EBAU AsturiasConvocatòria ordinaria

Matemáticas EBAU Asturias 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Responde 4 de 8 preguntas (2,5 puntos cada una)

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

PDF oficial de l'examen

8 exercicis a EureQuiz

Practica aquest examen amb variants il·limitades. Cada intent genera dades noves per aprendre realment el mètode.

Exercicis que canvien cada cop
Explicació detallada
XP i seguiment del progrés

Practica ara — gratis →

Exercicis de l'examen8 exercicis

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 1bDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 1b — Sistema de la protectora de animales

En una protectora con tres razas de perros, el consumo semanal por perro es: raza 1 → 2 uds de $A$ + 1 de $C$ ; raza 2 → 1 ud de $A$ + 1 de $C$ ; raza 3 → 3 uds de $A$ + 1 de $B$ + 3 de $C$ . Cada semana se compran (y consumen) 410 uds de $A$ , 30 de $B$ y 310 de $C$ .

Siendo $x, y, z$ el número de perros de cada raza, el sistema es $\begin{cases} 2x + y + 3z = 410 \\ z = 30 \\ x + y + 3z = 310 \end{cases}$ . ¿Cuántos perros hay de la raza 1 ( $x$ )?

x = 100

perros

x = 30

perros

x = 120

perros

x = 90

perros

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x = 100$ perros

Correcto. De

z = 30

(alimento

B

). Restando las ecuaciones de

A

C

(2x+y+3z) - (x+y+3z) = x = 410 - 310 = 100

. Así

x = 100

perros de la raza 1.

El sistema es

\begin{cases} 2x + y + 3z = 410 \\ z = 30 \\ x + y + 3z = 310 \end{cases}

. La segunda ecuación da

z = 30

(solo la raza 3 consume

B

). Restando la tercera de la primera:

(2x+y+3z) - (x+y+3z) = x = 410 - 310 = 100

. Sustituyendo en la tercera:

100 + y + 90 = 310 \Rightarrow y = 120

... revisando con los datos, la solución del sistema es

x = 100

z = 30

. La raza 1 tiene

x = 100

perros.

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 2bDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 2b — Determinante de un producto

Sea $A$ una matriz $3\times3$ con $\det(A) = -1$ (para $x = 1$ ) y $B$ otra matriz $3\times3$ con $\det(B) = 5$ .

¿Cuál es el valor de $\det\!\left(\dfrac{1}{5}AB\right)$ ?

-\dfrac{1}{25} = -0{,}04

-5

-1

-0{,}2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$-\dfrac{1}{25} = -0{,}04$

Correcto.

\det(AB) = \det(A)\det(B) = (-1)\cdot5 = -5

. Al multiplicar una matriz

3\times3

por

\tfrac15

\det\!\left(\tfrac15 AB\right) = \left(\tfrac15\right)^3\det(AB) = \dfrac{1}{125}\cdot(-5) = -\dfrac{1}{25} = -0{,}04

Por las propiedades del determinante:

\det(AB) = \det(A)\det(B) = (-1)\cdot5 = -5

. Para una matriz

n\times n

multiplicada por un escalar

k

\det(kM) = k^n\det(M)

; con

n = 3

k = \tfrac15

\det\!\left(\tfrac15 AB\right) = \left(\tfrac15\right)^3\cdot(-5) = \dfrac{-5}{125} = -\dfrac{1}{25} = -0{,}04

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 3aDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 3a — Asíntotas de una función racional

Se considera la función $f(x) = \dfrac{x - 4}{1 - x}$ .

¿Cuáles son sus asíntotas?

AVertical

x = 1

y horizontal

y = -1

BVertical

x = 4

y horizontal

y = -1

CVertical

x = 1

y horizontal

y = 1

DVertical

x = 1

y oblicua

y = x

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Vertical $x = 1$ y horizontal $y = -1$

Correcto. El denominador se anula en

x = 1

: asíntota vertical

x = 1

. Como el grado del numerador y el denominador es 1, hay asíntota horizontal en el cociente de coeficientes principales:

y = \dfrac{1}{-1} = -1

Para

f(x) = \dfrac{x-4}{1-x}

: el denominador se anula en

x = 1

, que es la asíntota vertical (el numerador vale

-3 \neq 0

ahí). Como numerador y denominador tienen el mismo grado (1), la asíntota horizontal es el cociente de coeficientes principales:

y = \dfrac{1}{-1} = -1

. No hay asíntota oblicua (solo aparecen cuando el numerador supera en un grado al denominador).

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 5bDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 5b — Área de un triángulo en el espacio

Calcula el área del triángulo cuyos vértices son $A(0, -1, 1)$ , $C(-2, -3, 1)$ y el origen $O(0, 0, 0)$ .

\text{Área} = \sqrt{3} \approx 1{,}73

\text{Área} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46

\text{Área} = 12

\text{Área} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\text{Área} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$

Correcto.

\vec{OA} = (0,-1,1)

\vec{OC} = (-2,-3,1)

. El producto vectorial es

\vec{OA}\times\vec{OC} = (-1\cdot1 - 1\cdot(-3),\ 1\cdot(-2) - 0\cdot1,\ 0\cdot(-3) - (-1)(-2)) = (2, -2, -2)

, módulo

\sqrt{12} = 2\sqrt{3}

. Área

= \tfrac12\cdot2\sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1{,}73

El área de un triángulo de vértices

O

A

C

\tfrac12|\vec{OA}\times\vec{OC}|

. Con

\vec{OA} = (0,-1,1)

\vec{OC} = (-2,-3,1)

\vec{OA}\times\vec{OC} = (2, -2, -2)

, cuyo módulo es

\sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt3

. El área del triángulo es la mitad:

\tfrac12\cdot2\sqrt3 = \sqrt3 \approx 1{,}73

unidades cuadradas.

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 7aDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 7a — Probabilidad total (cursos de empresa)

En una empresa, el $55\%$ de los trabajadores ha hecho el curso "ChatGPT". De los que lo hicieron, el $30\%$ hizo también "IA". De los que NO hicieron ChatGPT, el $40\%$ hizo "IA".

¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador elegido al azar haya hecho el curso "IA"?

P(\text{IA}) = 0{,}345

P(\text{IA}) = 0{,}30

P(\text{IA}) = 0{,}70

P(\text{IA}) = 0{,}385

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P(\text{IA}) = 0{,}345$

Correcto. Por la probabilidad total:

P(\text{IA}) = 0{,}55\cdot0{,}30 + 0{,}45\cdot0{,}40 = 0{,}165 + 0{,}18 = 0{,}345

Por el teorema de la probabilidad total, separando según hayan hecho o no ChatGPT:

P(\text{IA}) = P(\text{ChatGPT})\,P(\text{IA}|\text{ChatGPT}) + P(\overline{\text{ChatGPT}})\,P(\text{IA}|\overline{\text{ChatGPT}}) = 0{,}55\cdot0{,}30 + 0{,}45\cdot0{,}40 = 0{,}165 + 0{,}18 = 0{,}345

, es decir un

34{,}5\%

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 8aDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 8a — Probabilidad de la unión (tipos de café)

Una empresa cafetera encuesta a 10000 personas: 8000 compran café torrefacto ( $T$ ), 4000 café natural ( $N$ ) y 3000 ambos tipos.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar compre alguno de los dos tipos de café?

P(T\cup N) = 0{,}9

P(T\cup N) = 1{,}2

P(T\cup N) = 0{,}7

P(T\cup N) = 0{,}3

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P(T\cup N) = 0{,}9$

Correcto.

P(T) = 0{,}8

P(N) = 0{,}4

P(T\cap N) = 0{,}3

P(T\cup N) = P(T) + P(N) - P(T\cap N) = 0{,}8 + 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}9

Pasando a probabilidades:

P(T) = 8000/10000 = 0{,}8

P(N) = 4000/10000 = 0{,}4

P(T\cap N) = 3000/10000 = 0{,}3

. Por la regla de la unión:

P(T\cup N) = P(T) + P(N) - P(T\cap N) = 0{,}8 + 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}9

. Se resta la intersección para no contar dos veces a quienes compran ambos tipos.

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 8cDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 8c — Distribución binomial (café natural)

La probabilidad de que una persona compre café natural es $p = 0{,}4$ . Se seleccionan al azar 10 personas (con reemplazo).

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 compren café natural? Usa $X \sim B(10,\ 0{,}4)$ .

P(X=5) \approx 0{,}201

P(X=5) = 0{,}4

P(X=5) = 0{,}5

P(X=5) \approx 0{,}0008

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P(X=5) \approx 0{,}201$

Correcto.

P(X=5) = \dbinom{10}{5}(0{,}4)^5(0{,}6)^5 = 252\cdot0{,}01024\cdot0{,}07776 \approx 0{,}201

El número de personas que compran café natural entre 10 sigue una binomial

X \sim B(10,\ 0{,}4)

. La probabilidad de exactamente 5 éxitos es

P(X=5) = \dbinom{10}{5}(0{,}4)^5(0{,}6)^5 = 252\cdot0{,}01024\cdot0{,}07776 \approx 0{,}201

, es decir un

20{,}1\%

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 8bDificultat 3/5

EBAU Asturias 2024 — Pregunta 8b — Aproximación normal a la binomial

Se pregunta a $n = 100$ personas si compran café natural ( $p = 0{,}4$ ). Para $X \sim B(100,\ 0{,}4)$ se aproxima por una normal.

¿Cuáles son la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$ de esa normal aproximada?

\mu = 40

\sigma \approx 4{,}9

\mu = 40

\sigma = 24

\mu = 40

\sigma = 6

\mu = 60

\sigma \approx 4{,}9

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\mu = 40$ , $\sigma \approx 4{,}9$

Correcto.

\mu = np = 100\cdot0{,}4 = 40

\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100\cdot0{,}4\cdot0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}9

Para una binomial

X \sim B(n, p)

con

n = 100

p = 0{,}4

, la media es

\mu = np = 40

y la varianza

\sigma^2 = np(1-p) = 100\cdot0{,}4\cdot0{,}6 = 24

, de donde la desviación típica es

\sigma = \sqrt{24} \approx 4{,}9

. Con estos parámetros se aproxima

X

por una normal

N(40,\ 4{,}9)

para calcular probabilidades acumuladas.

Practica variants amb dades diferents a EureQuiz

Practica gratis →

Practica aquest examen complet amb EureQuiz

Variants il·limitades amb dades diferents cada cop. Explicació immediata. Seguiment del progrés. Des de 4,95 €/mes o 14 dies gratis, sense targeta.

Crear compte gratis 14 dies de prova gratuïta

Altres exàmens de Matemáticas:

Madrid EvAU Galicia ABAU Cataluña PAU Castilla-La Mancha EvAU Baleares PBAU Cantabria EBAU La Rioja EBAU Extremadura EBAU Valencia PAU Murcia EBAU País Vasco EAU