EvAU MadridConvocatòria ordinaria

Física EvAU Madrid 2023

Física — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 5 de 10 preguntas (opción A o B)

Blocs temàtics

Mecánica y gravitación
Campo eléctrico
Campo magnético
Ondas y óptica
Física del siglo XX

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10 exercicis a EureQuiz

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Exercicis de l'examen10 exercicis

EVAU MAD 2023 — A.1Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — A.1 — Órbita circular alrededor de Fomalhaut II

Un cuerpo orbita en una trayectoria circular alrededor del planeta Fomalhaut II ( $M = 10^{23}\ \text{kg}$ , radio $R = 5000\ \text{km} = 5\times10^6\ \text{m}$ ) con un período de $T = 4{,}36\ \text{h} = 15\,696\ \text{s}$ .

¿Cuál es la altura de la órbita sobre la superficie de Fomalhaut II?

Dato: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

h \approx 1{,}11\times10^7\ \text{m}

h \approx 1{,}607\times10^7\ \text{m}

h \approx 5\times10^6\ \text{m}

h \approx 6\times10^6\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$h \approx 1{,}11\times10^7\ \text{m}$

Correcto. De la 3.ª ley de Kepler,

r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2} = 4{,}14\times10^{21}\ \text{m}^3

, así

r = 1{,}607\times10^7\ \text{m}

. La altura es

h = r - R = 1{,}607\times10^7 - 5\times10^6 = 1{,}11\times10^7\ \text{m}

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la centrípeta, lo que conduce a la 3.ª ley de Kepler:

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3

. Despejando

r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot10^{23}\cdot(15\,696)^2}{4\pi^2} = 4{,}14\times10^{21}\ \text{m}^3

, de donde

r = 1{,}607\times10^7\ \text{m}

. La altura sobre la superficie es

h = r - R = 1{,}607\times10^7 - 5\times10^6 = 1{,}11\times10^7\ \text{m}

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EVAU MAD 2023 — A.2Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — A.2 — Onda transversal en una cuerda

Una onda transversal se propaga en el sentido $+x$ a una velocidad $v = 20\ \text{m/s}$ . La elongación de un punto situado en $x = 0{,}5\ \text{m}$ es $y(t) = 2{,}5\,\cos(10\pi t)\ \text{cm}$ .

¿Cuál es la longitud de onda de la onda?

\lambda = 4\ \text{m}

\lambda = 2\ \text{m}

\lambda = 1\ \text{m}

\lambda = 8\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\lambda = 4\ \text{m}$

Correcto. De

\omega = 10\pi\ \text{rad/s}

T = 2\pi/\omega = 0{,}2\ \text{s}

. Entonces

\lambda = vT = 20\cdot0{,}2 = 4\ \text{m}

El argumento del coseno da la frecuencia angular

\omega = 10\pi\ \text{rad/s}

, de donde el período es

T = 2\pi/\omega = 0{,}2\ \text{s}

. La longitud de onda relaciona la velocidad de propagación con el período:

\lambda = vT = 20\cdot0{,}2 = 4\ \text{m}

. (El número de onda sería

k = 2\pi/\lambda = \pi/2\ \text{rad/m}

, coherente con la onda

y(x,t) = 2{,}5\cos(10\pi t - \tfrac{\pi}{2}x + \tfrac{\pi}{4})\ \text{cm}

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EVAU MAD 2023 — A.3Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — A.3 — Espira cuadrada en campo magnético variable

Una espira cuadrada gira en un campo magnético de $B = 400\ \text{mT} = 0{,}4\ \text{T}$ con período $T = 0{,}5\ \text{s}$ . El flujo magnético máximo a través de la espira es $\Phi_{max} = 1{,}6\times10^{-2}\ \text{T·m}^2$ .

¿Cuál es el lado de la espira?

l = 0{,}2\ \text{m}

(20 cm)

l = 0{,}04\ \text{m}

l = 0{,}16\ \text{m}

l = 0{,}4\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$l = 0{,}2\ \text{m}$ (20 cm)

Correcto. El área es

A = \Phi_{max}/B = 1{,}6\times10^{-2}/0{,}4 = 0{,}04\ \text{m}^2

. Como es cuadrada, el lado es

l = \sqrt{A} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\ \text{m}

El flujo magnético máximo a través de la espira (cuando su plano es perpendicular a

\vec{B}

) es

\Phi_{max} = B\cdot A

. Despejando el área:

A = \Phi_{max}/B = 1{,}6\times10^{-2}/0{,}4 = 0{,}04\ \text{m}^2

. Como la espira es cuadrada,

A = l^2

, así que el lado es

l = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\ \text{m}

. La FEM inducida sería

\varepsilon = \Phi_{max}\,\omega\,\sin(\omega t)

con

\omega = 2\pi/T = 4\pi\ \text{rad/s}

, de amplitud

\approx 0{,}20\ \text{V}

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EVAU MAD 2023 — A.4Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — A.4 — Lente que forma imagen virtual

Un objeto de 2 cm de altura se sitúa a 3 cm de una lente. La imagen obtenida es virtual, derecha y mide 3 cm de altura (situación A).

¿Cuál es la distancia focal de la lente en esa situación?

f = 9\ \text{cm}

f = 4{,}5\ \text{cm}

f = 6\ \text{cm}

f = 12\ \text{cm}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$f = 9\ \text{cm}$

Correcto. El aumento es

m = h'/h = 3/2 = 1{,}5

, así

s' = 1{,}5\,s

. Con

s = -3\ \text{cm}

s' = -4{,}5\ \text{cm}

(virtual). De

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f}

\frac{1}{f} = \frac{1}{-4{,}5} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{9}

, luego

f = 9\ \text{cm}

El aumento lateral es

m = h'/h = 3/2 = 1{,}5

, y como

m = s'/s

se tiene

s' = 1{,}5\,s

. Con el objeto real a

s = -3\ \text{cm}

, la imagen está en

s' = -4{,}5\ \text{cm}

(negativa, es decir, virtual y en el mismo lado que el objeto:

m = (-4{,}5)/(-3) = +1{,}5

, derecha). Aplicando la ecuación de la lente delgada

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f}

\frac{1}{f} = \frac{1}{-4{,}5} - \frac{1}{-3} = -\frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{1}{9}

, por tanto

f = 9\ \text{cm}

(lente convergente con el objeto entre el foco y la lente).

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EVAU MAD 2023 — A.5Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — A.5 — Efecto fotoeléctrico en magnesio

El magnesio tiene una longitud de onda umbral de $\lambda_0 = 339\ \text{nm}$ . Se ilumina con luz de frecuencia $f = 1{,}0\times10^{15}\ \text{Hz}$ .

¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones, expresada en eV?

Datos: $h = 6{,}63\times10^{-34}\ \text{J·s}$ ; $c = 3\times10^8\ \text{m/s}$ ; $1\ \text{eV} = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}$ .

E_k \approx 0{,}48\ \text{eV}

E_k \approx 3{,}66\ \text{eV}

E_k \approx 4{,}14\ \text{eV}

E_k \approx 0{,}24\ \text{eV}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$E_k \approx 0{,}48\ \text{eV}$

Correcto.

W = hc/\lambda_0 = 5{,}86\times10^{-19}\ \text{J} = 3{,}66\ \text{eV}

E_k = hf - W = 6{,}63\times10^{-19} - 5{,}86\times10^{-19} = 7{,}7\times10^{-20}\ \text{J} \approx 0{,}48\ \text{eV}

La función de trabajo del metal se obtiene de la longitud de onda umbral:

W = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot3\times10^8}{339\times10^{-9}} = 5{,}86\times10^{-19}\ \text{J} = 3{,}66\ \text{eV}

. La energía del fotón incidente es

hf = 6{,}63\times10^{-34}\cdot1{,}0\times10^{15} = 6{,}63\times10^{-19}\ \text{J} = 4{,}14\ \text{eV}

. Por la ecuación de Einstein:

E_k = hf - W = 6{,}63\times10^{-19} - 5{,}86\times10^{-19} = 7{,}7\times10^{-20}\ \text{J} \approx 0{,}48\ \text{eV}

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EVAU MAD 2023 — B.1Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — B.1 — Campo gravitatorio de una partícula

Una partícula de masa $m_1 = 5\times10^{-4}\ \text{kg}$ está situada en el punto $(6, 8)\ \text{cm}$ .

¿Qué módulo tiene el campo gravitatorio que genera esta partícula en el origen de coordenadas?

Dato: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

g \approx 3{,}335\times10^{-6}\ \text{N/kg}

g \approx 6{,}67\times10^{-6}\ \text{N/kg}

g \approx 1{,}67\times10^{-6}\ \text{N/kg}

g \approx 5{,}0\times10^{-7}\ \text{N/kg}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$g \approx 3{,}335\times10^{-6}\ \text{N/kg}$

Correcto. La distancia es

r = \sqrt{6^2 + 8^2}\ \text{cm} = 10\ \text{cm} = 0{,}10\ \text{m}

. El campo es

g = \frac{Gm_1}{r^2} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5\times10^{-4}}{0{,}01} = 3{,}335\times10^{-6}\ \text{N/kg}

El módulo del campo gravitatorio creado por una masa puntual es

g = \frac{Gm}{r^2}

. La distancia del punto

(6, 8)\ \text{cm}

al origen es

r = \sqrt{6^2 + 8^2}\ \text{cm} = 10\ \text{cm} = 0{,}10\ \text{m}

. Por tanto:

g = \frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5\times10^{-4}}{(0{,}10)^2} = \frac{3{,}335\times10^{-14}}{0{,}01} = 3{,}335\times10^{-6}\ \text{N/kg}

, dirigido del origen hacia la partícula.

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EVAU MAD 2023 — B.2Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — B.2 — Coro semicircular

Un coro de 12 cantantes se dispone en un semicírculo de radio $R$ . Cada cantante emite, individualmente, un nivel sonoro de 90 dB medido a 1 m de distancia. En el centro del semicírculo se mide un nivel sonoro conjunto de 88,72 dB.

¿Cuál es la potencia sonora de cada cantante?

Dato: intensidad umbral $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$ .

P \approx 12{,}6\ \text{mW}

P \approx 25\ \text{mW}

P \approx 6\ \text{mW}

P \approx 1\ \text{mW}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P \approx 12{,}6\ \text{mW}$

Correcto. A 90 dB,

I = 10^{-3}\ \text{W/m}^2

a 1 m. La potencia es

P = I\cdot4\pi r^2 = 10^{-3}\cdot4\pi\cdot1^2 = 1{,}26\times10^{-2}\ \text{W} \approx 12{,}6\ \text{mW}

El nivel de intensidad de 90 dB medido a 1 m fija la intensidad:

I = I_0\cdot10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot10^{9} = 10^{-3}\ \text{W/m}^2

. Como cada cantante es una fuente puntual que emite en todas direcciones, su potencia es

P = I\cdot4\pi r^2 = 10^{-3}\cdot4\pi\cdot(1)^2 = 1{,}26\times10^{-2}\ \text{W} \approx 12{,}6\ \text{mW}

. (Con esa potencia y los 12 cantantes, el nivel conjunto de 88,72 dB en el centro permite despejar el radio

R \approx 4\ \text{m}

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EVAU MAD 2023 — B.3Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — B.3 — Trabajo eléctrico para traer una carga

Dos cargas fijas: $q_1 = -3\ \mu\text{C}$ en $(-2, 0)\ \text{m}$ y $q_2 = +2\ \mu\text{C}$ en $(3, 0)\ \text{m}$ . Se trae una tercera carga $q_3 = +4\ \mu\text{C}$ desde el infinito hasta el punto $(0, 4)\ \text{m}$ .

¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico en ese traslado?

Dato: $K = 9\times10^9\ \text{N m}^2\ \text{C}^{-2}$ .

W \approx -9{,}8\times10^{-3}\ \text{J}

W \approx +9{,}8\times10^{-3}\ \text{J}

W \approx -4{,}9\times10^{-3}\ \text{J}

W \approx -19{,}5\times10^{-3}\ \text{J}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$W \approx -9{,}8\times10^{-3}\ \text{J}$

Correcto.

V(0,4) = K\frac{q_1}{\sqrt{20}} + K\frac{q_2}{5} = -6{,}04\times10^3 + 3{,}6\times10^3 = -2{,}44\times10^3\ \text{V}

W_{campo} = q_3\,V = 4\times10^{-6}\cdot(-2{,}44\times10^3) \approx -9{,}8\times10^{-3}\ \text{J}

El potencial eléctrico es escalar y se suma directamente. Distancias al punto

(0,4)

r_1 = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20}\ \text{m}

r_2 = \sqrt{3^2+4^2} = 5\ \text{m}

. Potencial total:

V = K\frac{q_1}{r_1} + K\frac{q_2}{r_2} = 9\times10^9\big(\frac{-3\times10^{-6}}{\sqrt{20}} + \frac{2\times10^{-6}}{5}\big) = -6{,}04\times10^3 + 3{,}6\times10^3 = -2{,}44\times10^3\ \text{V}

. El trabajo del campo al traer

q_3

desde el infinito (donde

V_\infty = 0

) es

W_{campo} = q_3\,(V_\infty - V)\cdot(-1)= q_3\,V = 4\times10^{-6}\cdot(-2{,}44\times10^3) \approx -9{,}8\times10^{-3}\ \text{J}

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EVAU MAD 2023 — B.4Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — B.4 — Refracción en un prisma

Un rayo de luz horizontal incide sobre la cara de un prisma de vidrio ( $n = 1{,}33$ ) correspondiente al ángulo de 30° (triángulo rectángulo 30°-60°). El ángulo de incidencia del rayo respecto a la normal de esa cara es de 60°.

¿Cuál es el ángulo de refracción al pasar del aire al vidrio?

Dato: índice de refracción del aire $n_{aire} = 1$ .

\theta_2 \approx 40{,}6°

\theta_2 = 30°

\theta_2 = 45°

\theta_2 \approx 35°

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\theta_2 \approx 40{,}6°$

Correcto. Por la ley de Snell,

n_{aire}\sin 60° = n\sin\theta_2

\sin\theta_2 = \frac{\sin 60°}{1{,}33} = \frac{0{,}866}{1{,}33} = 0{,}651

, de donde

\theta_2 = 40{,}6°

En la cara de entrada del prisma se aplica la ley de Snell de la refracción:

n_{aire}\sin\theta_1 = n_{vidrio}\sin\theta_2

. Con

\theta_1 = 60°

(ángulo del rayo respecto a la normal de esa cara),

n_{aire} = 1

n_{vidrio} = 1{,}33

\sin\theta_2 = \frac{1\cdot\sin 60°}{1{,}33} = \frac{0{,}866}{1{,}33} = 0{,}651

, de donde

\theta_2 = \arcsin(0{,}651) = 40{,}6°

. Al pasar a un medio más denso el rayo se acerca a la normal (

\theta_2 < \theta_1

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EVAU MAD 2023 — B.5Dificultat 3/5

EVAU MAD 2023 — B.5 — Desintegración del radón-222

El radón-222 ( $^{222}\text{Rn}$ ) tiene un período de semidesintegración de $T_{1/2} = 3{,}82\ \text{días} = 330\,048\ \text{s}$ . Se estudia el aire de un recinto de $V = 20\ \text{m}^3$ con un límite de 300 Bq/m³.

¿Cuál es la constante de desintegración del $^{222}\text{Rn}$ , en $\text{s}^{-1}$ ?

\lambda \approx 2{,}10\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}

\lambda \approx 4{,}20\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}

\lambda \approx 1{,}05\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}

\lambda \approx 3{,}82\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\lambda \approx 2{,}10\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}$

Correcto.

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{330\,048} = 2{,}10\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}

La constante de desintegración

\lambda

se obtiene del período de semidesintegración: como

N = N_0 e^{-\lambda t}

y en

t = T_{1/2}

queda la mitad (

N = N_0/2

), resulta

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

. Con

T_{1/2} = 330\,048\ \text{s}

\lambda = \frac{0{,}693}{330\,048} = 2{,}10\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}

. Esta

\lambda

permite luego relacionar actividad y número de átomos mediante

A = \lambda N

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