EvAU AragónConvocatòria ordinaria

Física EvAU Aragón 2023

Física — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 8 preguntas

Blocs temàtics

Interacción gravitatoria
Interacción electromagnética
Movimiento armónico simple
Óptica geométrica
Física moderna

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Exercicis de l'examen8 exercicis

EvAU ARA 2023 — P1.aDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P1.a — Radio de un satélite geoestacionario

Se desea colocar un satélite geoestacionario, de forma que parezca inmóvil para un observador en la Tierra (su período debe coincidir con el de rotación terrestre, $T = 1\ \text{día}$ ).

¿A qué distancia del centro de la Tierra debe situarse?

Datos: $M_T = 5{,}972\times10^{24}\ \text{kg}$ ; $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

r \approx 4{,}22\times10^7\ \text{m}

r \approx 3{,}59\times10^7\ \text{m}

r \approx 6{,}37\times10^6\ \text{m}

r \approx 8{,}44\times10^7\ \text{m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$r \approx 4{,}22\times10^7\ \text{m}$

Correcto. Con

T = 86\,400\ \text{s}

, de la 3.ª ley de Kepler

r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \approx 4{,}22\times10^7\ \text{m}

(unos 42 240 km).

Un satélite geoestacionario tiene el mismo período que la rotación terrestre,

T = 86\,400\ \text{s}

. Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta (

\frac{GMm}{r^2} = m\omega^2 r

, con

\omega = 2\pi/T

) se llega a la 3.ª ley de Kepler

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3

. Despejando:

r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} = 4{,}22\times10^7\ \text{m}

(unos 42 240 km del centro de la Tierra).

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EvAU ARA 2023 — P2.cDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P2.c — Período si la Luna duplicara su masa

La Luna describe una órbita circular alrededor de la Tierra de radio $3{,}84\times10^8\ \text{m}$ , con un período de $27{,}4\ \text{días}$ .

Si la Luna tuviera el doble de masa y orbitara a la misma distancia, ¿cuál sería su período?

AEl mismo:

27{,}4\ \text{días}

BEl doble:

54{,}8\ \text{días}

CLa mitad:

13{,}7\ \text{días}

38{,}7\ \text{días}

(factor

\sqrt2

)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

El mismo: $27{,}4\ \text{días}$

Correcto. El mismo,

27{,}4\ \text{días}

. En la 3.ª ley de Kepler

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_T}r^3

solo intervienen la masa del astro central (la Tierra) y el radio, no la masa del satélite.

Al aplicar la 2.ª ley de Newton a la órbita circular,

\frac{GM_T m}{r^2} = m\omega^2 r

, la masa

m

del cuerpo que orbita se cancela en ambos lados. Resulta

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_T}r^3

, donde solo intervienen la masa del astro central (la Tierra) y el radio orbital. Por tanto, duplicar la masa de la Luna no altera su período: seguiría siendo

27{,}4\ \text{días}

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EvAU ARA 2023 — P2.bDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P2.b — Velocidad orbital de la Luna

La Luna describe una órbita circular alrededor de la Tierra de radio $r = 3{,}84\times10^8\ \text{m}$ .

¿Cuál es su velocidad orbital?

Datos: $M_T = 5{,}972\times10^{24}\ \text{kg}$ ; $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}$ .

v \approx 1{,}02\times10^3\ \text{m/s}

v \approx 1{,}02\times10^6\ \text{m/s}

v \approx 2{,}04\times10^3\ \text{m/s}

v \approx 5{,}1\times10^2\ \text{m/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$v \approx 1{,}02\times10^3\ \text{m/s}$

Correcto.

v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}972\times10^{24}}{3{,}84\times10^8}} \approx 1{,}02\times10^3\ \text{m/s}

En la órbita circular de la Luna, la fuerza gravitatoria proporciona la centrípeta:

\frac{GM_T m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}

. Despejando, la velocidad orbital es

v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}972\times10^{24}}{3{,}84\times10^8}} = 1{,}02\times10^3\ \text{m/s}

, es decir, algo más de

1\ \text{km/s}

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EvAU ARA 2023 — P3.aDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P3.a — Aceleración de una carga en un campo eléctrico

Una partícula de masa $m = 3{,}2\times10^{-15}\ \text{kg}$ y carga $q = 3\ \text{mC}$ parte del reposo y es acelerada por un campo electrostático uniforme $E_1 = 325\ \text{V/m}$ .

¿Cuál es la aceleración que adquiere?

a \approx 3{,}05\times10^{14}\ \text{m/s}^2

a \approx 3{,}05\times10^{11}\ \text{m/s}^2

a \approx 9{,}75\times10^{-13}\ \text{m/s}^2

a \approx 1{,}52\times10^{14}\ \text{m/s}^2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a \approx 3{,}05\times10^{14}\ \text{m/s}^2$

Correcto. La fuerza eléctrica es

F = qE

, y por la 2.ª ley de Newton

a = \dfrac{qE}{m} = \dfrac{3\times10^{-3}\cdot325}{3{,}2\times10^{-15}} \approx 3{,}05\times10^{14}\ \text{m/s}^2

La fuerza electrostática sobre la partícula cargada en el campo uniforme es

F = qE

. Aplicando la 2.ª ley de Newton, la aceleración es

a = \frac{qE}{m} = \frac{3\times10^{-3}\cdot325}{3{,}2\times10^{-15}} = 3{,}05\times10^{14}\ \text{m/s}^2

. Con esta aceleración a lo largo de

3\ \text{m}

, la velocidad de salida (cinemática

v^2 = 2ad

) sería

v = 4{,}28\times10^7\ \text{m/s}

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EvAU ARA 2023 — P4.bDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P4.b — Campo magnético de un hilo rectilíneo

Por un hilo conductor rectilíneo muy largo circula una corriente de $I = 3\ \text{A}$ .

¿Cuál es el módulo del campo magnético que crea a una distancia $d = 1\ \text{m}$ ?

Dato: permeabilidad del vacío $\mu_0 = 1{,}257\times10^{-6}\ \text{T·m/A}$ .

B \approx 6\times10^{-7}\ \text{T}

B \approx 1{,}2\times10^{-6}\ \text{T}

B \approx 3{,}77\times10^{-6}\ \text{T}

B \approx 6\times10^{-7}\ \text{T/m}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$B \approx 6\times10^{-7}\ \text{T}$

Correcto.

B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = \dfrac{1{,}257\times10^{-6}\cdot3}{2\pi\cdot1} \approx 6\times10^{-7}\ \text{T}

El campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo indefinido a una distancia

d

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}

(ley de Biot-Savart / Ampère). Sustituyendo

I = 3\ \text{A}

d = 1\ \text{m}

\mu_0 = 1{,}257\times10^{-6}\ \text{T·m/A}

B = \frac{1{,}257\times10^{-6}\cdot3}{2\pi\cdot1} = 6\times10^{-7}\ \text{T}

. Las líneas de campo son circunferencias concéntricas alrededor del hilo (regla de la mano derecha).

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EvAU ARA 2023 — P5.bDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P5.b — Velocidad máxima de un M.A.S.

Un M.A.S. viene descrito por $A(t) = 5\,\text{sen}(14\pi t - \pi/2)$ , expresado en milímetros (la amplitud es $5\ \text{mm}$ ).

¿Cuál es la velocidad máxima de oscilación?

v_{max} \approx 219{,}9\ \text{mm/s}

v_{max} = 5\ \text{mm/s}

v_{max} = 14\pi\ \text{mm/s}

v_{max} \approx 109{,}9\ \text{mm/s}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$v_{max} \approx 219{,}9\ \text{mm/s}$

Correcto.

\omega = 14\pi\ \text{rad/s}

. La velocidad máxima es

v_{max} = A\omega = 5\cdot14\pi = 70\pi \approx 219{,}9\ \text{mm/s}

En la ecuación

A(t) = 5\,\text{sen}(14\pi t - \pi/2)

, la frecuencia angular es

\omega = 14\pi\ \text{rad/s}

y la amplitud

A = 5\ \text{mm}

. La velocidad es la derivada,

v(t) = A\omega\cos(\omega t - \pi/2)

, que alcanza su máximo cuando el coseno vale 1:

v_{max} = A\omega = 5\cdot14\pi = 70\pi \approx 219{,}9\ \text{mm/s}

. Esto ocurre al pasar por la posición de equilibrio.

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EvAU ARA 2023 — P6.aDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P6.a — Índice de refracción del aceite

Un haz de luz incide sobre la superficie de separación entre aire y aceite con un ángulo de $30°$ (respecto a la normal). El rayo que penetra en el aceite forma $21°$ con la normal.

¿Cuál es el índice de refracción del aceite?

Dato: índice del aire $n_{aire} = 1$ .

n_{aceite} \approx 1{,}40

n_{aceite} \approx 0{,}72

n_{aceite} = 1{,}33

n_{aceite} \approx 1{,}55

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$n_{aceite} \approx 1{,}40$

Correcto. Por la ley de Snell

n_{aire}\sin30° = n_{aceite}\sin21°

n_{aceite} = \dfrac{\sin30°}{\sin21°} = \dfrac{0{,}5}{0{,}358} \approx 1{,}40

Aplicando la ley de Snell de la refracción en la interfase aire-aceite,

n_{aire}\sin\theta_1 = n_{aceite}\sin\theta_2

, con

\theta_1 = 30°

\theta_2 = 21°

n_{aceite} = \frac{n_{aire}\sin30°}{\sin21°} = \frac{1\cdot0{,}5}{0{,}358} \approx 1{,}40

. El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio; al ser mayor que 1, el aceite es ópticamente más denso que el aire y el rayo se acerca a la normal.

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EvAU ARA 2023 — P8.bDificultat 3/5

EvAU ARA 2023 — P8.b — Período de semidesintegración

La actividad radiactiva de cierto elemento ha descendido un $20\,\%$ al cabo de $30\ \text{días}$ (la constante de desintegración es $\lambda = 8{,}6\times10^{-8}\ \text{s}^{-1}$ ).

¿Cuál es su período de semidesintegración?

T_{1/2} \approx 93{,}2\ \text{días}

T_{1/2} = 30\ \text{días}

T_{1/2} \approx 46{,}6\ \text{días}

T_{1/2} \approx 134\ \text{días}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$T_{1/2} \approx 93{,}2\ \text{días}$

Correcto.

T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \dfrac{0{,}693}{8{,}6\times10^{-8}} \approx 8{,}05\times10^6\ \text{s} \approx 93{,}2\ \text{días}

De la ley de desintegración

N = N_0 e^{-\lambda t}

, con un descenso del 20 % en 30 días (

N/N_0 = 0{,}8

), se obtiene

\lambda = -\frac{\ln(0{,}8)}{30\cdot24\cdot3600} = 8{,}6\times10^{-8}\ \text{s}^{-1}

. El período de semidesintegración es el tiempo en que la muestra se reduce a la mitad:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{8{,}6\times10^{-8}} = 8{,}05\times10^6\ \text{s} \approx 93{,}2\ \text{días}

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