EvAU MadridConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Madrid 2022

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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8 exercicis a EureQuiz

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EVAU MAD 2022 — A.1Dificultat 3/5

Dado el sistema dependiente del parámetro real $m$ : $\begin{cases}x-2my+z=1\\ mx+2y-z=-1\\ x-y+z=1\end{cases}$ , discútelo según los valores de $m$ . ¿Para qué valor(es) de $m$ el sistema NO es compatible determinado (la matriz de coeficientes tiene determinante nulo)?

m=-1

únicamente

m=1

m=2

m=-1

m=\tfrac12

m=0

m=1

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$m=-1$ y $m=\tfrac12$

Correcto.

\det=2m^2+m-1=2(m+1)\left(m-\tfrac12\right)

, que se anula en

m=-1

m=\tfrac12

. Para esos dos valores el sistema deja de ser compatible determinado.

El determinante de la matriz de coeficientes es

\det=2m^2+m-1=2(m+1)\left(m-\tfrac12\right)

. Si

m\neq-1

m\neq\tfrac12

el sistema es compatible determinado. En

m=-1

y en

m=\tfrac12

el determinante se anula y el sistema es compatible indeterminado (rango 2 de coeficientes y ampliada). Por ejemplo, para

m=\tfrac12

la tercera ecuación coincide con la primera y la solución es

(x,y,z)=\left(-\tfrac23\lambda,\;\lambda,\;1+\tfrac53\lambda\right)

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EVAU MAD 2022 — A.2Dificultat 3/5

Sea la función $f(x)=\begin{cases}x^3 e^{-1/x^2}&\text{si }x\neq0\\ 0&\text{si }x=0\end{cases}$ . Calcula la integral $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{f(x)}{x^6}\,dx$ .

e^{-1/4}-e^{-1}\approx 0{,}411

\tfrac12\left(e^{-1/4}-e^{-1}\right)\approx 0{,}205

\tfrac12\left(e^{-1}-e^{-1/4}\right)\approx -0{,}205

\tfrac12\left(e^{1/4}-e^{1}\right)\approx -0{,}717

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$\tfrac12\left(e^{-1/4}-e^{-1}\right)\approx 0{,}205$

Correcto.

\dfrac{f(x)}{x^6}=\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^3}

. Como

\left(e^{-1/x^2}\right)'=\dfrac{2}{x^3}e^{-1/x^2}

, una primitiva es

\tfrac12 e^{-1/x^2}

, y por Barrow vale

\tfrac12\left(e^{-1/4}-e^{-1}\right)\approx0{,}205

Para

x\neq0

\dfrac{f(x)}{x^6}=\dfrac{x^3 e^{-1/x^2}}{x^6}=\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^3}

. Como

\dfrac{d}{dx}\,e^{-1/x^2}=\dfrac{2}{x^3}e^{-1/x^2}

, una primitiva del integrando es

\tfrac12 e^{-1/x^2}

. Por la regla de Barrow:

\displaystyle\int_1^2\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^3}\,dx=\left[\tfrac12 e^{-1/x^2}\right]_1^2=\tfrac12\left(e^{-1/4}-e^{-1}\right)\approx0{,}205

. (La función original es continua y derivable en

x=0

y tiene simetría impar.)

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EVAU MAD 2022 — A.3Dificultat 3/5

Una partícula se desplaza sobre la recta $r\equiv\begin{cases}2x-y=10\\ x-z=-90\end{cases}$ . ¿En qué punto incide su trayectoria con el plano $z=0$ ?

(-90,\,-190,\,0)

(90,\,170,\,0)

(-90,\,190,\,0)

(0,\,-10,\,90)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(-90,\,-190,\,0)$

Correcto. Un vector director es

\vec{u}=(1,2,1)

. Con

z=0

, de

x-z=-90

sale

x=-90

, y de

2x-y=10

sale

y=2(-90)-10=-190

. El punto es

(-90,-190,0)

Un vector director de

r

\vec{u}=(1,2,1)

. Para hallar la incidencia con

z=0

, en

x-z=-90

se tiene

x=-90

; en

2x-y=10

se obtiene

y=2(-90)-10=-190

. El punto es

(-90,-190,0)

. (La posición más próxima al punto

P(1,1,1)

Q(-11,-32,79)

y el ángulo de

r

con el plano

x+y=2

\tfrac{\pi}{3}

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EVAU MAD 2022 — A.4Dificultat 3/5

El porcentaje de mujeres en los Consejos de Administración del Ibex-35 fue del $27{,}7\,\%$ . Se reúnen 10 de estos consejeros, $X\sim B(10;\,0{,}277)$ . Calcula la probabilidad de que exactamente la mitad ( $X=5$ ) sean mujeres.

\approx 0{,}00032

\approx 0{,}0413

\approx 0{,}0812

\approx 0{,}264

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\approx 0{,}0812$

Correcto.

P(X=5)=\binom{10}{5}\,0{,}277^{5}\,(1-0{,}277)^{5}=252\cdot0{,}277^{5}\cdot0{,}723^{5}\approx0{,}0812

Sea

X\sim B(10;\,0{,}277)

el número de mujeres entre 10 consejeros.

P(X=5)=\binom{10}{5}\,0{,}277^{5}\,(1-0{,}277)^{5}=252\cdot0{,}277^{5}\cdot0{,}723^{5}\approx0{,}0812

. (En los otros apartados:

P(\text{al menos un hombre})=1-0{,}277^{10}\approx0{,}99999

, y aproximando

B(200;0{,}277)\to N(55{,}4;6{,}33)

con corrección de continuidad,

P(X\geq70)\approx0{,}0129

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EVAU MAD 2022 — B.1Dificultat 3/5

Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se reparten 9450 € de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en 3 años al doble de la edad de Alicia, la edad de los tres juntos es 45 años y la diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es 420 €. ¿Cuántos años tiene Pablo?

14

años

16

años

15

años

18

años

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$16$ años

Correcto. Del sistema

x+y+z=45

x+y-2z=3

x-z=2

sale

x=16

y=15

z=14

. Pablo tiene 16 años.

Sean

x,y,z

las edades de Pablo, Alejandro y Alicia. El sistema es

x+y+z=45

x+y-2z=3

(porque

x+y=2z+3

) y

x-z=2

(la diferencia de dinero

420

€ equivale a

2

años, ya que se reparten

9450/45=210

€ por año). Resolviendo:

z=14

x=16

y=15

. Pablo tiene 16 años y recibe

16\cdot210=3360

€; Alejandro 15 años y

3150

€; Alicia 14 años y

2940

€.

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EVAU MAD 2022 — B.2Dificultat 3/5

Sea $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ . Calcula el área comprendida entre la gráfica de $f$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1,1]$ .

0

u²

\ln 2\approx 0{,}693

u²

\tfrac12\ln 2\approx 0{,}347

u²

\tfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571

u²

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$\ln 2\approx 0{,}693$ u²

Correcto.

f

es impar, así que el área es

2\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x}{x^2+1}\,dx=2\left[\tfrac12\ln(x^2+1)\right]_0^1=\ln2\approx0{,}693

u².

f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}

es impar, así que

\int_{-1}^{1}f=0

, pero el área geométrica es

2\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}\,dx

. La primitiva es

\tfrac12\ln(x^2+1)

, luego

2\left[\tfrac12\ln(x^2+1)\right]_0^1=\ln2\approx0{,}693

u². (Además

f

verifica Bolzano en

[-1,1]

con

f(-1)=-\tfrac12<0

f(1)=\tfrac12>0

, y tiene mínimo relativo en

x=-1

y máximo en

x=1

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EVAU MAD 2022 — B.3Dificultat 3/5

El plano $\pi\equiv x+y+z=1$ contiene la recta $r_1\equiv\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=1-\lambda\\ z=-1\end{cases}$ . Se busca, contenida en $\pi$ y pasando por $P(0,1,0)$ , la recta perpendicular a $r_1$ . ¿Cuál es un vector director de esa recta?

(-1,\,-1,\,2)

(1,\,-1,\,0)

(1,\,1,\,1)

(1,\,1,\,0)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(-1,\,-1,\,2)$

Correcto. El director de

r_1

\vec{v}=(1,-1,0)

y la normal de

\pi

\vec{n}=(1,1,1)

. La recta buscada lleva

\vec{v}\times\vec{n}=(-1,-1,2)

, perpendicular a

r_1

y contenida en

\pi

El director de

r_1

\vec{v}=(1,-1,0)

y la normal de

\pi

\vec{n}=(1,1,1)

. La recta buscada está en

\pi

y es perpendicular a

r_1

, luego su director es

\vec{v}\times\vec{n}=(1,-1,0)\times(1,1,1)=(-1,-1,2)

. En forma implícita:

\begin{cases}x+y+z=1\\ x-y=-1\end{cases}

(esta segunda impone

\vec{v}\cdot(x,y,z)

constante por

P

). Pasa por

P(0,1,0)

. La paralela

r_2

r_1

por

P

permite formar un cuadrado de área 3 u².

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EVAU MAD 2022 — B.4Dificultat 3/5

De una cesta con 6 sombreros blancos y 3 negros se elige uno al azar. Si es blanco, se toma un pañuelo de un cajón con 2 blancos, 2 negros y 5 de cuadros; si es negro, de otro cajón con 2 blancos, 4 negros y 4 de cuadros. Calcula la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que NO sea el del sombrero.

\tfrac{4}{27}\approx 0{,}148

\tfrac{31}{45}\approx 0{,}689

\tfrac{97}{135}\approx 0{,}719

\tfrac{38}{135}\approx 0{,}281

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\tfrac{97}{135}\approx 0{,}719$

Correcto. El suceso contrario es "el pañuelo es del mismo color que el sombrero":

P(Bb)+P(Nn)=\tfrac23\cdot\tfrac29+\tfrac13\cdot\tfrac{4}{10}=\tfrac{4}{27}+\tfrac{2}{15}=\tfrac{38}{135}

. Luego

P=1-\tfrac{38}{135}=\tfrac{97}{135}\approx0{,}719

El contrario de "el pañuelo tiene un color distinto al del sombrero" es "coinciden en color":

Bb

Nn

P(Bb)=\tfrac23\cdot\tfrac29=\tfrac{4}{27}

P(Nn)=\tfrac13\cdot\tfrac{4}{10}=\tfrac{2}{15}

. Su suma es

\tfrac{4}{27}+\tfrac{2}{15}=\tfrac{20}{135}+\tfrac{18}{135}=\tfrac{38}{135}

. Por tanto

P=1-\tfrac{38}{135}=\tfrac{97}{135}\approx0{,}719

. (Los pañuelos de cuadros llevan ambos colores, por lo que nunca coinciden exactamente con un sombrero de un solo color.)

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