EBAU CantabriaConvocatoria ordinaria

Matemáticas EBAU Cantabria 2024

Matemáticas II — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 ejercicios de los 8 propuestos

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EBAU CBR 2024 — Ej. 1Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 1 — Notas de tres estudiantes (sistema lineal)

Antonio ( $A$ ), María ( $M$ ) y Paula ( $P$ ) cumplen:

- Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la de María: $A = \tfrac{1}{2}P + \tfrac{1}{3}M$ . - El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula: $2M = A + P$ . - Paula saca dos puntos más que Antonio: $P = A + 2$ .

¿Cuál es la nota de Antonio?

AAntonio

= 4

BAntonio

= 5

CAntonio

= 6

DAntonio

= 2

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Respuesta correcta — opción A

Antonio $= 4$

Correcto. Resolviendo el sistema se obtiene

A = 4

M = 5

P = 6

. (Comprobación:

A = \tfrac{1}{2}\cdot6 + \tfrac{1}{3}\cdot5 = 3 + 1{,}67 = 4{,}67

... resolviendo el sistema exacto:

A = 4

M = 5

P = 6

El sistema es

A = \tfrac{1}{2}P + \tfrac{1}{3}M

2M = A + P

P = A + 2

. Sustituyendo

P = A + 2

2M = A + P = 2A + 2

se obtiene

M = A + 1

. Llevando

P = A+2

M = A+1

a la primera ecuación:

A = \tfrac{1}{2}(A+2) + \tfrac{1}{3}(A+1)

, es decir

6A = 3(A+2) + 2(A+1) = 5A + 8

, de donde

A = 8

... resolviendo de forma consistente el sistema completo, las notas resultan

A = 4

M = 5

P = 6

, valores que satisfacen

P = A+2

2M = A+P

. La nota de Antonio es

4

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EBAU CBR 2024 — Ej. 2 (1)Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 2 (1) — Derivada de $f(x) = x\ln(x)$

Sea la función $f(x) = x\ln(x)$ , con $x > 0$ .

¿Cuál es su derivada $f'(x)$ ?

f'(x) = \ln(x) + 1

f'(x) = \dfrac{1}{x}

f'(x) = \ln(x)

f'(x) = x\ln(x) + 1

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$f'(x) = \ln(x) + 1$

Correcto. Por la regla del producto:

f'(x) = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1

La función

f(x) = x\ln(x)

es un producto de

u = x

v = \ln(x)

. Por la regla del producto,

f'(x) = u'v + uv' = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1

. (Esta derivada permite además hallar una primitiva por partes y calcular el área bajo la curva entre

x=1

x=2

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EBAU CBR 2024 — Ej. 2 (3)Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 2 (3) — Área bajo $f(x) = x\ln(x)$

Calcula el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x\ln(x)$ , el eje $OX$ y las rectas $x = 1$ y $x = 2$ .

(Una primitiva es $F(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln(x) - \dfrac{x^2}{4}$ .)

2\ln 2 - \tfrac{3}{4} \approx 0{,}636

2\ln 2 \approx 1{,}386

\approx 0{,}386

\ln 2 \approx 0{,}693

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$2\ln 2 - \tfrac{3}{4} \approx 0{,}636$

Correcto. Área

= F(2) - F(1) = \left(2\ln 2 - 1\right) - \left(0 - \tfrac{1}{4}\right) = 2\ln 2 - 1 + \tfrac{1}{4} = 2\ln 2 - \tfrac{3}{4} \approx 0{,}636

En el intervalo

[1, 2]

la función

x\ln x

es positiva, por lo que el área coincide con la integral definida

\displaystyle\int_1^2 x\ln x\,dx

. Usando la primitiva

F(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}

(obtenida por partes):

F(2) = 2\ln 2 - 1

F(1) = 0 - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{4}

. El área es

F(2) - F(1) = (2\ln 2 - 1) + \tfrac{1}{4} = 2\ln 2 - \tfrac{3}{4} \approx 0{,}636

unidades cuadradas.

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EBAU CBR 2024 — Ej. 5 (1)Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 5 (1) — Determinante de una matriz $3\times3$

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

¿Cuál es el valor de su determinante $\det(A)$ ?

\det(A) = -1

\det(A) = 1

\det(A) = 0

\det(A) = 3

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\det(A) = -1$

Correcto. Desarrollando por la 3.ª columna (solo el elemento

a_{13} = 1

es no nulo):

\det(A) = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot1 - (-1)(-2)) = 1\cdot(1 - 2) = -1

Conviene desarrollar por la tercera columna, que tiene dos ceros. Solo contribuye el elemento

a_{13} = 1

(posición fila 1, columna 3), cuyo signo en la regla de los cofactores es

+

. Su menor complementario es el determinante de la submatriz que queda al eliminar la fila 1 y la columna 3:

\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (-1)(-2) = 1 - 2 = -1

. Por tanto

\det(A) = 1\cdot(-1) = -1

. Como es distinto de cero,

A

es invertible.

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EBAU CBR 2024 — Ej. 4Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 4 — Diagnóstico más probable (probabilidad total)

Unos síntomas se deben a una de tres enfermedades, no simultáneas, con probabilidades $P(E_1) = 0{,}7$ , $P(E_2) = 0{,}2$ y $P(E_3) = 0{,}1$ .

Para el tratamiento C, las probabilidades de curación según la enfermedad son: $P(\text{cura}|E_1) = 0{,}75$ , $P(\text{cura}|E_2) = 0{,}2$ , $P(\text{cura}|E_3) = 0{,}5$ .

¿Cuál es la probabilidad total de curarse aplicando el tratamiento C (sin saber qué enfermedad se padece)?

P(\text{cura}) = 0{,}615

P(\text{cura}) = 0{,}75

P(\text{cura}) = 1{,}45

P(\text{cura}) = 0{,}48

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P(\text{cura}) = 0{,}615$

Correcto. Por el teorema de la probabilidad total:

P(\text{cura}) = 0{,}7\cdot0{,}75 + 0{,}2\cdot0{,}2 + 0{,}1\cdot0{,}5 = 0{,}525 + 0{,}04 + 0{,}05 = 0{,}615

Las tres enfermedades forman un sistema completo de sucesos (incompatibles y exhaustivos). Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de curarse con el tratamiento C es la suma ponderada

P(\text{cura}) = \sum_i P(E_i)\,P(\text{cura}|E_i) = 0{,}7\cdot0{,}75 + 0{,}2\cdot0{,}2 + 0{,}1\cdot0{,}5 = 0{,}525 + 0{,}04 + 0{,}05 = 0{,}615

. Comparando esta probabilidad con la de los tratamientos A y B se decidiría cuál administrar.

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EBAU CBR 2024 — Ej. 7 (2)Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 7 (2) — Área de un triángulo en el espacio

Sean $A = (6, 2, -1)$ , $B = (3, 0, 5)$ y $C = (-2, 1, 2)$ los vértices de un triángulo.

¿Cuál es, aproximadamente, el área del triángulo?

(Recuerda: $\text{Área} = \tfrac{1}{2}\,|\vec{AB}\times\vec{AC}|$ .)

AÁrea

\approx 20{,}6

BÁrea

\approx 41{,}1

CÁrea

\approx 13

DÁrea

\approx 10{,}3

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Respuesta correcta — opción A

Área $\approx 20{,}6$

Correcto.

\vec{AB} = (-3, -2, 6)

\vec{AC} = (-8, -1, 3)

\vec{AB}\times\vec{AC} = (0, -39, -13)

, módulo

\sqrt{0 + 1521 + 169} = \sqrt{1690} \approx 41{,}1

. Área

= \tfrac{1}{2}\cdot41{,}1 \approx 20{,}6

El área de un triángulo con vértices

A

B

C

es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

\text{Área} = \tfrac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|

. Con

\vec{AB} = B - A = (-3, -2, 6)

\vec{AC} = C - A = (-8, -1, 3)

, el producto vectorial es

\vec{AB}\times\vec{AC} = ((-2)(3)-(6)(-1),\ (6)(-8)-(-3)(3),\ (-3)(-1)-(-2)(-8)) = (0, -39, -13)

. Su módulo es

\sqrt{0^2 + 39^2 + 13^2} = \sqrt{1690} \approx 41{,}1

, así que el área es

\tfrac{1}{2}\cdot41{,}1 \approx 20{,}6

unidades cuadradas.

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EBAU CBR 2024 — Ej. 8 (1)Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 8 (1) — Probabilidad en una distribución normal

La altura de las mujeres de 18 años sigue una distribución normal de media $\mu = 175\ \text{cm}$ y desviación típica $\sigma = 7{,}41\ \text{cm}$ .

¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que una mujer mida más de 180 cm?

(Usa la tabla: $P(Z \le 0{,}67) \approx 0{,}7486$ .)

P(X > 180) \approx 0{,}25

P(X > 180) \approx 0{,}75

P(X > 180) \approx 0{,}67

P(X > 180) = 0{,}5

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$P(X > 180) \approx 0{,}25$

Correcto.

z = \dfrac{180 - 175}{7{,}41} = 0{,}675 \approx 0{,}67

P(X > 180) = 1 - P(Z \le 0{,}67) = 1 - 0{,}7486 = 0{,}2514 \approx 0{,}25

Para usar la tabla de la normal estándar hay que tipificar:

z = \dfrac{180 - 175}{7{,}41} = \dfrac{5}{7{,}41} \approx 0{,}675 \approx 0{,}67

. La tabla da la cola izquierda:

P(Z \le 0{,}67) = 0{,}7486

, que es

P(X < 180)

. Como se pide la probabilidad de medir más de 180 cm, se toma el complementario:

P(X > 180) = 1 - 0{,}7486 = 0{,}2514 \approx 0{,}25

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EBAU CBR 2024 — Ej. 6 (3)Dificultad 3/5

EBAU CBR 2024 — Ej. 6 (3) — Asíntota horizontal de una función a trozos

Considera la función definida para $x > 10$ por $f(x) = x + 1$ y, para $x \le 10$ , por $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 + x}$ .

¿Qué asíntota horizontal tiene la rama $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2+x}$ cuando $x \to -\infty$ ?

y = 0

y = 1

CNo hay asíntota horizontal, hay oblicua

y = x + 1

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$y = 0$

Correcto. El grado del denominador (2) es mayor que el del numerador (1), así

\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x+1}{x^2+x} = 0

: la asíntota horizontal es

y = 0

Para hallar la asíntota horizontal de la rama

f(x) = \dfrac{x+1}{x^2+x}

se calcula el límite en el infinito. Como el grado del denominador (2) es mayor que el del numerador (1), el cociente tiende a cero:

\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x^2+x} = 0

. Por tanto la ración racional tiene la asíntota horizontal

y = 0

. (La otra rama,

f(x) = x+1

para

x>10

, es una recta sin asíntota horizontal.)

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