EvAU MadridConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Madrid 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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8 exercicis a EureQuiz

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EVAU MAD 2024 — A.1Dificultat 3/5

Hay listones de madera largos ( $x$ ), intermedios ( $y$ ) y cortos ( $z$ ). Se cumple: dos largos y cuatro intermedios miden lo mismo que tres intermedios y quince cortos; un largo supera en $17$ cm a uno intermedio más uno corto; y nueve cortos necesitan $7$ cm más para igualar a uno intermedio seguido de uno largo. ¿Cuánto mide un listón largo?

19

71

107

90

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$107$ cm

Correcto. Del sistema

2x+4y=3y+15z

x=y+z+17

9z+7=y+x

sale

x=107

y=71

z=19

. El largo mide

107

cm.

Sean

x,y,z

las longitudes (cm) de largo, intermedio y corto. Las condiciones dan

2x+4y=3y+15z

(es decir

2x+y=15z

x=y+z+17

9z+7=x+y

. Sustituyendo

x=y+z+17

: de

2(y+z+17)+y=15z

sale

3y=13z-34

; de

9z+7=(y+z+17)+y

sale

y=4z-5

. Igualando:

3(4z-5)=13z-34\Rightarrow 12z-15=13z-34\Rightarrow z=19

, luego

y=4\cdot19-5=71

x=71+19+17=107

. El listón largo mide 107 cm.

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EVAU MAD 2024 — A.2Dificultat 3/5

Para la función $f(x)=x^4+\pi x^3+\pi^2 x^2+\pi^3 x+\pi^4$ , calcula la pendiente de la recta tangente a su gráfica en $x=\pi$ .

10\pi^3\approx 310{,}1

5\pi^4\approx 487{,}0

4\pi^3\approx 124{,}0

6\pi^3\approx 186{,}0

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$10\pi^3\approx 310{,}1$

Correcto.

f'(x)=4x^3+3\pi x^2+2\pi^2 x+\pi^3

. En

x=\pi

4\pi^3+3\pi^3+2\pi^3+\pi^3=10\pi^3

Tratando

\pi

como constante,

f'(x)=4x^3+3\pi x^2+2\pi^2 x+\pi^3

. La pendiente en

x=\pi

f'(\pi)=4\pi^3+3\pi^3+2\pi^3+\pi^3=10\pi^3\approx310{,}1

. (La recta tangente es

y-5\pi^4=10\pi^3(x-\pi)

. Por Rolle/Bolzano la derivada tiene una raíz en

(-\pi,0)

, y por simetría el área entre

f

g(x)=f(-x)

[0,\pi]

solo depende de los términos impares.)

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EVAU MAD 2024 — A.3Dificultat 3/5

Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,1,0)$ , halla la ecuación del plano que pasa por $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $z=0$ . ¿Cuál es su ecuación?

x-y=0

x+y=0

z=0

x+y+z=1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x-y=0$

Correcto. El plano contiene

\vec{AB}=(1,1,-1)

y, por ser perpendicular a

z=0

, también la dirección vertical

\vec{k}=(0,0,1)

. Su normal es

\vec{AB}\times\vec{k}=(1,-1,0)

, luego el plano es

x-y=0

El plano contiene a

A(0,0,1)

B(1,1,0)

, luego al vector

\vec{AB}=(1,1,-1)

. Por ser perpendicular a

z=0

, también contiene la dirección vertical

\vec{k}=(0,0,1)

. Su vector normal es

\vec{AB}\times\vec{k}=(1,-1,0)

, y como pasa por

A

la ecuación es

x-y=0

. (En el apartado b se piden dos rectas paralelas en el plano

x+z=1

por

A

B

con distancia 1, con director paralelo a

\vec{AB}

proyectado en ese plano.)

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EVAU MAD 2024 — A.4Dificultat 3/5

Sea $C$ un suceso independiente de $A$ , con $P(A)=\dfrac{11}{20}$ . Sabiendo que $P(A\cup C)=\dfrac{14}{25}$ , calcula $P(C)$ .

-\tfrac{3}{100}

\tfrac{1}{100}

\tfrac{1}{20}=0{,}05

\tfrac{1}{45}\approx 0{,}022

Veure solució

Resposta correcta — opció D

$\tfrac{1}{45}\approx 0{,}022$

Correcto. Con independencia,

P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A)P(C)

. Despejando:

\tfrac{14}{25}=\tfrac{11}{20}+P(C)\left(1-\tfrac{11}{20}\right)

, de donde

P(C)=\dfrac{\tfrac{14}{25}-\tfrac{11}{20}}{\tfrac{9}{20}}=\dfrac{1}{45}\approx0{,}022

Por independencia,

P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A)P(C)=P(A)+P(C)\,(1-P(A))

. Sustituyendo

P(A)=\tfrac{11}{20}=\tfrac{55}{100}

P(A\cup C)=\tfrac{14}{25}=\tfrac{56}{100}

\tfrac{56}{100}=\tfrac{55}{100}+P(C)\cdot\tfrac{9}{20}

, luego

P(C)\cdot\tfrac{9}{20}=\tfrac{1}{100}

P(C)=\tfrac{1}{100}\cdot\tfrac{20}{9}=\tfrac{1}{45}\approx0{,}022

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EVAU MAD 2024 — B.1Dificultat 3/5

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\1&-1&3\end{pmatrix}$ , calcula el determinante de $A\cdot A^{t}$ .

12

144

24

100

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$144$

Correcto.

\det(A)=12

y, como

\det(A^t)=\det(A)

, se tiene

\det(A A^t)=\det A\cdot\det A^t=(\det A)^2=12^2=144

\det(A)=3(1\cdot3-1\cdot(-1))-(-1)(1\cdot3-1\cdot1)+1(1\cdot(-1)-1\cdot1)=3\cdot4+1\cdot2+1\cdot(-2)=12+2-2=12

. Por la propiedad del determinante de un producto y

\det(A^t)=\det(A)

\det(A\cdot A^t)=\det(A)\cdot\det(A^t)=(\det A)^2=12^2=144

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EVAU MAD 2024 — B.2Dificultat 3/5

Calcula la integral $\displaystyle\int_{1}^{e}(x+2)\ln x\,dx$ .

\tfrac{e^2}{4}+\tfrac{9}{4}\approx 4{,}10

\tfrac{e^2}{4}-\tfrac14\approx 1{,}60

\tfrac{e^2}{2}+3\approx 6{,}69

\tfrac{e^2}{4}\approx 1{,}85

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\tfrac{e^2}{4}+\tfrac{9}{4}\approx 4{,}10$

Correcto. Por partes con

u=\ln x

dv=(x+2)\,dx

: la primitiva es

\left(\tfrac{x^2}{2}+2x\right)\ln x-\tfrac{x^2}{4}-2x

. Evaluando en

[1,e]

\tfrac{e^2}{4}+\tfrac{9}{4}\approx4{,}10

Por partes con

u=\ln x

dv=(x+2)\,dx

, se tiene

du=\tfrac{dx}{x}

v=\tfrac{x^2}{2}+2x

. Entonces

\int(x+2)\ln x\,dx=\left(\tfrac{x^2}{2}+2x\right)\ln x-\int\left(\tfrac{x}{2}+2\right)dx=\left(\tfrac{x^2}{2}+2x\right)\ln x-\tfrac{x^2}{4}-2x

. Evaluando en

[1,e]

: en

x=e

vale

\left(\tfrac{e^2}{2}+2e\right)-\tfrac{e^2}{4}-2e=\tfrac{e^2}{4}

; en

x=1

(

\ln1=0

) vale

-\tfrac14-2=-\tfrac94

. La diferencia es

\tfrac{e^2}{4}+\tfrac94\approx4{,}10

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EVAU MAD 2024 — B.3Dificultat 3/5

Un tetraedro tiene vértices $P_1(1,1,1)$ , $P_2(2,1,0)$ , $P_3(1,3,2)$ y $P_4(3,a,3)$ . Su volumen es $V=1$ y ninguna arista supera longitud $10$ . ¿Qué valor toma $a$ ?

a=7

a=3

a=15

a=3

a=15

(ambos válidos)

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$a=3$

Correcto.

V=\tfrac16\big|\det[\vec{P_1P_2},\vec{P_1P_3},\vec{P_1P_4}]\big|=1

|\det|=6

. El producto mixto vale

9-a

, luego

|9-a|=6

a=3

a=15

. Con

a=15

la arista

P_1P_4

mide

\approx14{,}2>10

, así que solo vale

a=3

Con

\vec{P_1P_2}=(1,0,-1)

\vec{P_1P_3}=(0,2,1)

\vec{P_1P_4}=(2,a-1,2)

, el producto mixto es

\det\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&2&1\\2&a-1&2\end{pmatrix}=1\,(2\cdot2-1\cdot(a-1))+(-1)(0\cdot(a-1)-2\cdot2)=(4-(a-1))+4=9-a

. El volumen es

\tfrac16|9-a|=1\Rightarrow|9-a|=6\Rightarrow a=3

a=15

. Para

a=15

, la arista

P_1P_4=(2,14,2)

mide

\sqrt{204}\approx14{,}3>10

, lo que viola la cota; para

a=3

todas las aristas son

\le10

. Por tanto

a=3

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EVAU MAD 2024 — B.4Dificultat 3/5

Se lanzan dos dados de seis caras, azul y rojo. La puntuación se calcula así: si el dado azul es par, se le suma el doble del rojo; si el azul es impar, se le suma el rojo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación impar?

\tfrac12

\tfrac14

\tfrac{5}{12}

\tfrac13

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$\tfrac14$

Correcto. Si el azul (

A

) es par, la puntuación es

A+2R

(par+par=par): nunca impar. Si

A

es impar, la puntuación es

A+R

, impar solo si

R

es par.

P=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14

Sea

A

el dado azul y

R

el rojo. Si

A

es par, la puntuación es

A+2R

, suma de dos pares: siempre par, nunca impar. Si

A

es impar, la puntuación es

A+R

, impar solo cuando

R

es par. Por tanto

P(\text{impar})=P(A\text{ impar})\cdot P(R\text{ par})=\tfrac{3}{6}\cdot\tfrac{3}{6}=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14

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