Física EvAU Madrid 2022

EVAU MAD 2022 — A.1Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.1 — Campo gravitatorio de una masa puntual

Una partícula de masa $M = 20\ \text{kg}$ permanece fija en el origen de coordenadas. Una segunda partícula de masa $3\ \text{kg}$ se sitúa en el punto $(8,\ 6)\ \text{m}$ .

¿Cuál es el módulo del campo gravitatorio creado por la masa fija en el punto $(8,\ 6)\ \text{m}$ ?

Dato: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

A

g = 1{,}334\times10^{-11}\ \text{N/kg}

B

g = 6{,}67\times10^{-12}\ \text{N/kg}

C

g = 2{,}0\times10^{-11}\ \text{N/kg}

D

g = 4{,}0\times10^{-11}\ \text{N}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$g = 1{,}334\times10^{-11}\ \text{N/kg}$

Correcto. La distancia al origen es

r = \sqrt{8^2+6^2} = 10\ \text{m}

, así que

g = GM/r^2 = 6{,}67\times10^{-11}\cdot20/100 = 1{,}334\times10^{-11}\ \text{N/kg}

.

La distancia del origen al punto

(8,\ 6)

es

r = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{m}

. El módulo del campo gravitatorio creado por la masa de 20 kg es

g = \dfrac{GM}{r^2} = \dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot20}{10^2} = 1{,}334\times10^{-11}\ \text{N/kg}

, dirigido hacia el origen. La fuerza sobre la masa de 3 kg sería

F = m\,g = 3\cdot1{,}334\times10^{-11} = 4{,}0\times10^{-11}\ \text{N}

. (En el apartado b, con

v_0 = 1{,}2\times10^{-5}\ \text{m/s} < v_e = \sqrt{2GM/r} = 1{,}63\times10^{-5}\ \text{m/s}

, la partícula no escapa y alcanza un máximo en

r_{max} \approx 21{,}7\ \text{m}

.)

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EVAU MAD 2022 — A.2Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.2 — Onda armónica en una cuerda

Por una cuerda a lo largo del eje $x$ viaja una onda armónica transversal. Los elementos $A$ (en $x = 0\ \text{m}$ ) y $B$ (en $x = 2\ \text{m}$ ) oscilan en fase y cortan al eje $x$ cada $4\ \text{s}$ . Entre $A$ y $B$ no hay ningún otro elemento que oscile en fase con ellos.

¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?

A

v = 0{,}25\ \text{m/s}

B

v = 0{,}5\ \text{m/s}

C

v = 2\ \text{m/s}

D

v = 0{,}125\ \text{m/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$v = 0{,}25\ \text{m/s}$

Correcto. Cortar el eje cada 4 s implica medio período, luego

T = 8\ \text{s}

. Como

A

y

B

están en fase sin otro punto en fase entre ellos,

\lambda = 2\ \text{m}

. Así

v = \lambda/T = 2/8 = 0{,}25\ \text{m/s}

.

Que los elementos corten el eje

x

cada 4 s significa que pasan por el equilibrio cada medio período, luego

T = 8\ \text{s}

. Como

A

y

B

oscilan en fase y no hay ningún otro punto en fase entre ellos, su separación es exactamente una longitud de onda:

\lambda = 2\ \text{m}

. La velocidad de propagación es

v = \lambda/T = 2/8 = 0{,}25\ \text{m/s}

. La expresión de la onda (sentido

-x

,

A = 0{,}1\ \text{m}

,

\omega = 2\pi/T = \pi/4\ \text{rad/s}

,

k = 2\pi/\lambda = \pi\ \text{rad/m}

, con

y(0,0) = +0{,}1\ \text{m}

y velocidad nula) es

y(x,t) = 0{,}1\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}t + \pi x\big)\ \text{m}

.

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EVAU MAD 2022 — A.3Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.3 — Varilla conductora en movimiento

Una varilla metálica de longitud $L = 20\ \text{cm} = 0{,}2\ \text{m}$ desliza sin rozamiento, con velocidad $\vec{v} = 2\,\vec{i}\ \text{m/s}$ , sobre raíles horizontales de resistencia despreciable cerrados por una resistencia $R = 0{,}5\ \Omega$ . En la región hay un campo magnético uniforme $\vec{B} = -0{,}4\,\vec{k}\ \text{T}$ .

¿Cuál es la intensidad de la corriente inducida en el circuito?

A

I = 0{,}32\ \text{A}

B

I = 0{,}16\ \text{A}

C

I = 0{,}64\ \text{A}

D

I = 0{,}08\ \text{A}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$I = 0{,}32\ \text{A}$

Correcto. La fem inducida es

\varepsilon = B\,L\,v = 0{,}4\cdot0{,}2\cdot2 = 0{,}16\ \text{V}

, así que

I = \varepsilon/R = 0{,}16/0{,}5 = 0{,}32\ \text{A}

.

La varilla se mueve perpendicularmente al campo, por lo que aparece una fem de movimiento

\varepsilon = B\,L\,v = 0{,}4\cdot0{,}2\cdot2 = 0{,}16\ \text{V}

. Aplicando la ley de Ohm al circuito, la intensidad es

I = \varepsilon/R = 0{,}16/0{,}5 = 0{,}32\ \text{A}

. La fuerza que el campo ejerce sobre la varilla recorrida por esa corriente es

F = B\,I\,L = 0{,}4\cdot0{,}32\cdot0{,}2 = 0{,}0256\ \text{N}

, opuesta a la velocidad (ley de Lenz).

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EVAU MAD 2022 — A.4Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.4 — Sistema de dos lentes convergentes

Dos lentes convergentes idénticas están separadas $16\ \text{cm}$ . Cuando un objeto se sitúa a cierta distancia a la izquierda de la primera lente, cada una de las dos lentes opera con un aumento lateral igual a $-1$ .

¿Cuál es la potencia de cada lente?

A

P = 25\ \text{D}

(

f = 4\ \text{cm}

)

B

P = 12{,}5\ \text{D}

C

P = 50\ \text{D}

D

P = 6{,}25\ \text{D}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P = 25\ \text{D}$ ( $f = 4\ \text{cm}$ )

Correcto. Un aumento

m = -1

exige objeto e imagen a

2f

de cada lente. La imagen de la 1.ª (a

2f

a su derecha) es objeto de la 2.ª (a

2f

a su izquierda), así

2f + 2f = 16\ \text{cm} \Rightarrow f = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}

. La potencia es

P = 1/f = 25\ \text{D}

.

Un aumento lateral

m = s'/s = -1

implica

s' = -s

. Sustituyendo en la ecuación de las lentes

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f}

se obtiene

s = -2f

(objeto a

2f

) y

s' = 2f

(imagen a

2f

). La imagen de la primera lente, situada a

2f

a su derecha, es el objeto de la segunda, que debe estar a

2f

a su izquierda. Por tanto la separación es

2f + 2f = 4f = 16\ \text{cm}

, de donde

f = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}

y

P = 1/f = 25\ \text{D}

.

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EVAU MAD 2022 — A.5Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.5 — Desintegración del polonio-210

Una muestra contiene inicialmente $30\ \text{mg}$ de $^{210}\text{Po}$ , cuyo período de semidesintegración es $T_{1/2} = 138{,}38$ días.

¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la masa de $^{210}\text{Po}$ se reduzca a $5\ \text{mg}$ ?

A

t \approx 357{,}7

días

B

t \approx 138{,}4

días

C

t \approx 276{,}8

días

D

t \approx 415{,}1

días

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$t \approx 357{,}7$ días

Correcto. De

m = m_0 e^{-\lambda t}

con

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

:

t = \dfrac{\ln(m_0/m)}{\lambda} = \dfrac{\ln 6}{\ln 2}\,T_{1/2} = 2{,}585\cdot138{,}38 \approx 357{,}7

días.

La constante de desintegración es

\lambda = \ln 2/T_{1/2} = 0{,}693/(138{,}38\cdot86\,400) = 5{,}80\times10^{-8}\ \text{s}^{-1}

. De la ley de decaimiento

m = m_0\,e^{-\lambda t}

se despeja el tiempo:

t = \dfrac{\ln(m_0/m)}{\lambda} = \dfrac{\ln 6}{\lambda} = \dfrac{\ln 6}{\ln 2}\,T_{1/2} = 2{,}585\cdot138{,}38 \approx 357{,}7

días. (La vida media es

\tau = 1/\lambda = 199{,}6

días

= 1{,}72\times10^7\ \text{s}

, y la actividad inicial

A_0 = \lambda N_0 \approx 4{,}99\times10^{15}\ \text{Bq}

.)

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EVAU MAD 2022 — B.1Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.1 — Velocidades de escape de Marte y la Tierra

Marte posee la décima parte de la masa de la Tierra y la mitad de su diámetro (por tanto, la mitad de su radio).

¿Cuál es la relación entre las velocidades de escape $v_{e,\text{Marte}}/v_{e,\text{Tierra}}$ desde sus respectivas superficies?

A

v_{e,M}/v_{e,T} = \sqrt{0{,}2} \approx 0{,}45

B

v_{e,M}/v_{e,T} = 0{,}1

C

v_{e,M}/v_{e,T} \approx 0{,}32

D

v_{e,M}/v_{e,T} \approx 0{,}71

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$v_{e,M}/v_{e,T} = \sqrt{0{,}2} \approx 0{,}45$

Correcto. Como

v_e = \sqrt{2GM/R}

, la relación es

\sqrt{\dfrac{M_M/M_T}{R_M/R_T}} = \sqrt{\dfrac{1/10}{1/2}} = \sqrt{0{,}2} \approx 0{,}45

.

La velocidad de escape desde la superficie de un planeta es

v_e = \sqrt{2GM/R}

. Al formar el cociente entre Marte y Tierra,

G

y el 2 se cancelan:

\dfrac{v_{e,M}}{v_{e,T}} = \sqrt{\dfrac{M_M/R_M}{M_T/R_T}} = \sqrt{\dfrac{M_M/M_T}{R_M/R_T}} = \sqrt{\dfrac{1/10}{1/2}} = \sqrt{0{,}2} \approx 0{,}45

. (En el apartado b, lanzando un objeto desde la Tierra con

v = v_{e,M}

, la altura máxima alcanzada es

h = 0{,}25\,R_T \approx 1{,}59\times10^6\ \text{m}

.)

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EVAU MAD 2022 — B.2Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.2 — Foco sonoro a cierta altura

Un foco sonoro de potencia $P$ está a una altura $h$ sobre el suelo. El nivel de intensidad sonora vale $60\ \text{dB}$ en el punto $A$ , situado a $100\ \text{m}$ del foco, y $80\ \text{dB}$ en el punto $B$ , en el suelo justo en la vertical del foco.

¿Cuál es la altura $h$ del foco?

Dato: intensidad umbral de audición $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$ .

A

h = 1\ \text{m}

B

h = 10\ \text{m}

C

h = 100\ \text{m}

D

h = 0{,}1\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$h = 1\ \text{m}$

Correcto.

I_A = I_0\,10^{60/10} = 10^{-6}\ \text{W/m}^2

a

100\ \text{m}

, así

P = I_A\,4\pi(100)^2 \approx 0{,}126\ \text{W}

. En

B

,

I_B = I_0\,10^{80/10} = 10^{-4}\ \text{W/m}^2

, luego

h = \sqrt{P/(4\pi I_B)} = 1\ \text{m}

.

Las intensidades se obtienen de los niveles:

I_A = I_0\,10^{60/10} = 10^{-6}\ \text{W/m}^2

e

I_B = I_0\,10^{80/10} = 10^{-4}\ \text{W/m}^2

. Con

A

a

100\ \text{m}

, la potencia es

P = I_A\,4\pi r_A^2 = 10^{-6}\cdot4\pi\cdot100^2 = 4\pi\times10^{-2} \approx 0{,}126\ \text{W}

. El punto

B

está en la vertical, así que su distancia al foco es la altura

h

:

I_B = P/(4\pi h^2) \Rightarrow h = \sqrt{P/(4\pi I_B)} = \sqrt{0{,}126/(4\pi\cdot10^{-4})} = 1\ \text{m}

.

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EVAU MAD 2022 — B.3Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.3 — Dos cargas que anulan el campo en el origen

Una carga puntual positiva $q$ está en el punto $(3,\ 4)\ \text{m}$ . Una segunda carga positiva, de magnitud $4q$ , se coloca de modo que el campo eléctrico se anule en el origen. El potencial en el origen vale $1{,}08\times10^{4}\ \text{V}$ .

¿Cuál es el valor de la carga $q$ ?

Dato: $K = 9\times10^{9}\ \text{N m}^2\ \text{C}^{-2}$ .

A

q = 2\times10^{-6}\ \text{C}

B

q = 8\times10^{-6}\ \text{C}

C

q = 1{,}2\times10^{-6}\ \text{C}

D

q = 6\times10^{-6}\ \text{C}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$q = 2\times10^{-6}\ \text{C}$

Correcto.

q

está a 5 m del origen; para anular el campo,

4q

se sitúa a

10\ \text{m}

en

(6,\ 8)

. El potencial es

V = K(q/5 + 4q/10) = 0{,}6\,Kq = 1{,}08\times10^4\ \text{V}

, luego

q = 2\times10^{-6}\ \text{C}

.

La primera carga está a

r_1 = \sqrt{3^2+4^2} = 5\ \text{m}

del origen. Para que el campo total se anule en el origen, la segunda carga (

4q

) debe estar en la misma recta y al otro lado, a una distancia

r_2

tal que

\dfrac{Kq}{r_1^2} = \dfrac{K(4q)}{r_2^2}

, de donde

r_2 = 2r_1 = 10\ \text{m}

(punto

(6,\ 8)

). El potencial es escalar y suma ambas contribuciones:

V = K\big(\tfrac{q}{5} + \tfrac{4q}{10}\big) = 0{,}6\,Kq

. Igualando a

1{,}08\times10^4\ \text{V}

:

q = \dfrac{1{,}08\times10^4}{0{,}6\cdot9\times10^9} = 2\times10^{-6}\ \text{C}

(y

4q = 8\times10^{-6}\ \text{C}

).

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EVAU MAD 2022 — B.4Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.4 — Lámina de vidrio sobre un líquido

La longitud de onda de la luz en el vidrio se reduce al $70\,\%$ de su valor en el aire.

¿Cuál es el índice de refracción del vidrio?

Dato: índice de refracción del aire, $n_{aire} = 1$ .

A

n_{vidrio} \approx 1{,}43

B

n_{vidrio} = 0{,}7

C

n_{vidrio} = 1{,}7

D

n_{vidrio} = 2{,}0

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$n_{vidrio} \approx 1{,}43$

Correcto. Como

n_{aire}\lambda_{aire} = n_{vidrio}\lambda_{vidrio}

y

\lambda_{vidrio} = 0{,}7\,\lambda_{aire}

:

n_{vidrio} = n_{aire}/0{,}7 = 1/0{,}7 \approx 1{,}43

.

Al pasar de un medio a otro la frecuencia se conserva, de modo que

n\,\lambda

es constante:

n_{aire}\lambda_{aire} = n_{vidrio}\lambda_{vidrio}

. Como

\lambda_{vidrio} = 0{,}7\,\lambda_{aire}

, resulta

n_{vidrio} = \dfrac{n_{aire}\lambda_{aire}}{0{,}7\,\lambda_{aire}} = \dfrac{1}{0{,}7} \approx 1{,}43

. (En el apartado b, la condición de reflexión total para incidencias superiores a

30^\circ

desde el líquido conduce a

n_{liq}\sin30^\circ = 1

, es decir

n_{liq} = 2

.)

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EVAU MAD 2022 — B.5Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.5 — Electrón relativista y energía de un fotón

Un electrón relativista adquiere una energía cinética igual a la energía de un fotón de longitud de onda $\lambda = 5\times10^{-12}\ \text{m}$ en el vacío.

¿Cuál es la energía cinética del electrón, en eV?

Datos: $h = 6{,}63\times10^{-34}\ \text{J s}$ ; $c = 3\times10^{8}\ \text{m/s}$ ; $e = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ .

A

E_c \approx 2{,}49\times10^{5}\ \text{eV}

B

E_c = 3{,}98\times10^{-14}\ \text{eV}

C

E_c = 1{,}33\times10^{-22}\ \text{eV}

D

E_c \approx 5{,}11\times10^{5}\ \text{eV}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$E_c \approx 2{,}49\times10^{5}\ \text{eV}$

Correcto.

E = hc/\lambda = 6{,}63\times10^{-34}\cdot3\times10^8/5\times10^{-12} = 3{,}98\times10^{-14}\ \text{J}

. En eV:

E/e = 3{,}98\times10^{-14}/1{,}6\times10^{-19} \approx 2{,}49\times10^{5}\ \text{eV}

.

La energía del fotón (igual a la cinética del electrón) es

E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\times10^{-34}\cdot3\times10^8}{5\times10^{-12}} = 3{,}98\times10^{-14}\ \text{J}

. Expresada en electronvoltios:

E_c = \dfrac{3{,}98\times10^{-14}}{1{,}6\times10^{-19}} \approx 2{,}49\times10^{5}\ \text{eV}

. (En el apartado b, de la expresión relativista

E_c = (\gamma-1)m_e c^2

se obtiene

\gamma \approx 1{,}49

y una velocidad

v \approx 2{,}26\times10^{8}\ \text{m/s}

.)

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EVAU MAD 2022 — A.1 (b)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.1 (b) — Punto más alejado de una partícula atraída

Una masa $M = 20\ \text{kg}$ está fija en el origen. Una segunda partícula de masa $3\ \text{kg}$ se encuentra en el punto $(8,\ 6)\ \text{m}$ (a $r_0 = 10\ \text{m}$ del origen) y se le comunica una velocidad de $1{,}2\times10^{-5}\ \text{m/s}$ alejándose a lo largo de la recta que une ambas partículas.

¿Cuál es la distancia máxima al origen que alcanzará la partícula?

Dato: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

A

r_{max} \approx 21{,}7\ \text{m}

B

r_{max} = 10\ \text{m}

CNo alcanza un máximo: escapa al infinito

D

r_{max} \approx 43{,}5\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$r_{max} \approx 21{,}7\ \text{m}$

Correcto. Como

v_0 < v_e

, la partícula no escapa. Por conservación de energía,

\tfrac12 v_0^2 = GM\big(\tfrac1{r_0} - \tfrac1{r_{max}}\big)

, de donde

r_{max} \approx 21{,}7\ \text{m}

.

La velocidad de escape desde

r_0 = 10\ \text{m}

es

v_e = \sqrt{2GM/r_0} = \sqrt{2\cdot6{,}67\times10^{-11}\cdot20/10} = 1{,}63\times10^{-5}\ \text{m/s}

. Como

v_0 = 1{,}2\times10^{-5}\ \text{m/s} < v_e

, la partícula no escapa. En el punto más alejado su velocidad es nula; por conservación de la energía mecánica

\tfrac12 v_0^2 - \dfrac{GM}{r_0} = -\dfrac{GM}{r_{max}}

, de donde

\dfrac{1}{r_{max}} = \dfrac{1}{r_0} - \dfrac{v_0^2}{2GM} = 0{,}1 - 0{,}046 = 0{,}046\ \text{m}^{-1}

, luego

r_{max} \approx 21{,}7\ \text{m}

.

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EVAU MAD 2022 — A.2 (b)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.2 (b) — Expresión matemática de una onda en una cuerda

Una onda armónica viaja por una cuerda en el sentido negativo del eje $x$ , con período $T = 8\ \text{s}$ y longitud de onda $\lambda = 2\ \text{m}$ . En el instante inicial, el elemento situado en $x = 0$ tiene desplazamiento $+10\ \text{cm}$ y velocidad nula.

¿Cuál es la expresión matemática correcta de la onda? (amplitud en metros)

A

y = 0{,}1\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}t + \pi x\big)\ \text{m}

B

y = 0{,}1\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}t - \pi x\big)\ \text{m}

C

y = 0{,}1\cos\!\big(\tfrac{\pi}{8}t + \pi x\big)\ \text{m}

D

y = 0{,}1\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}t + \pi x\big)\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$y = 0{,}1\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}t + \pi x\big)\ \text{m}$

Correcto. Con

A = 0{,}1\ \text{m}

,

\omega = 2\pi/T = \pi/4\ \text{rad/s}

,

k = 2\pi/\lambda = \pi\ \text{rad/m}

y sentido

-x

(signo

+

entre los términos),

y(0,0) = +0{,}1

y velocidad nula imponen

\varphi_0 = 0

:

y = 0{,}1\cos(\tfrac{\pi}{4}t + \pi x)

.

Con

T = 8\ \text{s}

y

\lambda = 2\ \text{m}

:

\omega = 2\pi/T = \pi/4\ \text{rad/s}

y

k = 2\pi/\lambda = \pi\ \text{rad/m}

. Una onda que viaja en sentido

-x

se escribe

y(x,t) = A\cos(\omega t + kx + \varphi_0)

. La condición inicial

y(0,0) = +0{,}1\ \text{m}

(máximo) con velocidad nula implica

\cos(\varphi_0) = 1

y

\sin(\varphi_0) = 0

, es decir

\varphi_0 = 0

. Por tanto

y(x,t) = 0{,}1\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}t + \pi x\big)\ \text{m}

.

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EVAU MAD 2022 — A.3 (b)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.3 (b) — Fuerza sobre una varilla conductora

Una varilla metálica de longitud $L = 0{,}2\ \text{m}$ desliza con $\vec{v} = 2\,\vec{i}\ \text{m/s}$ sobre raíles cerrados por $R = 0{,}5\ \Omega$ , en un campo $\vec{B} = -0{,}4\,\vec{k}\ \text{T}$ . Por ella circula una corriente inducida de $I = 0{,}32\ \text{A}$ .

¿Cuál es el módulo de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la varilla?

A

F = 0{,}0256\ \text{N}

B

F = 0{,}128\ \text{N}

C

F = 0{,}064\ \text{N}

D

F = 0{,}32\ \text{N}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$F = 0{,}0256\ \text{N}$

Correcto. La fuerza sobre la varilla recorrida por corriente es

F = B\,I\,L = 0{,}4\cdot0{,}32\cdot0{,}2 = 0{,}0256\ \text{N}

, opuesta a la velocidad (ley de Lenz).

Una varilla de longitud

L

recorrida por una corriente

I

en un campo magnético

\vec{B}

perpendicular experimenta una fuerza de módulo

F = B\,I\,L = 0{,}4\cdot0{,}32\cdot0{,}2 = 0{,}0256\ \text{N}

. Por la ley de Lenz, esta fuerza se opone al movimiento (sentido

-x

), tendiendo a frenar la varilla. La corriente inducida (

I = 0{,}32\ \text{A}

) proviene de la fem

\varepsilon = BLv = 0{,}16\ \text{V}

dividida por

R = 0{,}5\ \Omega

.

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EVAU MAD 2022 — A.4 (b)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.4 (b) — Desplazamiento de una lente para imagen en el infinito

Dos lentes convergentes idénticas de focal $f = 4\ \text{cm}$ están separadas $16\ \text{cm}$ y cada una opera con aumento $-1$ (objeto e imagen a $2f = 8\ \text{cm}$ ). La imagen intermedia (de la primera lente) se forma a $8\ \text{cm}$ a la izquierda de la segunda lente.

¿Cuánto y hacia dónde debe desplazarse la segunda lente para que la imagen final del sistema se forme en el infinito?

A

4\ \text{cm}

hacia la primera lente (acercándola)

B

4\ \text{cm}

alejándose de la primera lente

C

8\ \text{cm}

hacia la primera lente

D

2\ \text{cm}

hacia la primera lente

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$4\ \text{cm}$ hacia la primera lente (acercándola)

Correcto. La imagen final está en el infinito cuando el objeto de la 2.ª lente está en su foco (

4\ \text{cm}

). La imagen intermedia está fija a

8\ \text{cm}

de la posición original; hay que acercar la lente a esa imagen

8 - 4 = 4\ \text{cm}

, es decir desplazarla

4\ \text{cm}

hacia la primera lente.

La imagen final del sistema se forma en el infinito cuando el objeto de la segunda lente (la imagen producida por la primera) se sitúa justo en el foco objeto de la segunda, a

f = 4\ \text{cm}

. En la configuración inicial ese objeto está a

2f = 8\ \text{cm}

de la segunda lente. Como la imagen intermedia permanece fija en el espacio (no se mueve la primera lente ni el objeto), hay que desplazar la segunda lente

8 - 4 = 4\ \text{cm}

acercándola hacia la primera lente, de modo que su foco coincida con la imagen intermedia.

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EVAU MAD 2022 — A.5 (a)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — A.5 (a) — Vida media y actividad del polonio-210

Una muestra contiene inicialmente $30\ \text{mg}$ de $^{210}\text{Po}$ , con período de semidesintegración $T_{1/2} = 138{,}38$ días.

¿Cuál es la vida media $\tau$ del isótopo?

A

\tau \approx 199{,}6

días

B

\tau = 138{,}38

días

C

\tau \approx 95{,}9

días

D

\tau \approx 276{,}8

días

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\tau \approx 199{,}6$ días

Correcto. La vida media es

\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2 = 138{,}38/0{,}693 \approx 199{,}6

días (

\approx 1{,}72\times10^{7}\ \text{s}

).

La constante de desintegración es

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

y la vida media su inversa:

\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2 = 138{,}38/0{,}693 \approx 199{,}6

días

= 1{,}72\times10^{7}\ \text{s}

. A partir de aquí, la actividad inicial es

A_0 = \lambda N_0

, con

N_0 = \dfrac{30\times10^{-3}}{210}\cdot6{,}02\times10^{23} = 8{,}6\times10^{22}

núcleos, dando

A_0 = \lambda N_0 \approx 4{,}99\times10^{15}\ \text{Bq}

.

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EVAU MAD 2022 — B.1 (b)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.1 (b) — Altura máxima con la velocidad de escape de Marte

Marte tiene $1/10$ de la masa de la Tierra y la mitad de su radio, de modo que $v_{e,\text{Marte}} = \sqrt{0{,}2}\,v_{e,\text{Tierra}}$ . Un objeto se lanza verticalmente desde la superficie terrestre con una velocidad igual a $v_{e,\text{Marte}}$ (sin rozamiento).

¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?

Dato: radio de la Tierra, $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$ .

A

h \approx 1{,}59\times10^{6}\ \text{m}

B

h = 6{,}37\times10^{6}\ \text{m}

C

h \approx 3{,}19\times10^{6}\ \text{m}

DEl objeto escapa al infinito

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$h \approx 1{,}59\times10^{6}\ \text{m}$

Correcto. Con

v^2 = 0{,}2\,v_{e,T}^2 = 0{,}2\cdot\tfrac{2GM_T}{R_T}

, la conservación de energía da

\tfrac{0{,}2}{R_T} = \tfrac1{R_T} - \tfrac1{R_T+h}

, de donde

h = 0{,}25\,R_T \approx 1{,}59\times10^{6}\ \text{m}

.

La velocidad de lanzamiento es

v = v_{e,M} = \sqrt{0{,}2}\,v_{e,T}

, luego

v^2 = 0{,}2\,v_{e,T}^2 = 0{,}2\cdot\dfrac{2GM_T}{R_T}

. Por conservación de la energía mecánica entre la superficie y la altura máxima (velocidad nula):

\tfrac12 v^2 - \dfrac{GM_T}{R_T} = -\dfrac{GM_T}{R_T+h}

. Sustituyendo

\tfrac12 v^2 = 0{,}2\dfrac{GM_T}{R_T}

se obtiene

\dfrac{0{,}2}{R_T} = \dfrac{1}{R_T} - \dfrac{1}{R_T+h}

, de donde

\dfrac{1}{R_T+h} = \dfrac{0{,}8}{R_T}

y

h = 0{,}25\,R_T = 0{,}25\cdot6{,}37\times10^{6} \approx 1{,}59\times10^{6}\ \text{m}

.

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EVAU MAD 2022 — B.2 (a)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.2 (a) — Potencia de un foco sonoro

Un foco sonoro produce un nivel de intensidad de $60\ \text{dB}$ en un punto $A$ situado a $100\ \text{m}$ de distancia.

¿Cuál es la potencia del foco?

Dato: intensidad umbral de audición $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$ .

A

P \approx 0{,}126\ \text{W}

B

P = 10^{-6}\ \text{W}

C

P \approx 1{,}26\ \text{W}

D

P = 0{,}01\ \text{W}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P \approx 0{,}126\ \text{W}$

Correcto.

I_A = I_0\,10^{60/10} = 10^{-6}\ \text{W/m}^2

. Como

I = P/(4\pi r^2)

,

P = I_A\,4\pi r^2 = 10^{-6}\cdot4\pi\cdot100^2 = 4\pi\times10^{-2} \approx 0{,}126\ \text{W}

.

El nivel de

60\ \text{dB}

corresponde a una intensidad

I_A = I_0\,10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot10^{6} = 10^{-6}\ \text{W/m}^2

. Para un foco puntual, la intensidad a distancia

r

es

I = \dfrac{P}{4\pi r^2}

. Despejando la potencia:

P = I_A\cdot4\pi r^2 = 10^{-6}\cdot4\pi\cdot100^2 = 4\pi\times10^{-2} \approx 0{,}126\ \text{W}

. (Con el nivel de

80\ \text{dB}

en el punto

B

de la vertical se obtiene la altura del foco

h = 1\ \text{m}

.)

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EVAU MAD 2022 — B.3 (a)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.3 (a) — Posición de una carga que anula el campo

Una carga puntual positiva $q$ está en el punto $(3,\ 4)\ \text{m}$ (a $5\ \text{m}$ del origen). Una segunda carga positiva de magnitud $4q$ se coloca de modo que el campo eléctrico total se anule en el origen de coordenadas.

¿En qué punto debe situarse la segunda carga?

A

(6,\ 8)\ \text{m}

B

(3,\ 4)\ \text{m}

C

(-3,\ -4)\ \text{m}

D

(12,\ 16)\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(6,\ 8)\ \text{m}$

Correcto. Para anular el campo, ambas cargas deben estar alineadas con el origen y en lados opuestos. De

Kq/5^2 = K(4q)/d^2

sale

d = 10\ \text{m}

; prolongando la dirección

(3,4)

al doble:

(6,\ 8)\ \text{m}

.

La primera carga está a

r_1 = \sqrt{3^2+4^2} = 5\ \text{m}

del origen y su campo en el origen apunta hacia

-(3,4)/5

(alejándose de la carga positiva). Para anular el campo total, la segunda carga (

4q

, también positiva) debe estar en la misma recta pero al otro lado del origen, con igual módulo de campo:

\dfrac{Kq}{r_1^2} = \dfrac{K(4q)}{r_2^2} \Rightarrow r_2 = 2r_1 = 10\ \text{m}

. Prolongando la dirección

(3,4)

hasta

10\ \text{m}

se obtiene el punto

(6,\ 8)\ \text{m}

. (Con

V(0) = 1{,}08\times10^4\ \text{V}

resulta

q = 2\times10^{-6}\ \text{C}

.)

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EVAU MAD 2022 — B.4 (b)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.4 (b) — Índice de refracción del líquido por reflexión total

Una lámina de vidrio ( $n_{vidrio} = 1{,}43$ ) descansa sobre un líquido. Al emitir luz desde el líquido, los rayos con ángulo de incidencia superior a $30^\circ$ en la cara inferior de la lámina no llegan a refractarse al aire por la cara superior (reflexión total interna en la cara vidrio-aire).

¿Cuál es el índice de refracción del líquido?

Dato: $n_{aire} = 1$ .

A

n_{liq} = 2{,}0

B

n_{liq} = 1{,}43

C

n_{liq} = 0{,}5

D

n_{liq} = 1{,}0

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$n_{liq} = 2{,}0$

Correcto. Como las caras de la lámina son paralelas, el ángulo en el vidrio es el mismo en ambas. El límite de

30^\circ

en el líquido coincide con el ángulo crítico vidrio-aire:

n_{liq}\sin30^\circ = n_{vidrio}\sin\theta_c = 1

, luego

n_{liq} = 1/\sin30^\circ = 2

.

En la lámina de caras paralelas, el ángulo de refracción dentro del vidrio es idéntico en la cara inferior (líquido-vidrio) y en la superior (vidrio-aire). La condición de que los rayos con incidencia

>30^\circ

desde el líquido sufran reflexión total en la cara superior significa que, para

30^\circ

en el líquido, el rayo llega a la cara vidrio-aire justo en su ángulo crítico, donde

n_{vidrio}\sin\theta_c = n_{aire} = 1

. Aplicando Snell en la cara inferior

n_{liq}\sin30^\circ = n_{vidrio}\sin\theta_c = 1

, de donde

n_{liq} = \dfrac{1}{\sin30^\circ} = 2{,}0

.

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EVAU MAD 2022 — B.5 (b)Dificultat 3/5

EVAU MAD 2022 — B.5 (b) — Velocidad de un electrón relativista

Un electrón adquiere una energía cinética $E_c = 2{,}49\times10^{5}\ \text{eV} = 3{,}98\times10^{-14}\ \text{J}$ (la de un fotón de $5\times10^{-12}\ \text{m}$ ).

¿Cuál es la velocidad del electrón, tratada relativistamente?

Datos: $m_e = 9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}$ ; $c = 3\times10^{8}\ \text{m/s}$ .

A

v \approx 2{,}26\times10^{8}\ \text{m/s}

B

v = 3\times10^{8}\ \text{m/s}

C

v \approx 9{,}4\times10^{8}\ \text{m/s}

D

v \approx 1{,}5\times10^{8}\ \text{m/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$v \approx 2{,}26\times10^{8}\ \text{m/s}$

Correcto. De

E_c = (\gamma-1)m_e c^2

con

m_e c^2 = 8{,}19\times10^{-14}\ \text{J}

,

\gamma = 1 + E_c/(m_e c^2) \approx 1{,}49

. Entonces

v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} \approx 2{,}26\times10^{8}\ \text{m/s}

.

La energía en reposo del electrón es

m_e c^2 = 9{,}1\times10^{-31}\cdot(3\times10^8)^2 = 8{,}19\times10^{-14}\ \text{J}

. Como la energía cinética (

3{,}98\times10^{-14}\ \text{J}

) es comparable, el tratamiento debe ser relativista:

E_c = (\gamma-1)m_e c^2

, de donde

\gamma = 1 + \dfrac{E_c}{m_e c^2} = 1 + \dfrac{3{,}98\times10^{-14}}{8{,}19\times10^{-14}} \approx 1{,}49

. Despejando la velocidad de

\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}

:

v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} = 3\times10^8\cdot\sqrt{1 - 1/1{,}49^2} \approx 2{,}26\times10^{8}\ \text{m/s}

(

\approx 0{,}75\,c

).

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Format de l'examen

20 exercicis a EureQuiz

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