b)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 5 (b) — Aceleración de la Tierra por el objeto

El objeto de $20\ \text{kg}$ está a $d_1 = 2{,}59\times10^8\ \text{m}$ del centro de la Tierra.

Dato: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}$ .

¿Cuál es la aceleración que el objeto produce sobre la Tierra?

A

a \approx 1{,}99 \times 10^{-26}\ \text{m/s}^2

B

a \approx 1{,}99 \times 10^{-25}\ \text{m/s}^2

C

a \approx 5{,}94\ \text{m/s}^2

D

a \approx 3{,}98 \times 10^{-26}\ \text{m/s}^2

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$a \approx 1{,}99 \times 10^{-26}\ \text{m/s}^2$

Correcto.

a = \frac{Gm}{d_1^2} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot 20}{(2{,}59\times10^8)^2} \approx 1{,}99\times10^{-26}\ \text{m/s}^2

.

Por la tercera ley de Newton, el objeto atrae a la Tierra con fuerza

F = \frac{GM_T m}{d_1^2}

. La aceleración que esto produce sobre la Tierra es

a = F/M_T = \frac{Gm}{d_1^2}

, que depende únicamente de la masa del objeto:

a = \frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot 20}{(2{,}59\times10^8)^2} \approx 1{,}99\times10^{-26}\ \text{m/s}^2

. Es minúscula porque la masa del objeto es despreciable frente a la terrestre.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 6 (a)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 6 (a) — Posición de A y valor de Q

Una carga puntual $Q$ está en el origen $(0,0)$ del plano XY. En un punto $A$ del eje X el potencial es $V = -120\ \text{V}$ y el campo eléctrico es $\vec{E} = -80\,\hat{\imath}\ \text{N/C}$ (coordenadas en metros).

Dato: $K = 9 \times 10^9\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}$ .

¿Cuál es la posición de $A$ y el valor de $Q$ ?

A

A(1{,}5;\,0)\ \text{m}

,

Q = -2\times10^{-8}\ \text{C}

B

A(1{,}5;\,0)\ \text{m}

,

Q = +2\times10^{-8}\ \text{C}

C

A(0{,}67;\,0)\ \text{m}

,

Q = -2\times10^{-8}\ \text{C}

D

A(1{,}5;\,0)\ \text{m}

,

Q = -2\times10^{-6}\ \text{C}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$A(1{,}5;\,0)\ \text{m}$ , $Q = -2\times10^{-8}\ \text{C}$

Correcto. De

V=KQ/r

y

|E|=K|Q|/r^2

:

r = |V|/|E| = 120/80 = 1{,}5\ \text{m}

. Entonces

Q = Vr/K = (-120)(1{,}5)/9\times10^9 = -2\times10^{-8}\ \text{C}

. A está en

(1{,}5;\,0)\ \text{m}

.

Para una carga puntual:

V = \frac{KQ}{r}

y

|\vec{E}| = \frac{K|Q|}{r^2}

. El cociente

\frac{|V|}{|E|} = r

, así que

r = \frac{120}{80} = 1{,}5\ \text{m}

, y

A

está en

(1{,}5;\,0)\ \text{m}

. Sustituyendo en el potencial:

Q = \frac{Vr}{K} = \frac{(-120)(1{,}5)}{9\times10^9} = -2\times10^{-8}\ \text{C}

. El signo negativo del potencial confirma que la carga es negativa; el campo

-80\,\hat{\imath}

apunta hacia ella.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 6 (b)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 6 (b) — Trabajo del campo sobre un electrón

Con $Q = -2\times10^{-8}\ \text{C}$ en el origen, $A(1{,}5;\,0)\ \text{m}$ con $V_A = -120\ \text{V}$ , se lleva un electrón desde $B(2,2)\ \text{m}$ hasta $A$ .

Datos: $K = 9\times10^9\ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2}$ ; $|q_e| = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ .

¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza eléctrica del campo?

A

W \approx -9{,}0 \times 10^{-18}\ \text{J}

B

W \approx +9{,}0 \times 10^{-18}\ \text{J}

C

W \approx -9{,}0 \times 10^{-17}\ \text{J}

D

W \approx -1{,}9 \times 10^{-17}\ \text{J}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$W \approx -9{,}0 \times 10^{-18}\ \text{J}$

Correcto.

r_B = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}\ \text{m}

,

V_B = KQ/r_B \approx -63{,}6\ \text{V}

.

W = q(V_B-V_A)

con

q=-1{,}6\times10^{-19}

:

W = (-1{,}6\times10^{-19})(-63{,}6-(-120)) \approx -9{,}0\times10^{-18}\ \text{J}

.

El trabajo de la fuerza del campo al mover una carga es

W = q(V_{inicial}-V_{final}) = q(V_B - V_A)

. La distancia de

B(2,2)

al origen es

r_B=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\ \text{m}

, de modo que

V_B = \frac{KQ}{r_B}=\frac{9\times10^9\cdot(-2\times10^{-8})}{2\sqrt{2}}\approx -63{,}6\ \text{V}

. Con

q=-1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}

:

W = (-1{,}6\times10^{-19})(-63{,}6-(-120)) = (-1{,}6\times10^{-19})(56{,}4) \approx -9{,}0\times10^{-18}\ \text{J}

.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 7Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 7 — Lupa: posición del objeto

Una coleccionista usa una lupa (lente convergente) de distancia focal $f' = 5\ \text{cm}$ para examinar monedas con un aumento de 10 veces (imagen virtual, derecha y mayor, $m = +10$ ).

¿A qué distancia de la lupa debe situar la moneda?

A

|s| = 4{,}5\ \text{cm}

B

|s| = 5\ \text{cm}

C

|s| = 50\ \text{cm}

D

|s| = 0{,}5\ \text{cm}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$|s| = 4{,}5\ \text{cm}$

Correcto. Con

m = s'/s

e imagen virtual (

m=+10

) y la ecuación de la lente, se obtiene

|s| = f'(m-1)/m = 5\,(10-1)/10 = 4{,}5\ \text{cm}

. La moneda va a

4{,}5\ \text{cm}

, dentro de la focal.

Una lupa funciona con el objeto dentro de la focal, formando imagen virtual, derecha y aumentada. Usando el aumento

m=s'/s=+10

y la ecuación de la lente

\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f'}

, al sustituir

s'=ms

se obtiene

|s| = f'\frac{m-1}{m} = 5\cdot\frac{10-1}{10}=4{,}5\ \text{cm}

. La imagen virtual se forma a

|s'|=45\ \text{cm}

del mismo lado que el objeto. La moneda debe colocarse a

4{,}5\ \text{cm}

de la lupa.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (a)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (a) — Radio-226 restante en la actualidad

En 1911 se guardaron $m_0 = 2{,}00\ \text{g}$ de radio-226 ( $T_{1/2} = 1590\ \text{años}$ ). Han transcurrido $t = 2024 - 1911 = 113\ \text{años}$ .

¿Qué cantidad de radio queda en la actualidad?

A

m \approx 1{,}91\ \text{g}

B

m \approx 1{,}00\ \text{g}

C

m \approx 0{,}10\ \text{g}

D

m \approx 1{,}80\ \text{g}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$m \approx 1{,}91\ \text{g}$

Correcto.

m = m_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}} = 2{,}00\,(1/2)^{113/1590} = 2{,}00\cdot 0{,}9524 \approx 1{,}91\ \text{g}

.

La masa de un radioisótopo decae como

m = m_0 e^{-\lambda t} = m_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}

. Con

t = 113\ \text{años}

y

T_{1/2}=1590\ \text{años}

, el exponente es

113/1590 \approx 0{,}071

, y

(1/2)^{0{,}071}\approx 0{,}952

. Por tanto

m = 2{,}00\cdot 0{,}952 \approx 1{,}91\ \text{g}

. Como el tiempo transcurrido es mucho menor que la semivida, apenas se ha desintegrado radio.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (a continuación)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (a continuación) — Actividad de la muestra de radio-226

Para los $2{,}00\ \text{g}$ de radio-226 ( $T_{1/2} = 1590\ \text{años}$ , masa molar $226\ \text{g/mol}$ ).

Datos: $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ ; 1 año $\approx 3{,}156\times10^7\ \text{s}$ .

¿Cuál es la actividad inicial de la muestra?

A

A_0 \approx 7{,}4 \times 10^{10}\ \text{Bq}

B

A_0 \approx 7{,}4 \times 10^{7}\ \text{Bq}

C

A_0 \approx 2{,}3 \times 10^{2}\ \text{Bq}

D

A_0 \approx 3{,}7 \times 10^{10}\ \text{Bq}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$A_0 \approx 7{,}4 \times 10^{10}\ \text{Bq}$

Correcto.

\lambda = \ln 2/T_{1/2} \approx 1{,}38\times10^{-11}\ \text{s}^{-1}

;

N_0 = \frac{2}{226}N_A \approx 5{,}33\times10^{21}

átomos.

A_0 = \lambda N_0 \approx 7{,}4\times10^{10}\ \text{Bq}

.

La actividad es

A = \lambda N

. La constante de desintegración es

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

con la semivida en segundos:

1590\ \text{años}\approx 5{,}02\times10^{10}\ \text{s}

, luego

\lambda \approx 1{,}38\times10^{-11}\ \text{s}^{-1}

. El número de núcleos iniciales es

N_0=\frac{m}{M}N_A=\frac{2{,}00}{226}\cdot 6{,}02\times10^{23}\approx 5{,}33\times10^{21}

átomos. Por tanto

A_0 = \lambda N_0 \approx 7{,}4\times10^{10}\ \text{Bq}

(unas 2 curies, coherente con la definición histórica del curie como la actividad de 1 g de radio).

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (b)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (b) — Tiempo hasta el 1 % del radio-226

Para el radio-226 ( $T_{1/2} = 1590\ \text{años}$ ), ¿cuántos años deben pasar hasta que la muestra se reduzca al 1 % de su valor inicial?

A

t \approx 1{,}06 \times 10^4\ \text{años}

B

t \approx 1590\ \text{años}

C

t \approx 7950\ \text{años}

D

t \approx 1{,}59 \times 10^5\ \text{años}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$t \approx 1{,}06 \times 10^4\ \text{años}$

Correcto.

0{,}01 = (1/2)^{t/T_{1/2}}

, luego

t = T_{1/2}\,\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} = 1590\cdot 6{,}644 \approx 1{,}06\times10^4\ \text{años}

.

Que la muestra quede al 1 % equivale a

\frac{m}{m_0}=0{,}01=(1/2)^{t/T_{1/2}}

. Tomando logaritmos:

t = T_{1/2}\,\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} = T_{1/2}\log_2(100)

. Como

\log_2(100)\approx 6{,}64

, resulta

t = 1590\cdot 6{,}64 \approx 1{,}06\times10^4\ \text{años}

(unos 10 560 años). Hacen falta aproximadamente 6,6 semividas para bajar al 1 %.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.1 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.1 (variante) — Radio de la órbita en campo magnético

Una partícula de masa $m = 7{,}5\times10^{-22}\ \text{kg}$ y carga $q = 5\ \text{nC}$ se mueve con velocidad $v = 8\times10^4\ \text{m/s}$ perpendicular a un campo $B = 0{,}6\ \text{T}$ .

¿Cuál es el radio de su trayectoria circular?

A

r = 2 \times 10^{-6}\ \text{m}

B

r = 2 \times 10^{-3}\ \text{m}

C

r = 4 \times 10^{-6}\ \text{m}

D

r = 0{,}5 \times 10^{-6}\ \text{m}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$r = 2 \times 10^{-6}\ \text{m}$

Correcto.

r = \frac{mv}{qB} = \frac{7{,}5\times10^{-22}\cdot 8\times10^4}{5\times10^{-9}\cdot 0{,}6} = 2\times10^{-6}\ \text{m} = 2\ \mu\text{m}

.

En un campo magnético perpendicular, la fuerza magnética es la centrípeta:

qvB = \frac{mv^2}{r}

, de donde el radio del movimiento circular es

r = \frac{mv}{qB} = \frac{(7{,}5\times10^{-22})(8\times10^4)}{(5\times10^{-9})(0{,}6)} = 2\times10^{-6}\ \text{m} = 2\ \mu\text{m}

. A mayor masa o velocidad, mayor radio; a mayor carga o campo, menor radio.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.2 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 1.2 (variante) — Superficie equipotencial y campo

Sobre una superficie equipotencial (potencial constante en todos sus puntos), la componente del campo eléctrico tangente a la superficie:

AEs distinta de cero y constante

BEs nula (el campo es perpendicular a la equipotencial)

CDepende del punto considerado

DEs paralela a la superficie

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

Es nula (el campo es perpendicular a la equipotencial)

Correcto. El campo es siempre perpendicular a las equipotenciales; su componente tangente a la superficie es nula. Solo existe componente normal.

Una superficie equipotencial tiene el mismo potencial en todos sus puntos, así que el trabajo al desplazar una carga sobre ella es nulo (

W=q\Delta V=0

). Esto exige que el campo no tenga componente tangente a la superficie:

\vec{E}=-\nabla V

apunta en la dirección de máxima variación de

V

y, por tanto, es perpendicular a las equipotenciales. Solo existe componente normal del campo.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.1 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.1 (variante) — Onda que pasa de un medio a otro

Una onda pasa del aire al agua. ¿Qué magnitud(es) cambia(n) en la transición?

ASolo la frecuencia

BSolo la frecuencia y la longitud de onda

CLa velocidad y la longitud de onda; la frecuencia se conserva

DLa velocidad, la longitud de onda y la frecuencia

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

La velocidad y la longitud de onda; la frecuencia se conserva

Correcto. Al cambiar de medio cambian la velocidad y la longitud de onda (

v=\lambda f

), pero la frecuencia se conserva.

Al pasar de un medio a otro, la frecuencia de la onda se conserva porque la impone la fuente. La velocidad cambia (depende del medio) y, como

v=\lambda f

con

f

constante, la longitud de onda también cambia:

\lambda = v/f

. Por eso una onda que entra en un medio más lento se "comprime" (menor

\lambda

) sin alterar su frecuencia.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.2 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 2.2 (variante) — Longitud de un péndulo para duplicar el período

El período de un péndulo simple es $T = 1\ \text{s}$ . ¿Por qué factor hay que multiplicar su longitud para que el período se duplique?

APor 2

BPor

\sqrt{2}

CPor 4

DPor 8

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

Por 4

Correcto. Como

T\propto\sqrt{L}

, para duplicar

T

hay que multiplicar

L

por

2^2 = 4

.

Como

T = 2\pi\sqrt{L/g}

, se cumple

T\propto\sqrt{L}

. Para que el período se duplique,

\frac{T_{nuevo}}{T}=\sqrt{\frac{L_{nueva}}{L}}=2

, y elevando al cuadrado

\frac{L_{nueva}}{L}=4

. Hay que multiplicar la longitud por 4. Esta relación cuadrática es la inversa de la del ejercicio donde duplicar la longitud solo multiplicaba el período por

\sqrt{2}

.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.1 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.1 (variante) — Frecuencia de una radiación dada su longitud de onda

Una luz tiene longitud de onda $\lambda = 187{,}5\ \text{nm}$ .

Dato: $c = 3{,}0\times10^8\ \text{m/s}$ .

¿Cuál es su frecuencia?

A

f = 1{,}6 \times 10^{15}\ \text{Hz}

B

f = 1{,}6 \times 10^{12}\ \text{Hz}

C

f = 5{,}6 \times 10^{-16}\ \text{Hz}

D

f = 1{,}9 \times 10^{15}\ \text{Hz}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$f = 1{,}6 \times 10^{15}\ \text{Hz}$

Correcto.

f = c/\lambda = \frac{3\times10^8}{187{,}5\times10^{-9}} = 1{,}6\times10^{15}\ \text{Hz}

.

La relación

c=\lambda f

permite hallar la frecuencia:

f=\frac{c}{\lambda}=\frac{3{,}0\times10^8}{187{,}5\times10^{-9}}=1{,}6\times10^{15}\ \text{Hz}

. Esta frecuencia coincide con la del primer apartado del problema 3, lo que explica que el potencial de frenado no cambie. Es fundamental expresar la longitud de onda en metros antes de operar.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.2 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 3.2 (variante) — Factor de Lorentz a $0{,}866\,c$

Una nave viaja a $v = 0{,}866\,c$ . ¿Cuál es el factor de Lorentz $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ ?

A

\gamma = 2

B

\gamma = 1

C

\gamma = 0{,}5

D

\gamma = 1{,}15

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\gamma = 2$

Correcto.

v^2/c^2 = 0{,}866^2 = 0{,}75

,

\sqrt{1-0{,}75}=0{,}5

, luego

\gamma = 1/0{,}5 = 2

.

El factor de Lorentz es

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

. Con

v=0{,}866c

:

v^2/c^2=0{,}866^2=0{,}75

, de modo que

\sqrt{1-0{,}75}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5

y

\gamma=1/0{,}5=2

. Un factor

\gamma=2

significa que las longitudes se contraen a la mitad y los tiempos se dilatan al doble: por eso la longitud propia de la nave (

200\ \text{m}

) se ve contraída a

100\ \text{m}

desde la Tierra.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 5 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 5 (variante) — Distancia del punto neutro al Sol

En el problema del objeto entre la Tierra y el Sol, el punto de fuerza nula está a $d_1 = 2{,}59\times10^8\ \text{m}$ del centro de la Tierra, siendo la distancia Tierra-Sol $1{,}50\times10^{11}\ \text{m}$ .

¿A qué distancia $d_2$ está ese punto del centro del Sol?

A

d_2 \approx 1{,}497 \times 10^{11}\ \text{m}

B

d_2 \approx 2{,}59 \times 10^{8}\ \text{m}

C

d_2 \approx 7{,}5 \times 10^{10}\ \text{m}

D

d_2 \approx 1{,}50 \times 10^{11}\ \text{m}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$d_2 \approx 1{,}497 \times 10^{11}\ \text{m}$

Correcto.

d_2 = 1{,}50\times10^{11} - 2{,}59\times10^8 \approx 1{,}497\times10^{11}\ \text{m}

: casi toda la distancia, pues el punto neutro queda muy cerca de la Tierra.

El punto de fuerza neta nula está sobre el segmento Tierra-Sol, así que

d_1 + d_2 = 1{,}50\times10^{11}\ \text{m}

. Como

d_1 = 2{,}59\times10^8\ \text{m}

:

d_2 = 1{,}50\times10^{11} - 2{,}59\times10^8 \approx 1{,}497\times10^{11}\ \text{m}

. El punto neutro queda muy cerca de la Tierra porque su masa es mucho menor que la del Sol: la atracción solar se compensa solo muy cerca de la masa pequeña.

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ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (variante)Dificultad 3/5

ABAU Galicia 2024 — Pregunta 8 (variante) — Constante de desintegración del radio-226

El radio-226 tiene una semivida $T_{1/2} = 1590\ \text{años}$ .

¿Cuál es su constante de desintegración $\lambda$ (en años $^{-1}$ )?

A

\lambda \approx 4{,}36 \times 10^{-4}\ \text{años}^{-1}

B

\lambda \approx 1{,}59 \times 10^{3}\ \text{años}^{-1}

C

\lambda \approx 0{,}693\ \text{años}^{-1}

D

\lambda \approx 4{,}36 \times 10^{-2}\ \text{años}^{-1}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\lambda \approx 4{,}36 \times 10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

Correcto.

\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{1590} \approx 4{,}36\times10^{-4}\ \text{años}^{-1}

.

La constante de desintegración se obtiene de la semivida mediante

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

. Con

T_{1/2}=1590\ \text{años}

y

\ln 2 \approx 0{,}693

:

\lambda = \frac{0{,}693}{1590} \approx 4{,}36\times10^{-4}\ \text{años}^{-1}

. Para expresarla en

\text{s}^{-1}

(necesario para la actividad en becquerelios) hay que convertir antes la semivida a segundos.

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