EvAU Castilla-La ManchaConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Castilla-La Mancha 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Resuelve 4 de los 8 ejercicios propuestos (2,5 puntos cada uno)

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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8 exercicis a EureQuiz

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 2Dificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 2 — Optimización del envase

Una cooperativa de aceite quiere diseñar envases con forma de prisma de base cuadrada (lado $x$ , altura $h$ ) con un volumen fijo de $1\ \text{dm}^3$ y la mínima superficie total (incluidas las dos bases).

¿Cuál es el lado $x$ de la base que minimiza la superficie?

x = 1\ \text{dm}

x = 2\ \text{dm}

x = \sqrt[3]{2}\ \text{dm}

x = 0{,}5\ \text{dm}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x = 1\ \text{dm}$

Correcto. Con

V = x^2 h = 1

h = 1/x^2

. La superficie es

S = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + \dfrac{4}{x}

. Derivando,

S' = 4x - \dfrac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1\ \text{dm}

(cubo).

Restricción:

V = x^2 h = 1 \Rightarrow h = 1/x^2

. Superficie total (dos bases + cuatro caras):

S = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + \dfrac{4}{x}

. Derivando:

S'(x) = 4x - \dfrac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1\ \text{dm}

. Entonces

h = 1\ \text{dm}

: el envase óptimo es un cubo de arista

1\ \text{dm}

, con superficie

S = 6\ \text{dm}^2

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 2cDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 2c — Coste del envase óptimo

El envase óptimo de la cooperativa es un cubo de arista $1\ \text{dm}$ (volumen $1\ \text{dm}^3$ ), cuya superficie total es la mínima posible.

Si el material cuesta $5\ \text{€}$ por $\text{dm}^2$ , ¿cuál es el coste de cada envase?

30\ \text{€}

25\ \text{€}

5\ \text{€}

10\ \text{€}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$30\ \text{€}$

Correcto. La superficie de un cubo de arista

1\ \text{dm}

S = 6\cdot1^2 = 6\ \text{dm}^2

. El coste es

6\cdot5 = 30\ \text{€}

El envase óptimo es un cubo de arista

1\ \text{dm}

, con superficie total

S = 6\cdot1^2 = 6\ \text{dm}^2

. A un precio de

5\ \text{€/dm}^2

, el coste de cada envase es

6\cdot5 = 30\ \text{€}

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 3bDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 3b — Longitud de la viga

Carla une una viga cuyos extremos son los puntos $A(2, -1, 3)$ y $B(-2, 4, 5)$ .

¿Cuál es la longitud de la viga?

\sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71

45

\sqrt{29} \approx 5{,}39

\sqrt{41} \approx 6{,}40

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71$

Correcto.

\vec{AB} = (-4, 5, 2)

, así

|AB| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{16+25+4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71

La longitud de la viga es el módulo del vector

\vec{AB} = B - A = (-4, 5, 2)

. Por tanto

|AB| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{16+25+4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71

unidades.

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 5aDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 5a — Integral con cambio de variable

Calcula la integral indefinida $\displaystyle\int \sqrt{2x + 3}\ dx$ (sugerencia: cambio $u = 2x + 3$ ).

¿Cuál es una primitiva correcta?

\dfrac{1}{3}(2x+3)^{3/2} + C

\dfrac{2}{3}(2x+3)^{3/2} + C

\dfrac{1}{3}(2x+3)^{1/2} + C

(2x+3)^{3/2} + C

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\dfrac{1}{3}(2x+3)^{3/2} + C$

Correcto. Con

u = 2x+3

du = 2\,dx

\int u^{1/2}\dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2} = \dfrac{1}{3}(2x+3)^{3/2} + C

Con el cambio

u = 2x+3

du = 2\,dx

dx = du/2

\int \sqrt{2x+3}\,dx = \dfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2} + C = \dfrac{1}{3}(2x+3)^{3/2} + C

. Se puede comprobar derivando:

\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac13(2x+3)^{3/2}\right] = \dfrac13\cdot\dfrac32(2x+3)^{1/2}\cdot2 = (2x+3)^{1/2}

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 6aDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 6a — Función con extremo e inflexión

Halla los coeficientes de la función $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que tiene un extremo relativo en $x = 2$ y un punto de inflexión en $(1, 2)$ .

¿Cuál es el valor del coeficiente $b$ ?

b = -3

b = 3

b = -6

b = -2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$b = -3$

Correcto.

f''(x) = 6x + 2b

; la inflexión en

x = 1

6 + 2b = 0 \Rightarrow b = -3

Con

f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d

f'(x) = 3x^2 + 2bx + c

f''(x) = 6x + 2b

. El punto de inflexión en

x = 1

exige

f''(1) = 6 + 2b = 0 \Rightarrow b = -3

. (El extremo en

x = 2

f'(2) = 12 + 4b + c = 0 \Rightarrow c = 0

, y la inflexión

(1,2)

fija

d

con

f(1) = 2

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 6bDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 6b — Probabilidad de la unión

Dos sucesos $A$ y $B$ cumplen $P(A) = 0{,}2$ , $P(B) = 0{,}1$ y $P(A\cap B) = 0{,}3$ ... pero conviene comprobar con los datos del examen: $P(A) = 0{,}2$ , $P(B) = 0{,}1$ y $P(A\cup B) = 0{,}3$ .

¿Cuál es la probabilidad de la intersección $P(A\cap B)$ ?

0{,}3

0{,}2

0{,}1

0

Veure solució

Resposta correcta — opció D

$0$

Correcto. De

P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)

0{,}3 = 0{,}2 + 0{,}1 - P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B) = 0

Por la regla de la unión,

P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

. Despejando:

P(A\cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B) = 0{,}2 + 0{,}1 - 0{,}3 = 0

. Los sucesos

A

B

son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez).

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 8aDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 8a — Probabilidad total (premios del club)

En un club, cada socio practica un solo deporte: el $60\%$ juega al tenis, el $25\%$ practica natación y el resto ( $15\%$ ), golf. Han obtenido algún premio el $21\%$ de los tenistas, el $30\%$ de los nadadores y el $12\%$ de los golfistas.

¿Cuál es la probabilidad de que un socio elegido al azar haya obtenido algún premio?

P \approx 0{,}219

P = 0{,}21

P = 0{,}63

P \approx 0{,}189

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P \approx 0{,}219$

Correcto. Por el teorema de la probabilidad total:

P = 0{,}60\cdot0{,}21 + 0{,}25\cdot0{,}30 + 0{,}15\cdot0{,}12 = 0{,}126 + 0{,}075 + 0{,}018 = 0{,}219

Por el teorema de la probabilidad total, ponderando cada tasa de premio por la fracción de socios:

P(\text{premio}) = P(T)P(\text{premio}|T) + P(N)P(\text{premio}|N) + P(G)P(\text{premio}|G) = 0{,}60\cdot0{,}21 + 0{,}25\cdot0{,}30 + 0{,}15\cdot0{,}12 = 0{,}126 + 0{,}075 + 0{,}018 = 0{,}219

, es decir un

21{,}9\%

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 8bDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Ejercicio 8b — Distribución normal (tiempos)

El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media $\mu = 60$ minutos y desviación típica $\sigma = 8$ minutos.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?

Dato: $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ .

P \approx 0{,}1056

P \approx 0{,}8944

P = 0{,}25

P = 0{,}5

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P \approx 0{,}1056$

Correcto.

z = \dfrac{50-60}{8} = -1{,}25

P(X<50) = P(Z<-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056

(≈10,6 %).

Tipificando el umbral de 50 minutos:

z = \dfrac{50-60}{8} = -1{,}25

. Como la normal estándar es simétrica,

P(X<50) = P(Z<-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056

. Por tanto, alrededor del

10{,}6\%

de las personas sanas tarda menos de 50 minutos.

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