EBAU La RiojaConvocatòria ordinaria

Matemáticas EBAU La Rioja 2024

Matemáticas II — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 5 ejercicios de entre los 10 propuestos

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EBAU RIO 2024 — Ej. 1Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 1 — Recta tangente a $y = \dfrac{1}{x}$

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva $y = \dfrac{1}{x}$ en el punto $\left(3, \dfrac{1}{3}\right)$ .

¿Cuál es esa recta?

y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}

y = \dfrac{1}{9}x

y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{3}

y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{1}{3}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}$

Correcto.

y' = -\dfrac{1}{x^2}

, así la pendiente en

x=3

m = -\dfrac{1}{9}

. La recta:

y - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{9}(x - 3)

, es decir

y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}

La recta tangente tiene como pendiente el valor de la derivada en el punto de tangencia. Para

y = \dfrac{1}{x} = x^{-1}

, la derivada es

y' = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}

. En

x = 3

m = -\dfrac{1}{9}

. Aplicando la ecuación punto-pendiente con

(3, \tfrac{1}{3})

y - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{9}(x - 3)

, de donde

y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}

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EBAU RIO 2024 — Ej. 1Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 1 — División del segmento por el punto de tangencia

La recta tangente a $y = \dfrac{1}{x}$ en $\left(3, \dfrac{1}{3}\right)$ es $y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}$ .

¿Dónde corta esta recta a los ejes de coordenadas?

\left(0, \dfrac{2}{3}\right)

(6, 0)

\left(0, \dfrac{1}{3}\right)

(3, 0)

(0, 2)

(6, 0)

\left(0, \dfrac{2}{3}\right)

(3, 0)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\left(0, \dfrac{2}{3}\right)$ y $(6, 0)$

Correcto. Corte con

OY

(

x=0

y = \dfrac{2}{3}

, punto

\left(0, \dfrac{2}{3}\right)

. Corte con

OX

(

y=0

0 = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = 6

, punto

(6, 0)

Para hallar los cortes de la recta

y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}

con los ejes: con el eje

OY

se hace

x = 0

, obteniendo

y = \dfrac{2}{3}

, es decir el punto

\left(0, \dfrac{2}{3}\right)

. Con el eje

OX

se hace

y = 0

0 = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}

, de donde

x = 6

, punto

(6, 0)

. El punto medio de estos dos cortes es

\left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{2/3+0}{2}\right) = \left(3, \dfrac{1}{3}\right)

, que coincide con el punto de tangencia: la tangente queda dividida en dos partes iguales por él.

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EBAU RIO 2024 — Ej. 9 (i)Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 9 (i) — Media y desviación a partir de puntuaciones tipificadas

En un examen, dos estudiantes obtuvieron puntuaciones tipificadas $z_1 = 0{,}6$ y $z_2 = -0{,}8$ , con notas reales de $94$ y $73$ , respectivamente.

¿Cuáles son la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$ del examen?

(Se usa $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .)

\mu = 85

\sigma = 15

\mu = 83{,}5

\sigma = 21

\mu = 85

\sigma = 21

\mu = 73

\sigma = 15

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\mu = 85$ , $\sigma = 15$

Correcto. Sistema:

94 = \mu + 0{,}6\sigma

73 = \mu - 0{,}8\sigma

. Restando:

21 = 1{,}4\sigma \Rightarrow \sigma = 15

; sustituyendo,

\mu = 94 - 0{,}6\cdot15 = 85

La tipificación cumple

x = \mu + z\sigma

. Cada estudiante da una ecuación:

94 = \mu + 0{,}6\sigma

73 = \mu - 0{,}8\sigma

. Restando la segunda de la primera se elimina

\mu

94 - 73 = (0{,}6 - (-0{,}8))\sigma

, es decir

21 = 1{,}4\sigma

, de donde

\sigma = 15

. Sustituyendo en la primera:

\mu = 94 - 0{,}6\cdot15 = 94 - 9 = 85

. La media del examen es

85

y la desviación típica

15

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EBAU RIO 2024 — Ej. 10Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 10 — Sucesos compatibles o incompatibles

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio con $P(A) = 0{,}27$ y $P(B) = 0{,}82$ :

¿Son $A$ y $B$ necesariamente compatibles o incompatibles?

ACompatibles (su intersección no es vacía)

BIncompatibles (intersección vacía)

CIndependientes

DContrarios (complementarios)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Compatibles (su intersección no es vacía)

Correcto. Como

P(A) + P(B) = 0{,}27 + 0{,}82 = 1{,}09 > 1

, necesariamente

A\cap B \neq \varnothing

(si fueran incompatibles, la suma no podría superar 1): son compatibles.

Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir,

A\cap B = \varnothing

P(A\cap B) = 0

. Si así fuera, se cumpliría

P(A\cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}27 + 0{,}82 = 1{,}09

. Pero una probabilidad nunca puede superar

1

, por lo que esto es imposible: necesariamente

A

B

se solapan (

P(A\cap B) > 0

). Por tanto,

A

B

son sucesos compatibles. (De hecho,

P(A\cap B) \ge 1{,}09 - 1 = 0{,}09

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EBAU RIO 2024 — Ej. 2Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 2 — Optimización: jardín rectangular en un semicírculo

En una finca con forma de semicírculo de radio 20 m se quiere inscribir un jardín rectangular con un lado sobre el diámetro y los dos vértices opuestos sobre la curva.

Si el rectángulo tiene base $2x$ (centrada en el diámetro) y altura $y$ , con $x^2 + y^2 = 20^2$ , ¿qué valor de $x$ maximiza el área?

x = 10\sqrt2 \approx 14{,}14\ \text{m}

x = 20\ \text{m}

x = 10\ \text{m}

x = 5\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x = 10\sqrt2 \approx 14{,}14\ \text{m}$

Correcto. Área

A = 2xy = 2x\sqrt{400 - x^2}

. Derivando e igualando a cero se obtiene

x = \dfrac{20}{\sqrt2} = 10\sqrt2 \approx 14{,}14\ \text{m}

(con

y = 10\sqrt2

también).

Con el rectángulo de base

2x

y altura

y

inscrito en el semicírculo de radio

20

, los vértices superiores cumplen

x^2 + y^2 = 400

, así que

y = \sqrt{400 - x^2}

. El área es

A(x) = 2x\sqrt{400 - x^2}

. Derivando:

A'(x) = 2\sqrt{400 - x^2} + 2x\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{400 - x^2}} = \dfrac{2(400 - 2x^2)}{\sqrt{400 - x^2}}

. Igualando a cero:

400 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 200 \Rightarrow x = 10\sqrt2 \approx 14{,}14\ \text{m}

. Entonces

y = \sqrt{400 - 200} = 10\sqrt2

, y el área máxima es

A = 2\cdot10\sqrt2\cdot10\sqrt2 = 400\ \text{m}^2

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EBAU RIO 2024 — Ej. 7 (i)Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 7 (i) — Tres planos que se cortan en un punto

Considera los planos $\pi_1: x + y + z = a - 1$ , $\pi_2: 2x + y + az = a$ y $\pi_3: x + ay + z = 1$ .

¿Para qué valores de $a$ los tres planos se cortan en un único punto?

APara

a \neq 1

a \neq 2

BSolo para

a = 1

CSolo para

a = 2

DPara cualquier valor de

a

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Para $a \neq 1$ y $a \neq 2$

Correcto. Los planos se cortan en un punto cuando el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo. Ese determinante se anula en

a = 1

a = 2

; por tanto, hay punto único para

a \neq 1

a \neq 2

Tres planos se cortan en un único punto cuando el sistema de tres ecuaciones es compatible determinado, lo que ocurre si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Para

\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 2&1&a \\ 1&a&1 \end{pmatrix}

, el determinante se anula en

a = 1

a = 2

(los valores críticos donde el rango baja). Por tanto, los tres planos se cortan en un único punto para todo

a \neq 1

a \neq 2

. En

a = 2

el sistema resulta compatible indeterminado (se cortan en una recta) y en

a = 1

incompatible (no se cortan).

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EBAU RIO 2024 — Ej. 3Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 3 — Función a partir de su integral

Se sabe que $\displaystyle\int f(x)\,dx = \ln\dfrac{(x-1)^3}{(x+2)^2} + k$ .

¿Cuál es la función $f(x)$ ?

f(x) = \dfrac{3}{x-1} - \dfrac{2}{x+2}

f(x) = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+2}

f(x) = \dfrac{3}{x-1} + \dfrac{2}{x+2}

f(x) = \ln\dfrac{(x-1)^3}{(x+2)^2}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$f(x) = \dfrac{3}{x-1} - \dfrac{2}{x+2}$

Correcto.

f(x)

es la derivada de la primitiva:

\dfrac{d}{dx}\left[3\ln(x-1) - 2\ln(x+2)\right] = \dfrac{3}{x-1} - \dfrac{2}{x+2}

Por la definición de integral indefinida, si

\int f(x)\,dx = F(x) + k

, entonces

f(x) = F'(x)

. Aplicando las propiedades del logaritmo, la primitiva es

F(x) = \ln\dfrac{(x-1)^3}{(x+2)^2} = 3\ln(x-1) - 2\ln(x+2)

. Derivando:

f(x) = F'(x) = \dfrac{3}{x-1} - \dfrac{2}{x+2}

. (Reduciéndola a común denominador,

f(x) = \dfrac{3(x+2) - 2(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{x+8}{(x-1)(x+2)}

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EBAU RIO 2024 — Ej. 5 (i)Dificultat 3/5

EBAU RIO 2024 — Ej. 5 (i) — Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible

Considera el sistema de dos ecuaciones: $\begin{cases} 2x - y + 2z = 1 \\ x + y - z = 3 \end{cases}$

¿Cuál de las siguientes ecuaciones, añadida al sistema, lo convierte en incompatible (sin solución)?

2x - y + 2z = 5

3x + z = 4

4x - 2y + 4z = 2

x - 2y + 3z = -2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$2x - y + 2z = 5$

Correcto.

2x - y + 2z = 5

tiene el mismo primer miembro que la 1.ª ecuación (

2x - y + 2z = 1

) pero distinto término independiente: contradicción → incompatible.

Un sistema es incompatible (sin solución) cuando contiene ecuaciones contradictorias. La primera ecuación dada es

2x - y + 2z = 1

. Si se añade

2x - y + 2z = 5

, se está exigiendo que la misma expresión

2x - y + 2z

valga a la vez

1

5

, lo cual es imposible: el sistema no tiene solución. Las otras opciones son combinaciones lineales de las ecuaciones originales (suma, doble, resta), por lo que solo añaden información redundante y dejan el sistema compatible.

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