EvAU AragónConvocatoria ordinaria

Física EvAU Aragón 2024

Física — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
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Bloques temáticos

Interacción gravitatoria
Interacción electromagnética
Movimiento armónico simple
Ondas
Óptica geométrica
Física moderna

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EvAU ARA 2024 — P1.aDificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P1.a — Período orbital de Fobos

El satélite Fobos describe una órbita circular alrededor de Marte con radio orbital $r = 12\,767\ \text{km}$ .

¿Cuál es su período orbital?

Datos: masa de Marte $M = 6{,}39\times10^{23}\ \text{kg}$ ; $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

T \approx 12{,}2\ \text{h}

T \approx 24\ \text{h}

T \approx 37{,}4\ \text{h}

T \approx 6{,}1\ \text{h}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$T \approx 12{,}2\ \text{h}$

Correcto. De la 3.ª ley de Kepler

T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}

, con

r = 1{,}2767\times10^7\ \text{m}

T = \sqrt{\frac{4\pi^2(1{,}2767\times10^7)^3}{6{,}67\times10^{-11}\cdot6{,}39\times10^{23}}} \approx 4{,}39\times10^4\ \text{s} \approx 12{,}2\ \text{h}

En una órbita circular la fuerza gravitatoria proporciona la centrípeta, lo que conduce a la 3.ª ley de Kepler:

\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}

. Despejando el período con

r = 1{,}2767\times10^7\ \text{m}

M = 6{,}39\times10^{23}\ \text{kg}

T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{GM}} = 4{,}39\times10^4\ \text{s} = 12{,}2\ \text{h}

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EvAU ARA 2024 — P1.cDificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P1.c — Velocidad de escape desde Fobos

Suponiendo que Fobos es esférico, ¿cuál es la velocidad de escape de un cohete desde su superficie?

Datos: masa de Fobos $M_F = 1{,}08\times10^{16}\ \text{kg}$ ; radio de Fobos $R_F = 21\ \text{km}$ ; $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

v_e \approx 82{,}8\ \text{m/s}

v_e \approx 58{,}6\ \text{m/s}

v_e \approx 117\ \text{m/s}

v_e \approx 82{,}8\ \text{km/s}

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Respuesta correcta — opción A

$v_e \approx 82{,}8\ \text{m/s}$

Correcto.

v_e = \sqrt{\dfrac{2GM_F}{R_F}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\times10^{-11}\cdot1{,}08\times10^{16}}{2{,}1\times10^4}} \approx 82{,}8\ \text{m/s}

La velocidad de escape se obtiene de la conservación de la energía igualando la energía mecánica total a cero (escapar significa llegar al infinito con velocidad nula):

\tfrac12 m v_e^2 = \frac{GM_F m}{R_F}

, de donde

v_e = \sqrt{\frac{2GM_F}{R_F}} = \sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\times10^{-11}\cdot1{,}08\times10^{16}}{2{,}1\times10^4}} = 82{,}8\ \text{m/s}

. El factor 2 distingue la velocidad de escape de la orbital.

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EvAU ARA 2024 — P2.bDificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P2.b — Energía cinética de Fobos en órbita

Fobos orbita Marte en una trayectoria circular de radio $r = 9377\ \text{km}$ .

¿Cuál es su energía cinética?

Datos: masa de Marte $M = 6{,}39\times10^{23}\ \text{kg}$ ; masa de Fobos $M_F = 1{,}08\times10^{16}\ \text{kg}$ ; $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

E_c \approx 2{,}45\times10^{22}\ \text{J}

E_c \approx -2{,}45\times10^{22}\ \text{J}

E_c \approx 4{,}9\times10^{22}\ \text{J}

E_c \approx 1{,}23\times10^{22}\ \text{J}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$E_c \approx 2{,}45\times10^{22}\ \text{J}$

Correcto. Para órbita circular

E_c = \dfrac{GMM_F}{2r} = \dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot6{,}39\times10^{23}\cdot1{,}08\times10^{16}}{2\cdot9{,}377\times10^6} \approx 2{,}45\times10^{22}\ \text{J}

En una órbita circular, igualando fuerza gravitatoria y centrípeta se obtiene

v^2 = GM/r

, así que la energía cinética es

E_c = \tfrac12 M_F v^2 = \frac{GMM_F}{2r} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot6{,}39\times10^{23}\cdot1{,}08\times10^{16}}{2\cdot9{,}377\times10^6} = 2{,}45\times10^{22}\ \text{J}

. La energía mecánica es

E_m = E_c + E_p = -\frac{GMM_F}{2r} = -2{,}45\times10^{22}\ \text{J}

(negativa, órbita ligada).

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EvAU ARA 2024 — P4.aDificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P4.a — Fuerza por unidad de longitud entre dos cables

Dos cables paralelos de una línea de alta tensión están separados $d = 1{,}5\ \text{m}$ y por cada uno circula una corriente de $I = 0{,}8\ \text{A}$ .

¿Cuál es el módulo de la fuerza por unidad de longitud entre ellos?

Dato: permeabilidad del vacío $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \text{Wb/(A·m)}$ .

F/l \approx 8{,}53\times10^{-8}\ \text{N/m}

F/l \approx 1{,}28\times10^{-7}\ \text{N/m}

F/l \approx 1{,}71\times10^{-7}\ \text{N/m}

F/l \approx 8{,}53\times10^{-7}\ \text{N/m}

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Respuesta correcta — opción A

$F/l \approx 8{,}53\times10^{-8}\ \text{N/m}$

Correcto.

\dfrac{F}{l} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \dfrac{4\pi\times10^{-7}\cdot0{,}8\cdot0{,}8}{2\pi\cdot1{,}5} \approx 8{,}53\times10^{-8}\ \text{N/m}

Dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes

I_1

I_2

ejercen entre sí una fuerza por unidad de longitud

\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

. Sustituyendo

I_1 = I_2 = 0{,}8\ \text{A}

d = 1{,}5\ \text{m}

\frac{F}{l} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot0{,}8\cdot0{,}8}{2\pi\cdot1{,}5} = 8{,}53\times10^{-8}\ \text{N/m}

. Es atractiva si las corrientes van en el mismo sentido y repulsiva si van en sentidos opuestos.

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EvAU ARA 2024 — P5.bDificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P5.b — Longitud de onda de De Broglie de un electrón

Un electrón se acelera hasta adquirir una energía cinética de $E_c = 980\ \text{eV}$ .

¿Cuál es la longitud de onda asociada (de De Broglie) al electrón?

Datos: $h = 6{,}63\times10^{-34}\ \text{J·s}$ ; $m_e = 9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}$ ; $1\ \text{eV} = 1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}$ .

\lambda \approx 3{,}92\times10^{-11}\ \text{m}

\lambda \approx 3{,}92\times10^{-9}\ \text{m}

\lambda \approx 1{,}96\times10^{-11}\ \text{m}

\lambda \approx 6{,}3\times10^{-34}\ \text{m}

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Respuesta correcta — opción A

$\lambda \approx 3{,}92\times10^{-11}\ \text{m}$

Correcto.

\lambda = \dfrac{h}{m_e v} = \dfrac{h}{\sqrt{2 m_e E_c}}

. Con

E_c = 980\cdot1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}

\lambda \approx 3{,}92\times10^{-11}\ \text{m}

Por la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda asociada a una partícula es

\lambda = \frac{h}{p}

. El momento se obtiene de la energía cinética:

E_c = \frac{p^2}{2m_e}

, así que

p = \sqrt{2m_e E_c}

. Con

E_c = 980\cdot1{,}6\times10^{-19} = 1{,}568\times10^{-16}\ \text{J}

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e E_c}} = \frac{6{,}63\times10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}1\times10^{-31}\cdot1{,}568\times10^{-16}}} = 3{,}92\times10^{-11}\ \text{m}

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EvAU ARA 2024 — P6.aDificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P6.a — Constante elástica de un M.A.S.

Un cuerpo de masa $m = 2200\ \text{kg}$ describe un movimiento armónico simple realizando una oscilación completa cada $T = 13\ \text{s}$ .

¿Cuál es la constante elástica del muelle (la tela de araña)?

k \approx 514\ \text{N/m}

k \approx 169\ \text{N/m}

k \approx 1036\ \text{N/m}

k \approx 329\ \text{N/m}

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Respuesta correcta — opción A

$k \approx 514\ \text{N/m}$

Correcto.

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{13} = 0{,}483\ \text{rad/s}

. Como

\omega^2 = k/m

k = m\omega^2 = 2200\cdot0{,}483^2 \approx 514\ \text{N/m}

En un movimiento armónico simple gobernado por un muelle, la frecuencia angular se relaciona con el período por

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{13} = 0{,}483\ \text{rad/s}

, y con la constante elástica por

\omega^2 = \frac{k}{m}

. Despejando:

k = m\omega^2 = 2200\cdot(0{,}483)^2 = 514\ \text{N/m}

. La fuerza elástica máxima con un estiramiento de

0{,}8\ \text{m}

sería

F = kx_{max} = 514\cdot0{,}8 \approx 411\ \text{N}

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EvAU ARA 2024 — P7.aDificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P7.a — Imagen en una lente divergente

Una lente divergente tiene distancia focal $f' = -30\ \text{cm}$ . Un objeto de $2{,}5\ \text{cm}$ de altura se sitúa a $50\ \text{cm}$ de la lente ( $s = -50\ \text{cm}$ ).

¿En qué posición se forma la imagen?

s' = -18{,}75\ \text{cm}

s' = +18{,}75\ \text{cm}

s' = -30\ \text{cm}

s' = -50\ \text{cm}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$s' = -18{,}75\ \text{cm}$

Correcto. De

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}

\frac{1}{s'} = \frac{1}{-30} + \frac{1}{-50} = -\frac{8}{150}

, luego

s' = -18{,}75\ \text{cm}

(imagen virtual).

Aplicando la ecuación de la lente delgada

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}

con

f' = -30\ \text{cm}

s = -50\ \text{cm}

\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s} = -\frac{1}{30} - \frac{1}{50} = -\frac{8}{150}

, de donde

s' = -18{,}75\ \text{cm}

. La imagen es virtual (signo negativo), derecha y menor, como corresponde a una lente divergente. La potencia de la lente es

P = 1/f' = -3{,}33\ \text{m}^{-1}

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EvAU ARA 2024 — P8Dificultad 3/5

EvAU ARA 2024 — P8 — Velocidad de las ondas en una cuerda de guitarra

Una cuerda de guitarra de longitud $L = 79\ \text{cm}$ vibra en su armónico fundamental emitiendo una nota de frecuencia $f_0 = 293{,}66\ \text{Hz}$ .

¿A qué velocidad se desplazan las ondas viajeras en la cuerda?

v \approx 464\ \text{m/s}

v \approx 232\ \text{m/s}

v \approx 928\ \text{m/s}

v \approx 371\ \text{m/s}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$v \approx 464\ \text{m/s}$

Correcto. En el armónico fundamental

\lambda = 2L = 1{,}58\ \text{m}

. La velocidad es

v = \lambda f_0 = 1{,}58\cdot293{,}66 \approx 464\ \text{m/s}

En una cuerda fija en ambos extremos, el armónico fundamental tiene un solo vientre y cabe media longitud de onda, de modo que

\lambda = 2L = 2\cdot0{,}79 = 1{,}58\ \text{m}

. La velocidad de las ondas viajeras se obtiene de

v = \lambda f_0 = 1{,}58\cdot293{,}66 \approx 464\ \text{m/s}

. El siguiente armónico tendría

f_1 = 2f_0 = 587{,}32\ \text{Hz}

, y con la densidad lineal

\mu = 3{,}99\times10^{-4}\ \text{kg/m}

la tensión sería

T = v^2\mu \approx 85{,}9\ \text{N}

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