EBAU ExtremaduraConvocatoria ordinaria

Matemáticas EBAU Extremadura 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Elige 5 de 10 preguntas (2 puntos cada una)

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 1aDificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 1a — Condición de matriz invertible

Sea $b\in\mathbb{R}$ y la matriz

$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & b+1 \\ b+2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}$

cuyo determinante es $\det(A) = -b^2 + 1$ .

¿Para qué valores de $b$ tiene $A$ inversa?

APara todo

b \neq -1

b \neq 1

BSolo para

b = -1

b = 1

CPara ningún valor de

b

DSolo para

b = 0

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Para todo $b \neq -1$ y $b \neq 1$

Correcto.

A

tiene inversa si

\det(A)\neq 0

. Como

\det(A) = -b^2+1 = 0 \Leftrightarrow b = \pm 1

, hay inversa para todo

b \neq -1

b \neq 1

Una matriz cuadrada

A

admite inversa si y solo si es regular, es decir,

\det(A) \neq 0

. Con

\det(A) = -b^2 + 1

, la matriz es singular cuando

-b^2 + 1 = 0

, esto es

b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1

. Por tanto

A

tiene inversa para cualquier valor real

b

distinto de

-1

y de

1

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4bDificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4b — Ángulo entre vectores

Dados los puntos $A(1, 2, 1)$ , $B(0, 3, 1)$ y $C(1, 0, -1)$ , considera los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ .

¿Cuál es el ángulo que forman $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ ?

\theta = 120°

\theta = 60°

\theta = 90°

\theta = 45°

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\theta = 120°$

Correcto.

\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)

\overrightarrow{AC}=(0,-2,-2)

\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} = \dfrac{-2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}} = \dfrac{-2}{4} = -0{,}5

, luego

\theta = 120°

Los vectores son

\overrightarrow{AB} = B-A = (-1,1,0)

\overrightarrow{AC} = C-A = (0,-2,-2)

. El producto escalar es

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0 - 2 + 0 = -2

. Los módulos:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}

|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{0+4+4} = \sqrt{8}

. Entonces

\cos\theta = \dfrac{-2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}} = \dfrac{-2}{4} = -0{,}5

, de donde

\theta = 120°

. El ángulo es obtuso porque el producto escalar es negativo.

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4cDificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4c — Área de un triángulo en el espacio

Dados los puntos $A(1, 2, 1)$ , $B(0, 3, 1)$ y $C(1, 0, -1)$ , con $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$ y $\overrightarrow{AC}=(0,-2,-2)$ .

¿Cuál es el área del triángulo $ABC$ ?

AÁrea

= \sqrt{3} \approx 1{,}73

BÁrea

= 2\sqrt{3} \approx 3{,}46

CÁrea

= \dfrac{\sqrt{12}}{4} \approx 0{,}87

DÁrea

= 3

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Área $= \sqrt{3} \approx 1{,}73$

Correcto.

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-2,-2,2)

|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

. Área

= \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3} \approx 1{,}73

El área del triángulo determinado por

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|

. El producto vectorial es

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-1,1,0)\times(0,-2,-2) = (1\cdot(-2)-0\cdot(-2),\ 0\cdot0-(-1)(-2),\ (-1)(-2)-1\cdot0) = (-2,-2,2)

. Su módulo es

\sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

. El área es

\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1{,}73

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 5Dificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 5 — Extremos de una función

Halla los puntos extremos de la función

$f(x) = x^2\,e^{-x}.$

¿Cuáles son los puntos críticos y su naturaleza?

AMínimo en

x=0

, máximo en

x=2

BMáximo en

x=0

, mínimo en

x=2

CÚnico extremo en

x=1

DNo tiene extremos (es monótona)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Mínimo en $x=0$ , máximo en $x=2$

Correcto.

f'(x) = e^{-x}(2x - x^2) = x e^{-x}(2-x)

. Se anula en

x=0

x=2

. En

x=0

hay mínimo (

f=0

) y en

x=2

máximo (

f=4e^{-2}\approx0{,}54

Derivando con la regla del producto:

f'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x\,e^{-x}(2 - x)

. Como

e^{-x} > 0

para todo

x

, los puntos críticos son las raíces de

x(2-x)=0

, es decir

x=0

x=2

. Estudiando el signo de

f'

: para

x<0

f'<0

(decrece); entre

0

2

f'>0

(crece); para

x>2

f'<0

(decrece). Por tanto en

x=0

hay un mínimo (con

f(0)=0

) y en

x=2

un máximo (con

f(2)=4e^{-2}\approx0{,}54

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 6Dificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 6 — Continuidad de una función a trozos

Calcula el valor de $a$ para que la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(x) - x\,e^{x}}{x^2 - 2\cos(x) + 2} & \text{si } x \neq 0 \\[2mm] a & \text{si } x = 0 \end{cases}$

sea continua en $x = 0$ .

a = -1

a = 0

a = 1

DNo existe ningún

a

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$a = -1$

Correcto.

a

debe valer

\lim_{x\to0} f(x)

. Aplicando L'Hôpital (indeterminación

0/0

) dos veces se obtiene el límite

a = -1

Para que

f

sea continua en

x=0

debe ser

a = \lim_{x\to0} f(x)

. Sustituyendo, el numerador

\sin x - x e^x \to 0

y el denominador

x^2 - 2\cos x + 2 \to 0 - 2 + 2 = 0

: indeterminación

0/0

. Aplicando la regla de L'Hôpital (derivando numerador y denominador, con dos pasos por persistir la indeterminación) el límite resulta

-1

. Por tanto, la función es continua en

x=0

a = -1

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 8Dificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 8 — Área entre dos curvas

Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = x^3 - 5x$ y $g(x) = -x$ .

¿En qué puntos se cortan las dos curvas?

x = -2,\ 0,\ 2

x = 0,\ 5

x = -2,\ 2

x = \pm\sqrt{5}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$x = -2,\ 0,\ 2$

Correcto.

f(x)=g(x) \Rightarrow x^3 - 5x = -x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x^2-4)=0

, así

x = -2,\ 0,\ 2

Los puntos de corte entre

f(x) = x^3 - 5x

g(x) = -x

se obtienen igualando:

x^3 - 5x = -x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) = 0

, con soluciones

x = -2,\ 0,\ 2

. El área encerrada se calcula integrando el valor absoluto de la diferencia

f-g

en cada subintervalo

[-2,0]

[0,2]

por separado, ya que la curva que queda por encima cambia en

x=0

. El resultado del área es

8

unidades cuadradas.

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 9aDificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 9a — Probabilidad de la intersección

En una residencia, el $80\%$ de los residentes tiene correo electrónico ( $P(E)=0{,}8$ ), el $60\%$ tiene redes sociales ( $P(R)=0{,}6$ ) y el $10\%$ no tiene ninguna de las dos cosas.

¿Cuál es la probabilidad de que un residente use correo electrónico Y redes sociales ( $P(E\cap R)$ )?

P(E\cap R) = 0{,}5

P(E\cap R) = 0{,}48

P(E\cap R) = 0{,}40

P(E\cap R) = 0{,}90

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P(E\cap R) = 0{,}5$

Correcto.

P(E\cup R) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90

. Por inclusión-exclusión,

P(E\cap R) = P(E)+P(R)-P(E\cup R) = 0{,}8+0{,}6-0{,}9 = 0{,}5

Que el

10\%

no tenga ninguna de las dos cosas significa que la probabilidad de tener al menos una es

P(E\cup R) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90

. Por la fórmula de inclusión-exclusión,

P(E\cup R) = P(E) + P(R) - P(E\cap R)

, de donde

P(E\cap R) = P(E) + P(R) - P(E\cup R) = 0{,}8 + 0{,}6 - 0{,}9 = 0{,}5

. No se puede usar el producto

P(E)\cdot P(R) = 0{,}48

porque los sucesos no son independientes.

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 10bDificultad 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 10b — Media y desviación típica de una binomial

Luis llega tarde a clase con probabilidad $0{,}5$ cada día, de forma independiente. Se cuenta el número de días que llega tarde en los próximos $10$ días, que sigue una distribución binomial $B(n=10,\ p=0{,}5)$ .

¿Cuáles son la media y la desviación típica de esta distribución?

\mu = 5

\sigma \approx 1{,}58

\mu = 5

\sigma = 2{,}5

\mu = 10

\sigma \approx 1{,}58

\mu = 5

\sigma \approx 2{,}24

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\mu = 5$ , $\sigma \approx 1{,}58$

Correcto. Media

\mu = np = 10\cdot0{,}5 = 5

; desviación típica

\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{10\cdot0{,}5\cdot0{,}5} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58

La variable "número de días que llega tarde en 10 días" sigue una binomial

B(n=10, p=0{,}5)

. La media es

\mu = np = 10\cdot0{,}5 = 5

días. La varianza es

\sigma^2 = np(1-p) = 10\cdot0{,}5\cdot0{,}5 = 2{,}5

, y la desviación típica

\sigma = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58

días. Es importante no confundir la varianza (

2{,}5

) con la desviación típica (

1{,}58

), que es su raíz cuadrada.

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