PAU ValenciaConvocatoria ordinaria

Matemáticas PAU Valencia 2024

Matemáticas II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 problemas de los 8 propuestos (10 pts c/u)

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

PAU VAL 2024 — Problema 1Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 1 — Discusión de un sistema según un parámetro

Se considera el sistema que depende del parámetro real $m$ : $\begin{cases} -x + y + z = m \\ 2x + my - z = 3m \\ (m-1)x + 3y - z = 6 + m \end{cases}$

El determinante de la matriz de coeficientes vale $\det(A) = (m-2)(m+1)$ (factorizado).

¿Para qué valores de $m$ el sistema NO es compatible determinado (es decir, $\det(A) = 0$ )?

m = 2

m = -1

m = 2

m = 1

m = -2

m = 1

DSolo

m = 2

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$m = 2$ y $m = -1$

Correcto.

\det(A) = 0 \Leftrightarrow (m-2)(m+1) = 0 \Leftrightarrow m = 2

m = -1

. Para esos dos valores el sistema deja de ser compatible determinado.

Por el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es compatible determinado (solución única) si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Para discutir los casos especiales (compatible indeterminado o incompatible) hay que estudiar los valores que anulan ese determinante:

\det(A) = (m-2)(m+1) = 0

. Un producto es nulo cuando alguno de los factores lo es, así que

m = 2

m = -1

. Para cualquier otro valor de

m

el sistema es compatible determinado.

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PAU VAL 2024 — Problema 2Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 2 — Potencia de una matriz

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ (caso $m = 0$ del enunciado original).

Se comprueba que $A^3 = A^2$ y, en general, $A^n = A^2$ para $n \geq 2$ . ¿Cuánto vale $A^5$ ?

A^5 = A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

A^5 = A

A^5 = I

(identidad)

A^5 = 0

(matriz nula)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$A^5 = A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Correcto.

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

y, como

A^n = A^2

para

n \geq 2

, se cumple

A^5 = A^2

Para calcular potencias altas de una matriz conviene buscar un patrón. Calculando

A^2

se obtiene una matriz con un único elemento no nulo en la posición

(1,1)

. Al multiplicar de nuevo,

A^3 = A^2\cdot A = A^2

: las potencias se estabilizan a partir de

n = 2

. Por inducción,

A^n = A^2

para todo

n \geq 2

, de modo que

A^5 = A^2

. Detectar este tipo de regularidad evita multiplicar la matriz cinco veces.

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PAU VAL 2024 — Problema 3Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 3 — Recta paralela a un plano

Se considera la recta $r$ de vector director $\vec{v} = (2, 3, -1)$ y el plano $\pi: 3x - my + z = 1$ , de vector normal $\vec{n} = (3, -m, 1)$ .

¿Para qué valor de $m$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ (es decir, $\vec{v}\cdot\vec{n} = 0$ )?

m = \dfrac{5}{3}

m = -\dfrac{5}{3}

m = 3

m = 5

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$m = \dfrac{5}{3}$

Correcto.

\vec{v}\cdot\vec{n} = 2\cdot3 + 3\cdot(-m) + (-1)\cdot1 = 6 - 3m - 1 = 5 - 3m = 0 \Rightarrow m = \dfrac{5}{3}

Una recta es paralela a un plano cuando está contenida en él o no lo corta; en ambos casos el vector director de la recta

\vec{v}

es perpendicular al vector normal del plano

\vec{n}

, lo que equivale a que su producto escalar sea nulo. Con

\vec{v} = (2, 3, -1)

\vec{n} = (3, -m, 1)

\vec{v}\cdot\vec{n} = 6 - 3m - 1 = 5 - 3m

. Igualando a cero,

m = \dfrac{5}{3}

. (Para distinguir si la recta está contenida en el plano o es estrictamente paralela habría que comprobar si un punto de

r

verifica la ecuación de

\pi

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PAU VAL 2024 — Problema 4Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 4 — Longitud del lado de un cuadrado

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en $P = (2, 1, 3)$ y $Q = (1, 3, 1)$ .

¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado (la distancia $|PQ|$ )?

|PQ| = 3

|PQ| = 9

|PQ| = \sqrt{5}

|PQ| = 5

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$|PQ| = 3$

Correcto.

\vec{PQ} = Q - P = (-1, 2, -2)

, así

|PQ| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3

El lado de un cuadrado es la distancia entre dos de sus vértices consecutivos. El vector que une

P

Q

\vec{PQ} = Q - P = (1-2,\ 3-1,\ 1-3) = (-1, 2, -2)

, y su longitud (módulo) es

|PQ| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

. Este dato es el punto de partida del problema completo, en el que después se hallan la recta soporte del lado opuesto y los otros dos vértices.

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PAU VAL 2024 — Problema 5Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 5 — Asíntota horizontal de $f(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}}$

Sea la función $f(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}} = kx\,e^{-2x}$ , con $k$ un parámetro real no nulo.

¿Cuál es la asíntota horizontal de $f(x)$ cuando $x \to +\infty$ ?

y = 0

y = k

CNo tiene (tiende a

+\infty

)

y = 2

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$y = 0$

Correcto.

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{kx}{e^{2x}} = 0

(la exponencial crece mucho más rápido que el polinomio). La asíntota horizontal es

y = 0

Para hallar la asíntota horizontal cuando

x \to +\infty

se calcula

\lim_{x\to+\infty} f(x)

. En

f(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}}

, el numerador crece como un polinomio de grado 1, mientras que el denominador

e^{2x}

crece exponencialmente; las exponenciales dominan a cualquier polinomio, de modo que el cociente tiende a 0 (puede confirmarse con la regla de L'Hôpital:

\lim \dfrac{k}{2e^{2x}} = 0

). Por tanto la recta

y = 0

es asíntota horizontal por la derecha. (Por la izquierda,

x\to-\infty

, la función tiende a

\pm\infty

según el signo de

k

, sin asíntota horizontal.)

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PAU VAL 2024 — Problema 6Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 6 — Área entre dos curvas

Sea el rectángulo $R$ de vértices $(-1,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ , $(-1,1)$ , de área $2$ .

Se considera el área bajo la recta $g(x) = a$ (con $0 < a < 1$ ) entre $x = -1$ y $x = 1$ , dentro de $R$ . ¿Cuál es esa área $\displaystyle\int_{-1}^{1} a\,dx$ en función de $a$ ?

2a

a

a^2

4a

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Respuesta correcta — opción A

$2a$

Correcto.

\displaystyle\int_{-1}^{1} a\,dx = a\cdot[x]_{-1}^{1} = a\cdot(1-(-1)) = 2a

El área bajo la recta horizontal

g(x) = a

entre

x = -1

x = 1

\displaystyle\int_{-1}^{1} a\,dx = a\,[x]_{-1}^{1} = a\,(1 - (-1)) = 2a

. Geométricamente es el rectángulo de base

2

(longitud del intervalo) y altura

a

. Este valor es un paso del problema completo, donde se impone que el área comprendida entre

g(x) = a

f(x) = x^2

sea un tercio del área del rectángulo

R

(que vale

2

), lo que conduce a una ecuación en

a

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PAU VAL 2024 — Problema 7Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 7 — Probabilidad con dos monedas

Una bolsa contiene dos monedas: $M_1$ (trucada, $P(\text{cara}) = 0{,}6$ ) y $M_2$ (con cara en ambos lados, $P(\text{cara}) = 1$ ). Se elige una moneda al azar (probabilidad $\tfrac{1}{2}$ cada una) y se lanza una vez.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ese lanzamiento?

P(\text{cara}) = 0{,}8

P(\text{cara}) = 0{,}6

P(\text{cara}) = 0{,}5

P(\text{cara}) = 1{,}6

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P(\text{cara}) = 0{,}8$

Correcto. Por la probabilidad total:

P(\text{cara}) = \tfrac{1}{2}\cdot0{,}6 + \tfrac{1}{2}\cdot1 = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8

Como la moneda se elige al azar, hay que aplicar el teorema de la probabilidad total condicionando según cuál sale:

P(\text{cara}) = P(M_1)\,P(\text{cara}\mid M_1) + P(M_2)\,P(\text{cara}\mid M_2)

. Con

P(M_1) = P(M_2) = \tfrac{1}{2}

P(\text{cara}\mid M_1) = 0{,}6

P(\text{cara}\mid M_2) = 1

(las dos caras):

P(\text{cara}) = \tfrac{1}{2}\cdot0{,}6 + \tfrac{1}{2}\cdot1 = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8

. Este resultado es la base para los apartados de Bayes del problema (probabilidad de que fuera

M_1

dado que salió cara).

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PAU VAL 2024 — Problema 8Dificultad 3/5

PAU VAL 2024 — Problema 8 — Distribución binomial (ventas)

Un comercial no consigue venta en el $30\%$ de sus llamadas, así que la probabilidad de éxito (venta) en cada llamada es $p = 0{,}7$ . Realiza $n = 10$ llamadas. Sea $X$ el número de ventas, $X \sim B(10,\ 0{,}7)$ .

¿Cuál es la probabilidad de conseguir más de 7 ventas, $P(X > 7) = P(X \geq 8)$ ?

Dato (tabla acumulada, $p = 0{,}3$ ): $P(Y \leq 2) = 0{,}3828$ con $Y \sim B(10,\ 0{,}3)$ .

P(X > 7) \approx 0{,}3828

P(X > 7) \approx 0{,}6172

P(X > 7) = 0{,}2

P(X > 7) = 0{,}7

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P(X > 7) \approx 0{,}3828$

Correcto.

P(X \geq 8) = P(Y \leq 2)

con

Y = 10 - X \sim B(10,\ 0{,}3)

(número de fracasos). De la tabla,

P(Y \leq 2) = 0{,}3828

El número de ventas sigue una binomial

X \sim B(10,\ 0{,}7)

, ya que cada llamada es independiente con probabilidad de éxito

p = 0{,}7

. "Conseguir más de 7 ventas" equivale a

X \geq 8

. Para usar la tabla (dada en

p = 0{,}3

) se trabaja con el número de fracasos

Y = 10 - X \sim B(10,\ 0{,}3)

: tener al menos 8 ventas equivale a tener como mucho 2 fracasos,

P(X \geq 8) = P(Y \leq 2)

. De la tabla acumulada,

P(Y \leq 2) = 0{,}3828

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