EBAU ExtremaduraConvocatòria ordinaria

Física EBAU Extremadura 2024

Física — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 5 de 10 preguntas (2 puntos cada una)

Blocs temàtics

Mecánica y gravitación
Campo eléctrico
Campo magnético
Ondas y óptica
Física del siglo XX

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4aDificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4a — Sonda en órbita circular

Una sonda espacial de masa $m = 1000\ \text{kg}$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a una altura sobre la superficie igual al radio de la Tierra (es decir, su radio orbital es $r = 2R$ ).

¿Cuál es la energía cinética de la sonda en esa órbita?

Datos: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}$ ; $M = 5{,}972\times10^{24}\ \text{kg}$ ; $R = 6370\ \text{km}$ .

E_c \approx 1{,}56\times10^{10}\ \text{J}

E_c \approx 3{,}13\times10^{10}\ \text{J}

(potencial en módulo)

E_c \approx -1{,}56\times10^{10}\ \text{J}

E_c \approx 3{,}13\times10^{10}\ \text{J}

(con

r=R

)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$E_c \approx 1{,}56\times10^{10}\ \text{J}$

Correcto. En órbita circular

E_c = \dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{r}

con

r = 2R = 1{,}274\times10^7\ \text{m}

E_c = \dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}972\times10^{24}\cdot1000}{2\cdot1{,}274\times10^7} \approx 1{,}56\times10^{10}\ \text{J}

En una órbita circular la fuerza gravitatoria aporta la centrípeta:

\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}\Rightarrow v^2 = \dfrac{GM}{r}

. La energía cinética es

E_c = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{GMm}{2r}

. Con radio orbital

r = 2R = 1{,}274\times10^7\ \text{m}

E_c = \dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}972\times10^{24}\cdot1000}{2\cdot1{,}274\times10^7} \approx 1{,}56\times10^{10}\ \text{J}

. La energía potencial vale

E_p = -GMm/r = -3{,}13\times10^{10}\ \text{J}

y la mecánica total

E = E_c + E_p = -1{,}56\times10^{10}\ \text{J}

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4bDificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 4b — Cambio de órbita

Una sonda de $m = 1000\ \text{kg}$ orbita la Tierra a radio $r_1 = 2R$ (energía mecánica $E_1 = -1{,}56\times10^{10}\ \text{J}$ ). Se la transfiere a otra órbita circular a una altura igual a tres veces el radio terrestre ( $r_2 = 4R$ ).

¿Qué energía hay que aportar para realizar la transferencia?

Datos: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}$ ; $M = 5{,}972\times10^{24}\ \text{kg}$ ; $R = 6370\ \text{km}$ .

E \approx +7{,}8\times10^9\ \text{J}

E \approx -7{,}8\times10^9\ \text{J}

E \approx 1{,}56\times10^{10}\ \text{J}

E \approx 3{,}13\times10^{10}\ \text{J}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$E \approx +7{,}8\times10^9\ \text{J}$

Correcto.

E = E_2 - E_1 = -\dfrac{GMm}{2r_2} - \left(-\dfrac{GMm}{2r_1}\right)

con

r_1=2R

r_2=4R

. Da

E \approx +7{,}8\times10^9\ \text{J}

(energía positiva: hay que aportarla).

La energía mecánica de una órbita circular es

E = -\dfrac{GMm}{2r}

. La energía a aportar para subir de

r_1 = 2R

r_2 = 4R

\Delta E = E_2 - E_1 = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right) = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{2R} - \dfrac{1}{4R}\right) = \dfrac{GMm}{8R}

. Con los datos,

\Delta E \approx +7{,}8\times10^9\ \text{J}

. El signo positivo indica que hay que comunicar energía a la sonda, coherente con que una órbita más alta es más energética (menos ligada).

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 5aDificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 5a — Campo gravitatorio en órbita

Un satélite se sitúa en una órbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a $\dfrac{7}{6}$ del radio terrestre ( $r = \tfrac{7}{6}R$ ).

¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre en esa órbita?

Datos: $R = 6370\ \text{km}$ ; campo en la superficie $g_0 = 9{,}8\ \text{m s}^{-2}$ .

g \approx 7{,}2\ \text{m s}^{-2}

g \approx 8{,}4\ \text{m s}^{-2}

g \approx 11{,}4\ \text{m s}^{-2}

g = 9{,}8\ \text{m s}^{-2}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$g \approx 7{,}2\ \text{m s}^{-2}$

Correcto.

g = g_0\left(\dfrac{R}{r}\right)^2 = 9{,}8\left(\dfrac{6}{7}\right)^2 = 9{,}8\cdot\dfrac{36}{49} \approx 7{,}2\ \text{m s}^{-2}

El campo gravitatorio terrestre a una distancia

r

del centro es

g = \dfrac{GM}{r^2}

. Como en la superficie

g_0 = \dfrac{GM}{R^2} = 9{,}8\ \text{m s}^{-2}

, se puede escribir

g = g_0\left(\dfrac{R}{r}\right)^2

. Con

r = \tfrac{7}{6}R

, el factor es

\left(\dfrac{6}{7}\right)^2 = \dfrac{36}{49}

, por lo que

g = 9{,}8\cdot\dfrac{36}{49} \approx 7{,}2\ \text{m s}^{-2}

. El campo es menor que en la superficie porque la distancia al centro es mayor.

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 5bDificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 5b — Peso de una astronauta en órbita

En la órbita del satélite anterior (a $r = \tfrac{7}{6}R$ ), el campo gravitatorio vale $g \approx 7{,}2\ \text{m s}^{-2}$ .

¿Cuál es el peso de una astronauta de masa $m = 68\ \text{kg}$ situada en esa órbita?

P \approx 490\ \text{N}

P \approx 666\ \text{N}

P = 0\ \text{N}

P = 68\ \text{N}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$P \approx 490\ \text{N}$

Correcto. El peso es

P = m\,g = 68\cdot7{,}2 \approx 490\ \text{N}

El peso es la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo:

P = m\,g

. En la órbita el campo vale

g \approx 7{,}2\ \text{m s}^{-2}

, así que

P = 68\cdot7{,}2 \approx 490\ \text{N}

. Conviene distinguir peso (que sí existe en órbita) de la sensación de ingravidez, que se debe a que la astronauta y la nave caen libremente con la misma aceleración.

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 7bDificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 7b — Longitud de onda de una onda estacionaria

La función de una onda estacionaria en una cuerda fija por sus dos extremos, en el SI, es:

$y(x,t) = 10\,\sin(0{,}4\,x)\,\cos(60\,t)$

¿Cuál es la longitud de onda?

\lambda \approx 15{,}7\ \text{m}

\lambda = 0{,}4\ \text{m}

\lambda \approx 0{,}105\ \text{m}

\lambda \approx 7{,}85\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\lambda \approx 15{,}7\ \text{m}$

Correcto. El número de onda es

k = 0{,}4\ \text{rad/m}

. La longitud de onda es

\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{0{,}4} \approx 15{,}7\ \text{m}

En la onda estacionaria

y(x,t) = 10\sin(0{,}4\,x)\cos(60\,t)

, el coeficiente de

x

es el número de onda

k = 0{,}4\ \text{rad/m}

y el de

t

es la frecuencia angular

\omega = 60\ \text{rad/s}

. La longitud de onda es

\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{0{,}4} \approx 15{,}7\ \text{m}

. Conviene no confundirla con la distancia entre nodos consecutivos, que vale

\lambda/2 \approx 7{,}85\ \text{m}

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 7dDificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 7d — Velocidad de propagación

Para la onda estacionaria $y(x,t) = 10\,\sin(0{,}4\,x)\,\cos(60\,t)$ (SI), con número de onda $k = 0{,}4\ \text{rad/m}$ y frecuencia angular $\omega = 60\ \text{rad/s}$ .

¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas componentes?

v = 150\ \text{m/s}

v = 24\ \text{m/s}

v \approx 0{,}0067\ \text{m/s}

v \approx 9{,}55\ \text{m/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$v = 150\ \text{m/s}$

Correcto. La velocidad es

v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{60}{0{,}4} = 150\ \text{m/s}

La onda estacionaria resulta de la superposición de dos ondas viajeras que se propagan en sentidos opuestos con la misma velocidad. Esa velocidad es

v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{60\ \text{rad/s}}{0{,}4\ \text{rad/m}} = 150\ \text{m/s}

. Equivalentemente

v = \lambda\cdot f

, con

\lambda = 2\pi/k \approx 15{,}7\ \text{m}

f = \omega/(2\pi) \approx 9{,}55\ \text{Hz}

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 8aDificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 8a — Índice de refracción a partir del ángulo límite

Un rayo de luz que se propaga por el vidrio incide sobre la superficie de separación con el agua. Se sabe que el ángulo límite vidrio-agua es de 60° y que el índice de refracción del agua es $n_{agua} \approx 1{,}33$ .

¿Cuál es el índice de refracción del vidrio?

n_{vidrio} \approx 1{,}54

n_{vidrio} \approx 1{,}15

n_{vidrio} \approx 1{,}33

n_{vidrio} \approx 0{,}87

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$n_{vidrio} \approx 1{,}54$

Correcto. En el ángulo límite

n_{vidrio}\sin 60° = n_{agua}\sin 90°

, así

n_{vidrio} = \dfrac{n_{agua}}{\sin 60°} = \dfrac{1{,}33}{0{,}866} \approx 1{,}54

El ángulo límite

\theta_L

es el ángulo de incidencia (en el medio más denso) para el que el rayo refractado emerge rasante, con

\theta_r = 90°

. La ley de Snell vidrio→agua queda

n_{vidrio}\sin\theta_L = n_{agua}\sin 90° = n_{agua}

. Despejando con

\theta_L = 60°

(

\sin 60° = 0{,}866

n_{vidrio} = \dfrac{n_{agua}}{\sin 60°} = \dfrac{1{,}33}{0{,}866} \approx 1{,}54

. Es mayor que el del agua, como exige que la reflexión total se produzca yendo del vidrio al agua.

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EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 3Dificultat 3/5

EBAU Extremadura 2024 — Pregunta 3 — Contracción relativista de la longitud

Indica si la siguiente afirmación es cierta o falsa, razonándola:

"Para que la longitud de una barra se reduzca a la mitad debe viajar a una velocidad de $0{,}866\,c$ ."

¿Qué opción describe correctamente la situación?

ACierta:

v = \sqrt{0{,}75}\,c \approx 0{,}866\,c

BFalsa: ninguna velocidad reduce la longitud a la mitad

CFalsa: la velocidad necesaria es

0{,}5\,c

DCierta, pero la longitud se reduce proporcionalmente a

v

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Cierta: $v = \sqrt{0{,}75}\,c \approx 0{,}866\,c$

Correcto. Es cierta.

L = L_0\sqrt{1-(v/c)^2}

; con

L = L_0/2

\sqrt{1-(v/c)^2} = 0{,}5 \Rightarrow (v/c)^2 = 0{,}75 \Rightarrow v = \sqrt{0{,}75}\,c \approx 0{,}866\,c

La contracción relativista de la longitud establece que un objeto de longitud propia

L_0

medido por un observador respecto al cual se mueve a velocidad

v

tiene longitud

L = L_0\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}

. Para que

L = L_0/2

se necesita

\sqrt{1-(v/c)^2} = 0{,}5

, de donde

1-(v/c)^2 = 0{,}25

(v/c)^2 = 0{,}75

v = \sqrt{0{,}75}\,c \approx 0{,}866\,c

. La afirmación es por tanto cierta. El efecto no es lineal: a

0{,}5\,c

la contracción es solo del 13 % aproximadamente.

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