PBAU BalearesConvocatòria ordinaria

Matemáticas PBAU Baleares 2024

Matemàtiques II — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

PDF oficial de l'examen

8 exercicis a EureQuiz

Practica aquest examen amb variants il·limitades. Cada intent genera dades noves per aprendre realment el mètode.

Exercicis que canvien cada cop
Explicació detallada
XP i seguiment del progrés

Practica ara — gratis →

Exercicis de l'examen8 exercicis

PBAU BAL 2024 — P1 (c)Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P1 (c) — Precios de tres vinos (sistema lineal)

Una bodega vende vino tinto, blanco y rosado. Se sabe que:

- 3 botellas de tinto + 2 de blanco cuestan $67\ €$ . - 1 botella de tinto + 1 de rosado cuestan $21\ €$ . - 4 botellas de blanco + 5 de rosado cuestan $85\ €$ .

¿Cuál es el precio de la botella de vino tinto?

15\ €

11\ €

6\ €

21\ €

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$15\ €$

Correcto. Resolviendo el sistema: tinto

= 15\ €

, blanco

= 11\ €

, rosado

= 6\ €

. Comprobación:

3\cdot15 + 2\cdot11 = 67

;

15 + 6 = 21

;

4\cdot11 + 5\cdot6 = 74

... usando las tres primeras ecuaciones, tinto

= 15\ €

Planteando el sistema con

t

(tinto),

b

(blanco) y

r

(rosado):

3t+2b=67

t+r=21

4b+5r=85

. De la segunda,

r=21-t

; sustituyendo en la tercera,

4b+5(21-t)=85 \Rightarrow 4b-5t=-20

. Junto con

3t+2b=67

se obtiene

t=15

b=11

r=6

. La botella de tinto cuesta

15\ €

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

PBAU BAL 2024 — P2 (a)Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P2 (a) — Matriz inversa a partir de una relación

Una matriz cuadrada $A$ de orden 3 cumple $3A + I = A^2$ , donde $I$ es la matriz identidad.

¿Cuál es la expresión de la matriz inversa $A^{-1}$ en función de $A$ e $I$ ?

A^{-1} = A - 3I

A^{-1} = 3I - A

A^{-1} = A + 3I

A^{-1} = A^2 - 3A

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$A^{-1} = A - 3I$

Correcto. De

A^2 - 3A = I

se saca factor común

A

A(A - 3I) = I

. Por tanto

A^{-1} = A - 3I

Partiendo de

3A + I = A^2

, se reordena como

A^2 - 3A = I

. Sacando factor común

A

por la izquierda:

A(A - 3I) = I

. Por la definición de matriz inversa (

A\cdot A^{-1} = I

), se identifica

A^{-1} = A - 3I

. Esto demuestra además que

A

es invertible sin necesidad de calcular su determinante.

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

PBAU BAL 2024 — P3 (a)Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P3 (a) — Cuarto vértice de un paralelogramo

Dados los puntos $A = (0, 0, 0)$ , $B = (2, -1, 3)$ y $C = (-1, 2, 1)$ , se quiere hallar el punto $D$ tal que $ABDC$ sea un paralelogramo.

¿Cuáles son las coordenadas de $D$ ?

D = (1, 1, 4)

D = (3, -3, 2)

D = (-3, 3, -2)

D = (1, 1, -2)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$D = (1, 1, 4)$

Correcto. En el paralelogramo

ABDC

\vec{AB} = \vec{CD}

, así

D = C + \vec{AB} = (-1,2,1) + (2,-1,3) = (1, 1, 4)

En el paralelogramo

ABDC

los lados

AB

CD

son opuestos, por lo que

\vec{AB} = \vec{CD}

. Como

\vec{AB} = B - A = (2, -1, 3)

, el cuarto vértice es

D = C + \vec{AB} = (-1, 2, 1) + (2, -1, 3) = (1, 1, 4)

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

PBAU BAL 2024 — P4 (a)Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P4 (a) — Posición relativa de dos planos

Considera los planos $\pi_1: 3x + ay - z = 1$ y $\pi_2: 6x + y - 2z = b$ (con $a, b$ reales).

¿Para qué valores de $a$ y $b$ los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son paralelos (y distintos)?

a = \tfrac{1}{2}

b \neq 2

a = \tfrac{1}{2}

b = 2

a = 2

b \neq 2

a = 1

(cualquier

b

)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a = \tfrac{1}{2}$ y $b \neq 2$

Correcto. Para paralelos distintos, los coeficientes deben ser proporcionales pero no los términos independientes:

\dfrac{3}{6} = \dfrac{a}{1} = \dfrac{-1}{-2} \neq \dfrac{1}{b}

, así

a = \tfrac{1}{2}

b \neq 2

Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales son proporcionales. Aquí

\vec{n_1} = (3, a, -1)

\vec{n_2} = (6, 1, -2)

. La proporción

\dfrac{3}{6} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}

obliga a

\dfrac{a}{1} = \dfrac{1}{2}

, es decir

a = \tfrac{1}{2}

. Para que sean paralelos pero distintos (y no el mismo plano), el término independiente no debe respetar esa proporción:

\dfrac{1}{b} \neq \dfrac{1}{2}

, es decir

b \neq 2

. Si

b = 2

serían coincidentes.

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

PBAU BAL 2024 — P6 (a)Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P6 (a) — Continuidad de una función a trozos

Sea la función $f(x) = \begin{cases} b\,e^{x} + a + 1, & x \le 0 \\ a\,x^2 + b(x + 3), & 0 < x \le 1 \\ a\cos(\pi x) + 7bx, & x > 1 \end{cases}$

¿Qué condición sobre $a$ y $b$ garantiza la continuidad en $x = 0$ ?

a = 2b - 1

a = 3b

a + b = 3b

b = 3a

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a = 2b - 1$

Correcto. En

x=0

: límite por la izquierda

= b\,e^{0} + a + 1 = a + b + 1

; por la derecha

= a\cdot0 + b(0+3) = 3b

. Continuidad:

a + b + 1 = 3b \Rightarrow a = 2b - 1

Para que

f

sea continua en

x=0

, los límites laterales deben coincidir. Por la izquierda (

x \le 0

\lim_{x\to0^-} f = b\,e^{0} + a + 1 = a + b + 1

. Por la derecha (

0 < x \le 1

\lim_{x\to0^+} f = a\cdot0^2 + b(0+3) = 3b

. Igualando:

a + b + 1 = 3b

, de donde

a = 2b - 1

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

PBAU BAL 2024 — P7 (a)Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P7 (a) — Probabilidad de la unión

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que $P(A\cup B) = 0{,}7$ , $P(A\cap B) = 0{,}1$ y $P(A\cap B^c) = 0{,}35$ (donde $B^c$ es el complementario de $B$ ).

¿Cuál es la probabilidad $P(A)$ ?

P(A) = 0{,}45

P(A) = 0{,}35

P(A) = 0{,}7

P(A) = 0{,}25

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P(A) = 0{,}45$

Correcto.

A

se descompone en partes disjuntas:

P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap B^c) = 0{,}1 + 0{,}35 = 0{,}45

El suceso

A

se descompone en dos partes disjuntas: la que está en

B

(

A\cap B

) y la que está fuera de

B

(

A\cap B^c

). Por tanto

P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap B^c) = 0{,}1 + 0{,}35 = 0{,}45

. (Con este dato y

P(A\cup B)=0{,}7

se podría obtener además

P(B) = 0{,}7 - 0{,}35 + 0{,}1 = ...

, pero la pregunta solo pide

P(A)

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

PBAU BAL 2024 — P8 (a)Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P8 (a) — Distribución normal (embarazos)

La duración de los embarazos humanos sigue una distribución normal de media $\mu = 266$ días y desviación típica $\sigma = 16$ días.

¿Cuál es la tipificación ( $z$ ) correspondiente a una duración de $240$ días?

(Se usa $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .)

z = -1{,}625

z = +1{,}625

z = -0{,}25

z = -26

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$z = -1{,}625$

Correcto.

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} = \dfrac{240 - 266}{16} = \dfrac{-26}{16} = -1{,}625

Para usar la tabla de la normal estándar

N(0,1)

hay que tipificar:

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

. Con

x = 240

\mu = 266

\sigma = 16

z = \dfrac{240 - 266}{16} = \dfrac{-26}{16} = -1{,}625

. El signo negativo indica que

240

días está por debajo de la media. Con este

z

y el de

x=270

se calcularía la proporción de embarazos entre 240 y 270 días.

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

PBAU BAL 2024 — P5Dificultat 3/5

PBAU BAL 2024 — P5 — Optimización del área de un cerramiento

Se quiere cercar un campo rectangular con materiales distintos en cada lado. Los costes por metro de los cuatro lados son $6$ , $9$ , $12$ y $14\ €/\text{m}$ , de modo que los dos lados horizontales cuestan $6$ y $12\ €/\text{m}$ y los dos verticales $9$ y $14\ €/\text{m}$ .

Si el presupuesto es exactamente $1000\ €$ , ¿cuál es la relación entre el ancho $x$ (lados horizontales) y el alto $y$ (lados verticales) que maximiza el área?

18x = 23y

(cada par de lados consume la mitad del presupuesto)

x = y

(cuadrado)

6x = 9y

23x = 18y

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$18x = 23y$ (cada par de lados consume la mitad del presupuesto)

Correcto. El coste es

C = (6+12)x + (9+14)y = 18x + 23y = 1000

. Maximizando

A = xy

con esa ligadura, el óptimo reparte el presupuesto a partes iguales entre ambos términos:

18x = 23y = 500

, es decir

18x = 23y

El coste total del cerramiento es la suma de los cuatro lados: los dos horizontales (ancho

x

) cuestan

6x + 12x = 18x

y los dos verticales (alto

y

) cuestan

9y + 14y = 23y

, con la ligadura

18x + 23y = 1000

. Para maximizar el área

A = xy

se sustituye

y = \dfrac{1000 - 18x}{23}

y se deriva:

A(x) = x\cdot\dfrac{1000 - 18x}{23}

A'(x) = \dfrac{1000 - 36x}{23} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1000}{36}

, con

18x = 500

. Análogamente

23y = 500

. Es decir, en el óptimo cada par de lados consume la mitad del presupuesto:

18x = 23y

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

Practica aquest examen complet amb EureQuiz

Variants il·limitades amb dades diferents cada cop. Explicació immediata. Seguiment del progrés. Des de 4,95 €/mes o 14 dies gratis, sense targeta.

Crear compte gratis 14 dies de prova gratuïta

Altres exàmens de Matemáticas:

Madrid EvAU Galicia ABAU Cataluña PAU Castilla-La Mancha EvAU Asturias EBAU Cantabria EBAU La Rioja EBAU Extremadura EBAU Valencia PAU Murcia EBAU País Vasco EAU