EAU País VascoConvocatòria ordinaria

Matemáticas EAU País Vasco 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Cinco partes (álgebra, geometría, análisis, integrales, probabilidad); responde 4

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

PDF oficial de l'examen

8 exercicis a EureQuiz

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EAU EUS 2024 — Primera parte (B1)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Primera parte (B1) — Propiedad de los determinantes

Se sabe que el determinante $\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2$ .

¿Cuánto vale $\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix}$ ?

6

2

54

18

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$6$

Correcto. Multiplicar UNA fila por un escalar

k

multiplica el determinante por

k

: el valor es

3\cdot2 = 6

Una de las propiedades fundamentales de los determinantes es que, al multiplicar todos los elementos de una sola fila (o columna) por un escalar

k

, el determinante completo queda multiplicado por

k

. En este caso la primera fila

(a, b, c)

se ha multiplicado por 3, mientras que las otras dos filas no cambian. Por tanto, el nuevo determinante vale

3\cdot2 = 6

. Si se hubieran multiplicado las tres filas por 3, el factor sería

3^3 = 27

y el resultado

54

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EAU EUS 2024 — Primera parte (A1)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Primera parte (A1) — Discusión de un sistema con parámetro

Se considera el sistema con parámetro $\lambda$ : $\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y + (\lambda-1)z = -1 \\ 2x + y + (\lambda-2)z = 1 \end{cases}$

La matriz de coeficientes tiene determinante $\det(A) = \lambda^2 - 3\lambda$ . ¿Para qué valores de $\lambda$ el sistema es compatible determinado (solución única) con seguridad por el teorema de Rouché?

\lambda\neq0

\lambda\neq3

\lambda=0

\lambda=3

CSolo

\lambda=0

DSolo

\lambda=3

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\lambda\neq0$ y $\lambda\neq3$

Correcto. El sistema es compatible determinado cuando

\det(A)\neq0

, es decir

\lambda^2-3\lambda\neq0 \Rightarrow \lambda\neq0

\lambda\neq3

Para discutir un sistema cuadrado de 3 ecuaciones con 3 incógnitas según el teorema de Rouché-Frobenius, se estudia primero el determinante de la matriz de coeficientes

A

. El sistema es compatible determinado (solución única) si y solo si

\det(A)\neq0

, porque entonces

\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3=

número de incógnitas. Aquí

\det(A)=\lambda^2-3\lambda=\lambda(\lambda-3)

, que se anula en

\lambda=0

\lambda=3

. Por tanto, para cualquier

\lambda\neq0

\lambda\neq3

el sistema tiene solución única; los valores

\lambda=0

\lambda=3

requieren un estudio aparte (compatible indeterminado o incompatible).

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EAU EUS 2024 — Segunda parte (B2)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Segunda parte (B2) — Plano que pasa por tres puntos

Se consideran los puntos $P_2(1, 2, -1)$ , $P_3(0, -2, 3)$ y $P_4(-2, 0, 1)$ .

¿Cuál es la ecuación del plano $\pi$ que contiene a esos tres puntos?

y+z=1

x+y+z=2

y-z=1

x+z=0

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$y+z=1$

Correcto. Con

\vec{P_2P_3}=(-1,-4,4)

\vec{P_2P_4}=(-3,-2,2)

, el normal es

\vec{n}=\vec{P_2P_3}\times\vec{P_2P_4}=(0,-10,-10)

, simplificado

(0,1,1)

. El plano es

y+z=1

(pasa por

P_2

2+(-1)=1

Para hallar el plano que pasa por tres puntos

P_2

P_3

P_4

, se construyen dos vectores contenidos en él:

\vec{P_2P_3}=P_3-P_2=(-1,-4,4)

\vec{P_2P_4}=P_4-P_2=(-3,-2,2)

. El vector normal del plano es su producto vectorial:

\vec{n}=\vec{P_2P_3}\times\vec{P_2P_4}=(-4\cdot2-4\cdot(-2),\,4\cdot(-3)-(-1)\cdot2,\,(-1)\cdot(-2)-(-4)\cdot(-3))=(0,-10,-10)

, proporcional a

(0,1,1)

. El plano tiene la forma

y+z=d

; imponiendo que pase por

P_2(1,2,-1)

2+(-1)=1=d

. La ecuación es

y+z=1

, que también satisfacen

P_3

(

-2+3=1

) y

P_4

(

0+1=1

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EAU EUS 2024 — Tercera parte (B3)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Tercera parte (B3) — Parámetros de una función polinómica

Se sabe que $f(x)=Ax^4+Bx^2+C$ tiene un extremo relativo en $x=\tfrac{1}{2}$ y que la recta tangente a su gráfica en $x=1$ es $y=6x-2$ .

¿Cuál es el valor de la pendiente de la tangente en $x=1$ , dato que se usa para plantear las ecuaciones?

f'(1)=6

f'(1)=-2

f'(1)=4

f'(1)=1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$f'(1)=6$

Correcto. La pendiente de la recta tangente

y=6x-2

es el coeficiente de

x

f'(1)=6

La recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x=1

y=6x-2

. La interpretación geométrica de la derivada dice que la pendiente de esa recta tangente coincide con el valor de la derivada en el punto:

f'(1)=

pendiente

=6

(el coeficiente de

x

). Este dato, junto con la condición de extremo relativo

f'(\tfrac{1}{2})=0

y el paso por el punto de tangencia

f(1)=6\cdot1-2=4

, permite plantear el sistema de tres ecuaciones para hallar

A

B

C

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EAU EUS 2024 — Cuarta parte (B4)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Cuarta parte (B4) — Área entre dos curvas

Se consideran las curvas $y=x^2$ e $y=\sqrt{x}$ en el primer cuadrante, que se cortan en $x=0$ y $x=1$ .

¿Cuál es el área de la región encerrada entre ambas curvas?

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{2}{3}

1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\dfrac{1}{3}$

Correcto. En

(0,1)

\sqrt{x}\geq x^2

. Área

=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx=\left[\tfrac{2}{3}x^{3/2}-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}

El área de la región encerrada entre dos curvas en un intervalo

[a,b]

\int_a^b(f_{sup}-f_{inf})\,dx

. Las curvas

y=x^2

y=\sqrt{x}

se cortan en

x=0

x=1

, y en ese intervalo

\sqrt{x}\geq x^2

. Por tanto, área

=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx

. Usando las primitivas

\int\sqrt{x}\,dx=\tfrac{2}{3}x^{3/2}

\int x^2\,dx=\tfrac{x^3}{3}

: área

=\left[\tfrac{2}{3}x^{3/2}-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}

unidades cuadradas.

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EAU EUS 2024 — Quinta parte (B5)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Quinta parte (B5) — Distribución normal: cola superior

El tiempo que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar sigue una distribución normal de media $\mu=45\ \text{s}$ y desviación típica $\sigma=7{,}3\ \text{s}$ .

¿Qué porcentaje de adultos aguanta más de 57 segundos? (De la tabla, $P(Z\leq1{,}64)\approx0{,}9495$ .)

\approx 5{,}05\%

\approx 94{,}95\%

\approx 16\%

\approx 50\%

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\approx 5{,}05\%$

Correcto.

z=\dfrac{57-45}{7{,}3}\approx1{,}64

P(X>57)=1-P(Z\leq1{,}64)=1-0{,}9495=0{,}0505\approx5{,}05\%

Para calcular probabilidades en una distribución normal

X\sim N(45;\,7{,}3)

se tipifica con

Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}

, que sigue una

N(0,1)

. Para

x=57

z=\dfrac{57-45}{7{,}3}=\dfrac{12}{7{,}3}\approx1{,}64

. La tabla de la normal estándar proporciona

P(Z\leq1{,}64)\approx0{,}9495

. Como se pide

P(X>57)

(cola superior), se resta a 1:

P(X>57)=1-0{,}9495=0{,}0505

, esto es, aproximadamente un

5{,}05\%

de los adultos.

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EAU EUS 2024 — Quinta parte (A5)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Quinta parte (A5) — Probabilidad con dos urnas

La urna A contiene 3 bolas verdes, 5 rojas y 4 azules (12 en total). Se saca una bola al azar de A y se introduce en la urna B.

¿Cuál es la probabilidad de que la bola trasladada de A a B sea roja?

\dfrac{5}{12}\approx0{,}417

\dfrac{5}{7}\approx0{,}714

\dfrac{1}{4}=0{,}25

\dfrac{1}{3}\approx0{,}333

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\dfrac{5}{12}\approx0{,}417$

Correcto. En A hay 5 rojas de 12 bolas, así que

P(\text{roja})=\dfrac{5}{12}\approx0{,}417

La primera extracción se hace de la urna A, que contiene

3+5+4=12

bolas. Por la regla de Laplace, la probabilidad de un suceso es el cociente entre casos favorables y casos posibles. Hay 5 bolas rojas (favorables) sobre 12 bolas (posibles), de modo que

P(\text{roja})=\dfrac{5}{12}\approx0{,}417

. Este es el primer paso del diagrama de árbol del problema, que luego permite calcular, mediante la probabilidad total y el teorema de Bayes, la probabilidad de que la bola finalmente extraída de B sea verde.

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EAU EUS 2024 — Segunda parte (A2)Dificultat 3/5

EAU EUS 2024 — Segunda parte (A2) — Posición relativa de dos rectas

Se consideran las rectas $r:\ (x,y,z)=(0,-1,2)+\lambda(2,4,-1)$ y $s:\ \begin{cases} 2x-y=1 \\ z=3 \end{cases}$ , que tiene vector director $(1,2,0)$ .

Si $r$ y $s$ se cortan en un punto, ¿qué se puede afirmar sobre sus vectores directores $\vec{u}_r=(2,4,-1)$ y $\vec{u}_s=(1,2,0)$ ?

ANo son proporcionales: las rectas no son paralelas

BSon proporcionales: las rectas son paralelas

CSon perpendiculares (producto escalar nulo)

DSon iguales

Veure solució

Resposta correcta — opció A

No son proporcionales: las rectas no son paralelas

Correcto.

\vec{u}_r=(2,4,-1)

\vec{u}_s=(1,2,0)

no son proporcionales (

-1/0

no es múltiplo), así que las rectas NO son paralelas: pueden cortarse o cruzarse.

Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio se comparan primero sus vectores directores. Dos rectas son paralelas (o coincidentes) si y solo si sus directores son proporcionales. Aquí

\vec{u}_r=(2,4,-1)

\vec{u}_s=(1,2,0)

: las dos primeras componentes sugerirían razón

k=2

, pero la tercera (

-1

frente a

0

) no la respeta, así que no son proporcionales y las rectas no son paralelas. Por tanto, o se cortan en un punto (coplanarias) o se cruzan (no coplanarias); para distinguirlo se estudia si el sistema de las dos rectas tiene solución, o el rango del conjunto

\{\vec{u}_r,\vec{u}_s,\vec{P_rP_s}\}

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