EvAU Castilla-La ManchaConvocatòria ordinaria

Física EvAU Castilla-La Mancha 2024

Física — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
4 preguntas de 2,5 puntos; en cada una se eligen 2 de 3 apartados

Blocs temàtics

Mecánica y gravitación
Campo eléctrico
Campo magnético
Ondas y óptica
Física del siglo XX

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 1aDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 1a — Sistema Tierra-Luna

La Tierra tiene una masa $M_T = 5{,}98\times10^{24}\ \text{kg}$ y la Luna $M_L = 7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}$ . La distancia entre los centros de ambos astros es $d = 3{,}84\times10^8\ \text{m}$ .

¿Cuál es la energía potencial gravitatoria de la Luna debida a la Tierra?

Dato: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

E_p \approx -7{,}63\times10^{28}\ \text{J}

E_p \approx +7{,}63\times10^{28}\ \text{J}

E_p \approx -1{,}99\times10^{20}\ \text{J}

E_p \approx -2{,}93\times10^{36}\ \text{J}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$E_p \approx -7{,}63\times10^{28}\ \text{J}$

Correcto.

E_p = -\dfrac{G\,M_T\,M_L}{d} = -\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}98\times10^{24}\cdot7{,}35\times10^{22}}{3{,}84\times10^8} = -7{,}63\times10^{28}\ \text{J}

La energía potencial gravitatoria entre dos masas es

E_p = -\dfrac{G\,M_T\,M_L}{d}

. Con

M_T = 5{,}98\times10^{24}\ \text{kg}

M_L = 7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}

d = 3{,}84\times10^8\ \text{m}

E_p = -\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}98\times10^{24}\cdot7{,}35\times10^{22}}{3{,}84\times10^8} \approx -7{,}63\times10^{28}\ \text{J}

. El signo negativo refleja el carácter atractivo y la referencia nula en el infinito.

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 1bDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 1b — Punto de equilibrio gravitatorio

La Tierra ( $M_T = 5{,}98\times10^{24}\ \text{kg}$ ) y la Luna ( $M_L = 7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}$ ) están separadas $d = 3{,}84\times10^8\ \text{m}$ (distancia entre centros). Una nave viaja en la línea que une ambos cuerpos.

¿A qué distancia de la Tierra, en esa línea, se cancelan las fuerzas gravitatorias que ejercen ambos cuerpos sobre la nave?

x \approx 3{,}46\times10^8\ \text{m}

(desde la Tierra)

x \approx 1{,}92\times10^8\ \text{m}

x \approx 3{,}84\times10^7\ \text{m}

x \approx 3{,}84\times10^8\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x \approx 3{,}46\times10^8\ \text{m}$ (desde la Tierra)

Correcto. Igualando

\dfrac{GM_T}{x^2} = \dfrac{GM_L}{(d-x)^2}

resulta

\dfrac{x}{d-x} = \sqrt{M_T/M_L} = 9{,}02

. Despejando,

x = \dfrac{d}{1+\sqrt{M_L/M_T}} \approx 3{,}46\times10^8\ \text{m}

En el punto neutro de la línea Tierra-Luna las dos atracciones se cancelan:

\dfrac{GM_T}{x^2} = \dfrac{GM_L}{(d-x)^2}

, donde

x

es la distancia desde la Tierra. Tomando raíz cuadrada,

\dfrac{x}{d-x} = \sqrt{\dfrac{M_T}{M_L}} = \sqrt{\dfrac{5{,}98\times10^{24}}{7{,}35\times10^{22}}} \approx 9{,}02

. Despejando:

x = \dfrac{9{,}02}{1+9{,}02}\,d \approx 0{,}90\cdot3{,}84\times10^8 \approx 3{,}46\times10^8\ \text{m}

. El punto neutro queda muy próximo a la Luna porque la Tierra es mucho más masiva.

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 2aDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 2a — Espira en campo magnético variable

Una espira cuadrada de lado $a = 2\ \text{m}$ está en el plano $XY$ . Un campo magnético en la dirección $+Z$ es variable: su módulo en teslas es $B(t) = 0{,}04\,t^2$ (con $t$ en s). Se detecta una corriente inducida de $I = 200\ \text{mA} = 0{,}2\ \text{A}$ cuando $t = 10\ \text{s}$ .

¿Cuál es la resistencia de la espira?

R = 16\ \Omega

R = 1{,}6\ \Omega

R = 32\ \Omega

R = 8\ \Omega

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$R = 16\ \Omega$

Correcto. La FEM es

\varepsilon = -A\dfrac{dB}{dt} = -A\cdot0{,}08\,t

. En módulo,

\varepsilon = 4\cdot0{,}08\cdot10 = 3{,}2\ \text{V}

. Por la ley de Ohm,

R = \dfrac{\varepsilon}{I} = \dfrac{3{,}2}{0{,}2} = 16\ \Omega

El flujo a través de la espira es

\Phi = B(t)\cdot A

con

A = a^2 = 4\ \text{m}^2

. La FEM inducida es

\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -A\dfrac{dB}{dt} = -A\cdot0{,}08\,t

. En

t = 10\ \text{s}

, en módulo

\varepsilon = 4\cdot0{,}08\cdot10 = 3{,}2\ \text{V}

. Por la ley de Ohm, la resistencia es

R = \dfrac{\varepsilon}{I} = \dfrac{3{,}2}{0{,}2} = 16\ \Omega

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 2bDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 2b — Espira girada respecto al campo

Una espira cuadrada en el plano $XY$ tiene una corriente inducida $I_0$ cuando el campo magnético variable apunta según $+Z$ (perpendicular al plano de la espira).

¿Qué corriente inducida circulará si la espira se coloca en el plano $XZ$ manteniendo el campo según $+Z$ ?

I = 0

(no hay corriente)

I = I_0

(igual que antes)

I = I_0/2

I = I_0\cos 60°

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$I = 0$ (no hay corriente)

Correcto. Si la espira está en el plano

XZ

, su vector normal es perpendicular a

\vec{B}

(que va según

Z

). El flujo

\Phi = BA\cos 90° = 0

es nulo en todo instante, así que no hay variación de flujo:

I = 0

El flujo es

\Phi = \vec{B}\cdot\vec{A} = BA\cos\theta

, con

\theta

el ángulo entre

\vec{B}

y la normal a la espira. Si la espira pasa al plano

XZ

, su normal apunta según el eje

Y

, perpendicular a

\vec{B}

(que va según

Z

\theta = 90°

\cos 90° = 0

. El flujo es nulo en todo instante, su derivada también, y por tanto la FEM inducida y la corriente son cero:

I = 0

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 3aDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 3a — Onda electromagnética en el agua

Una onda electromagnética se propaga por el agua con función de onda $E(x,t) = 100\,\sin(1{,}2\times10^7\,x - 2{,}72\times10^{15}\,t)\ \text{V/m}$ ( $x$ en metros, $t$ en segundos).

¿Cuál es la longitud de onda?

\lambda \approx 5{,}24\times10^{-7}\ \text{m}

\lambda \approx 5{,}24\times10^{-7}\ \text{s}

\lambda = 1{,}2\times10^7\ \text{m}

\lambda \approx 2{,}31\times10^{-15}\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\lambda \approx 5{,}24\times10^{-7}\ \text{m}$

Correcto. El número de onda es

k = 1{,}2\times10^7\ \text{rad/m}

. La longitud de onda es

\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{1{,}2\times10^7} = 5{,}24\times10^{-7}\ \text{m}

(524 nm).

En la onda

E(x,t) = 100\sin(1{,}2\times10^7\,x - 2{,}72\times10^{15}\,t)

, el coeficiente de

x

es el número de onda

k = 1{,}2\times10^7\ \text{rad/m}

y el de

t

es la frecuencia angular

\omega = 2{,}72\times10^{15}\ \text{rad/s}

. La longitud de onda es

\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{1{,}2\times10^7} \approx 5{,}24\times10^{-7}\ \text{m}

(524 nm). El signo

-

del argumento indica propagación en el sentido

+x

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 3bDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Problema 3b — Índice de refracción del agua

Una onda electromagnética se propaga por el agua con $E(x,t) = 100\,\sin(1{,}2\times10^7\,x - 2{,}72\times10^{15}\,t)\ \text{V/m}$ . Su velocidad de propagación es $v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{2{,}72\times10^{15}}{1{,}2\times10^7} \approx 2{,}27\times10^8\ \text{m/s}$ .

¿Cuál es el índice de refracción del agua?

Dato: $c = 3\times10^8\ \text{m/s}$ .

n \approx 1{,}32

n \approx 0{,}76

n \approx 2{,}27

n = 1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$n \approx 1{,}32$

Correcto. El índice de refracción es

n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3\times10^8}{2{,}27\times10^8} \approx 1{,}32

La velocidad de propagación de la onda es

v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{2{,}72\times10^{15}}{1{,}2\times10^7} \approx 2{,}27\times10^8\ \text{m/s}

. El índice de refracción del medio es

n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3\times10^8}{2{,}27\times10^8} \approx 1{,}32

, coherente con el valor habitual del agua (1,33). Como

n > 1

, la luz viaja más lenta en el agua que en el vacío.

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Cuestión bDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Cuestión b — Longitud de onda de De Broglie

Las partículas $\alpha$ son núcleos de helio, de masa cuatro veces la del protón. Considera una partícula $\alpha$ y un protón con la misma energía cinética, ambos a velocidades no relativistas.

¿Qué relación existe entre sus longitudes de onda de De Broglie ( $\lambda_\alpha$ frente a $\lambda_p$ )?

\lambda_\alpha = \dfrac{\lambda_p}{2}

\lambda_\alpha = \dfrac{\lambda_p}{4}

\lambda_\alpha = 2\,\lambda_p

\lambda_\alpha = \lambda_p

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\lambda_\alpha = \dfrac{\lambda_p}{2}$

Correcto. Para igual

E_c

\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{\sqrt{2mE_c}}

, así

\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{m}}

. Como

m_\alpha = 4m_p

\dfrac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \sqrt{\dfrac{m_p}{m_\alpha}} = \dfrac{1}{2}

, es decir

\lambda_\alpha = \dfrac{\lambda_p}{2}

La longitud de onda de De Broglie es

\lambda = \dfrac{h}{p}

. Para la misma energía cinética,

E_c = \dfrac{p^2}{2m}

, de donde

p = \sqrt{2mE_c}

y por tanto

\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mE_c}} \propto \dfrac{1}{\sqrt{m}}

. Como

m_\alpha = 4m_p

\dfrac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \sqrt{\dfrac{m_p}{m_\alpha}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}

. La partícula

\alpha

, más masiva, tiene la mitad de longitud de onda que el protón.

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EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Cuestión cDificultat 3/5

EvAU Castilla-La Mancha 2024 — Cuestión c — Índice de refracción del vidrio Flint

En un experimento de óptica, un haz de luz entra sin desviarse por la parte curva de un hemicilindro de vidrio Flint y llega a la cara plana con un ángulo de incidencia $i$ (dentro del vidrio), emergiendo al aire con un ángulo refractado $r$ . La tabla recoge los datos:

| $\sin i$ | $\sin r$ | |---|---| | 0,21 | 0,34 | | 0,31 | 0,50 | | 0,42 | 0,67 | | 0,50 | 0,79 |

¿Cuál es el índice de refracción del vidrio Flint?

Dato: $n_{aire} = 1$ .

n_{vidrio} \approx 1{,}58

n_{vidrio} \approx 0{,}63

n_{vidrio} \approx 1{,}33

n_{vidrio} \approx 2{,}58

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$n_{vidrio} \approx 1{,}58$

Correcto. Ley de Snell vidrio→aire:

n_{vidrio}\sin i = n_{aire}\sin r

, así

n_{vidrio} = \dfrac{\sin r}{\sin i}

. Con los datos, la pendiente media es

\approx \dfrac{0{,}79}{0{,}50} = 1{,}58

(la razón es constante en todas las filas).

Cuando el rayo pasa del vidrio (índice

n

) al aire (

n_{aire} = 1

), la ley de Snell es

n\,\sin i = 1\cdot\sin r

, de donde

n = \dfrac{\sin r}{\sin i}

. Aplicando la fórmula a cualquier fila de la tabla, el cociente es constante:

\dfrac{0{,}34}{0{,}21} \approx 1{,}62

\dfrac{0{,}50}{0{,}31} \approx 1{,}61

\dfrac{0{,}79}{0{,}50} = 1{,}58

. El índice de refracción del vidrio Flint es

n \approx 1{,}6

. Por ser

n_{vidrio} > n_{aire}

, existe ángulo crítico y puede haber reflexión total al emerger del vidrio.

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