EvAU MadridConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Madrid 2023

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
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Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen10 exercicis

EVAU MAD 2023 — A.1Dificultat 3/5

En una obra se usan tres tipos de camiones: A (capacidad 14 t), B (24 t) y C (28 t). Haría falta traer un camión más de tipo A para igualar al número de camiones restantes ( $a+1=b+c$ ). El 10 % de la capacidad total de los camiones de tipo B es un séptimo de la de los de mayor tonelaje, los de tipo C ( $0{,}10\cdot 24b=\tfrac{1}{7}\cdot 28c$ ). Hoy, en un único viaje a máxima capacidad cada uno, se han extraído 302 toneladas. ¿Cuántas toneladas ha transportado hoy el conjunto de los camiones de tipo B?

A84 t

B98 t

C120 t

D144 t

Veure solució

Resposta correcta — opció C

120 t

Correcto. Del sistema

a+1=b+c

2{,}4b=4c

(es decir

c=0{,}6b

) y

14a+24b+28c=302

sale

a=7

b=5

c=3

. El tipo B transporta

24\cdot 5=120

Sea

a

b

c

el número de camiones de cada tipo.

a+1=b+c

; el 10 % de la capacidad de los B (

0{,}10\cdot24b=2{,}4b

) iguala a

\tfrac{1}{7}

de la de los C (

\tfrac{28c}{7}=4c

), luego

c=0{,}6b

; y

14a+24b+28c=302

. Resolviendo:

a=7

b=5

c=3

. El tipo B transporta

24\cdot5=120

t (A: 98 t, C: 84 t; total 302 t).

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EVAU MAD 2023 — A.2Dificultat 3/5

Dada la función $f(x)=3\,(x^2-1)^2$ , estudia sus extremos relativos. ¿Cuántos extremos relativos tiene y de qué tipo?

A1 extremo: un mínimo en

x=0

B3 extremos: máximo en

x=0

y mínimos en

x=\pm1

C3 extremos: mínimo en

x=0

y máximos en

x=\pm1

D2 extremos: mínimos en

x=\pm1

Veure solució

Resposta correcta — opció B

3 extremos: máximo en $x=0$ y mínimos en $x=\pm1$

Correcto.

f'(x)=12x(x^2-1)

se anula en

x=0

x=1

x=-1

. En

x=0

hay máximo relativo (

f(0)=3

) y en

x=\pm1

mínimos (

f(\pm1)=0

). Son 3 extremos.

f(x)=3(x^2-1)^2

es par y derivable en todo

\mathbb{R}

f'(x)=12x(x^2-1)

se anula en

x=0

x=\pm1

. En

x=0

hay máximo relativo (

f(0)=3

); en

x=\pm1

mínimos absolutos (

f(\pm1)=0

). Tres extremos relativos en total.

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EVAU MAD 2023 — A.3Dificultat 3/5

Dados los puntos $A(1,-2,3)$ , $B(0,2,-1)$ y $C(2,1,0)$ , que forman un triángulo $T$ , determina su perímetro. ¿Cuál es el valor del perímetro?

\sqrt{33}+\sqrt{6}+\sqrt{19}\approx 12{,}55

58

\sqrt{33}+\sqrt{19}\approx 10{,}10

\approx 9{,}80

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\sqrt{33}+\sqrt{6}+\sqrt{19}\approx 12{,}55$

Correcto.

|AB|=\sqrt{33}

|BC|=\sqrt{6}

|CA|=\sqrt{19}

. El perímetro es

\sqrt{33}+\sqrt{6}+\sqrt{19}\approx 12{,}55

unidades.

\vec{AB}=(-1,4,-4)\Rightarrow|AB|=\sqrt{33}

;

\vec{BC}=(2,-1,1)\Rightarrow|BC|=\sqrt{6}

;

\vec{CA}=(-1,-3,3)\Rightarrow|CA|=\sqrt{19}

. Perímetro

=\sqrt{33}+\sqrt{6}+\sqrt{19}\approx12{,}55

. (El plano que los contiene es

y+z=1

y la recta

AB

corta a

z=1

(\tfrac12,0,1)

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EVAU MAD 2023 — A.4Dificultat 3/5

Se tiene un suceso $A$ con $P(A)=0{,}3$ . Para un suceso $D$ se cumple $P(A|D)=0{,}2$ y $P(D|A)=0{,}5$ . Calcula $P(D)$ .

0{,}15

0{,}06

0{,}60

0{,}75

Veure solució

Resposta correcta — opció D

$0{,}75$

Correcto.

P(A\cap D)=P(D|A)\cdot P(A)=0{,}5\cdot0{,}3=0{,}15

. Como

P(A|D)=P(A\cap D)/P(D)

, despejas

P(D)=0{,}15/0{,}2=0{,}75

P(A\cap D)=P(D|A)\cdot P(A)=0{,}5\cdot0{,}3=0{,}15

. Como

P(A|D)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=0{,}2

, despejamos

P(D)=\dfrac{0{,}15}{0{,}2}=0{,}75

. (Los otros apartados dan

P(A\cup B)=0{,}65

con

B

independiente y

P(A\cap C)=0{,}15

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EVAU MAD 2023 — B.1Dificultat 3/5

Dado el sistema $\begin{cases}(a+1)x+4y=0\\ (a-1)y+z=3\\ 4x+2ay+z=3\end{cases}$ , ¿para qué valores del parámetro $a$ el sistema NO es compatible determinado (es decir, su matriz de coeficientes tiene determinante nulo)?

a=3

únicamente

a=3

a=-5

a=3

a=5

a=1

a=-1

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$a=3$ y $a=-5$

Correcto.

\det=(a+1)\big[(a-1)-2a\big]+16=-(a+1)^2+16

. Se anula cuando

(a+1)^2=16

, es decir

a+1=\pm4

a=3

a=-5

El determinante de la matriz de coeficientes es

\det=(a+1)[(a-1)-2a]+16=(a+1)(-a-1)+16=-(a+1)^2+16

. Se anula si

(a+1)^2=16\Rightarrow a=3

a=-5

. Para

a\neq3

a\neq-5

el sistema es compatible determinado (p. ej.

a=5

x=0,y=0,z=3

). En

a=3

a=-5

resulta compatible indeterminado.

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EVAU MAD 2023 — B.2Dificultat 3/5

Sea $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{2+x^2}&\text{si }x\le-1\\[6pt]\dfrac{2x^2}{3-3x}&\text{si }x>-1\end{cases}$ . Calcula $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx$ .

\tfrac{2}{3}\left(\ln 2-\tfrac12\right)\approx 0{,}129

\ln 2-\tfrac12\approx 0{,}193

\tfrac{2}{3}\left(\tfrac12-\ln 2\right)\approx -0{,}129

\tfrac{1}{3}\approx 0{,}333

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\tfrac{2}{3}\left(\ln 2-\tfrac12\right)\approx 0{,}129$

Correcto. En

[-1,0]

se usa

\dfrac{2x^2}{3-3x}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{x^2}{1-x}

. Dividiendo,

\dfrac{x^2}{1-x}=-x-1+\dfrac{1}{1-x}

, cuya primitiva es

-\tfrac{x^2}{2}-x-\ln|1-x|

. Aplicando Barrow:

\tfrac{2}{3}\big(\ln 2-\tfrac12\big)\approx0{,}129

[-1,0]

se usa

\dfrac{2x^2}{3-3x}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{x^2}{1-x}

. Dividiendo:

\dfrac{x^2}{1-x}=-x-1+\dfrac{1}{1-x}

, primitiva

-\tfrac{x^2}{2}-x-\ln|1-x|

. Evaluando entre

-1

0

F(0)=0

F(-1)=\tfrac12-\ln2

, luego

\tfrac{2}{3}\big(0-(\tfrac12-\ln2)\big)=\tfrac{2}{3}(\ln2-\tfrac12)\approx0{,}129

. (La función es continua en

x=-1

: ambos límites valen

\tfrac13

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EVAU MAD 2023 — B.3Dificultat 3/5

Dada la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$ , el plano $\pi:x-z=2$ y el punto $A(1,1,1)$ , calcula la proyección ortogonal de $A$ sobre el plano $\pi$ . ¿Cuáles son sus coordenadas?

(2,\,1,\,0)

(0,\,1,\,2)

(1,\,0,\,-1)

(3,\,2,\,-1)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(2,\,1,\,0)$

Correcto. La normal de

\pi

\vec{n}=(1,0,-1)

. Imponiendo

A+s\,\vec{n}\in\pi

(1+s)-(1-s)=2\Rightarrow s=1

. La proyección es

(2,1,0)

La recta perpendicular a

\pi

por

A

tiene dirección

\vec{n}=(1,0,-1)

A+s\vec{n}=(1+s,1,1-s)

. Imponiendo

x-z=2

(1+s)-(1-s)=2s=2\Rightarrow s=1

. La proyección es

(2,1,0)

. (Además,

r

corta a

\pi

(1,0,-1)

y el simétrico de

A

respecto a

r

(-\tfrac13,-\tfrac53,-\tfrac53)

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EVAU MAD 2023 — B.4Dificultat 3/5

La longitud de la sardina del Pacífico sigue una distribución normal de media $\mu=175$ mm y desviación típica $\sigma=25{,}75$ mm. Una envasadora solo admite como sardinas de calidad las de longitud superior a 16 cm. ¿Qué porcentaje de las sardinas capturadas será de calidad?

\approx 28{,}1\%

\approx 22{,}0\%

\approx 71{,}9\%

\approx 50{,}0\%

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\approx 71{,}9\%$

Correcto.

16

=160

mm.

z=\dfrac{160-175}{25{,}75}\approx-0{,}58

P(X>160)=P(Z>-0{,}58)=1-0{,}2810\approx0{,}719

, es decir

\approx71{,}9\%

16

=160

mm. Tipificando:

z=\dfrac{160-175}{25{,}75}\approx-0{,}58

P(X>160)=P(Z>-0{,}58)=\Phi(0{,}58)\approx0{,}719

, es decir un

\approx71{,}9\%

de las sardinas tendrá la calidad exigida.

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EVAU MAD 2023 — B.1 (resolución)Dificultat 3/5

Para el sistema $\begin{cases}(a+1)x+4y=0\\ (a-1)y+z=3\\ 4x+2ay+z=3\end{cases}$ , resuélvelo para $a=5$ . ¿Cuál es el valor de la incógnita $z$ en la solución?

z=0

z=5

z=3

z=-3

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$z=3$

Correcto. Para

a=5

el sistema es compatible determinado. La primera ecuación da

6x+4y=0

, la combinación lleva a

x=0

y=0

y entonces

z=3

Con

a=5

el determinante vale

-20\neq0

(compatible determinado). El sistema

6x+4y=0

4y+z=3

4x+10y+z=3

tiene solución

x=0

y=0

z=3

. (Para

a=3

es compatible indeterminado:

x=\tfrac{z-3}{2}

y=\tfrac{3-z}{2}

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EVAU MAD 2023 — B.2 (continuidad)Dificultat 3/5

Sea $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{2+x^2}&\text{si }x\le-1\\[6pt]\dfrac{2x^2}{3-3x}&\text{si }x>-1\end{cases}$ . Estudia su continuidad en $x=-1$ . ¿Qué se concluye?

AContinua en

x=-1

: ambos límites laterales valen

\tfrac13

BDiscontinuidad de salto: izquierda

\tfrac13

, derecha

\tfrac23

CDiscontinuidad evitable en

x=-1

DDiscontinuidad asintótica en

x=-1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Continua en $x=-1$ : ambos límites laterales valen $\tfrac13$

Correcto. Límite por la izquierda:

\dfrac{(-1)^2}{2+(-1)^2}=\dfrac{1}{3}

. Límite por la derecha:

\dfrac{2(-1)^2}{3-3(-1)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

. Coinciden con

f(-1)=\tfrac13

: es continua en

x=-1

Límite por la izquierda:

\lim_{x\to-1^-}\dfrac{x^2}{2+x^2}=\dfrac{1}{3}

. Límite por la derecha:

\lim_{x\to-1^+}\dfrac{2x^2}{3-3x}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

. Como coinciden y son iguales a

f(-1)=\tfrac13

, la función es continua en

x=-1

. La única discontinuidad de la función está en

x=1

, donde el denominador

3-3x

se anula.

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