PAU CataluñaConvocatòria ordinaria

Matemáticas CCSS PAU Cataluña 2023

Matemàtiques aplicades a les ciències socials — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Cuatro ejercicios obligatorios de 2,5 puntos (opción A o B en el último)

Blocs temàtics

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

PDF oficial de l'examen

8 exercicis a EureQuiz

Practica aquest examen amb variants il·limitades. Cada intent genera dades noves per aprendre realment el mètode.

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Exercicis de l'examen8 exercicis

PAU CAT 2023 — A.1 (operaciones con matrices)Dificultat 3/5

Dadas $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}$ , calcula el elemento de la fila 1, columna 1 del producto $A\cdot B$ .

4

3

7

2

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$7$

Correcto.

(A\cdot B)_{11}=1\cdot3+2\cdot2=3+4=7

El elemento

(1,1)

A\cdot B

es el producto escalar de la fila 1 de

A

(1,2)

, por la columna 1 de

B

(3,2)

1\cdot3+2\cdot2=7

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PAU CAT 2023 — A.2 (programación lineal)Dificultat 3/5

Una empresa fabrica camisetas ( $x$ ) y sudaderas ( $y$ ). Dispone de 60 h de corte ( $x+2y\le60$ ) y 80 h de confección ( $2x+y\le80$ ). El beneficio es 4 €/camiseta y 6 €/sudadera. Con $x,y\ge0$ , ¿cuál es el beneficio máximo?

160

€

\dfrac{640}{3}\approx213{,}33

€

180

€

200

€

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$\dfrac{640}{3}\approx213{,}33$ €

Correcto. El óptimo es el corte de las dos rectas:

x+2y=60

2x+y=80

dan

x=\dfrac{100}{3}

y=\dfrac{40}{3}

B=4\cdot\tfrac{100}{3}+6\cdot\tfrac{40}{3}=\tfrac{400+240}{3}=\tfrac{640}{3}\approx213{,}33

€.

Maximizar

B=4x+6y

con

x+2y\le60

2x+y\le80

x,y\ge0

. El vértice óptimo es el corte de las dos rectas:

x=\tfrac{100}{3}

y=\tfrac{40}{3}

, con

B=\tfrac{640}{3}\approx213{,}33

€.

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PAU CAT 2023 — A.3 (extremos de una función)Dificultat 3/5

Sea $f(x)=x^3-3x^2+4$ . Determina las abscisas de sus extremos relativos.

x=0

(máximo) y

x=2

(mínimo)

x=1

x=3

x=-1

x=4

x=0

x=-2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x=0$ (máximo) y $x=2$ (mínimo)

Correcto.

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

, que se anula en

x=0

x=2

. Como

f''(x)=6x-6

f''(0)=-6<0

(máximo en

x=0

) y

f''(2)=6>0

(mínimo en

x=2

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

se anula en

x=0

x=2

. Con

f''(x)=6x-6

: en

x=0

hay máximo (

f''<0

) y en

x=2

mínimo (

f''>0

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PAU CAT 2023 — A.4 (probabilidad total)Dificultat 3/5

Una fábrica usa dos máquinas: la M1 produce el 60 % de las piezas y la M2 el 40 %. La M1 produce un 3 % de defectuosas y la M2 un 5 %. Eligiendo una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

0{,}04

0{,}038

0{,}02

0{,}08

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$0{,}038$

Correcto.

P(D)=0{,}6\cdot0{,}03+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}018+0{,}020=0{,}038

Probabilidad total:

P(D)=0{,}6\cdot0{,}03+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}018+0{,}020=0{,}038

. (Por Bayes,

P(M1|D)=\tfrac{0{,}018}{0{,}038}\approx0{,}474

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PAU CAT 2023 — B.1 (intervalo de confianza)Dificultat 3/5

El peso de las cajas de una marca sigue una normal con $\sigma=12$ g. En una muestra de $n=36$ cajas la media es $\bar{x}=500$ g. Calcula el intervalo de confianza del 95 % para la media ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ ). ( $\sqrt{36}=6$ )

(476{,}48;\,523{,}52)

(496{,}71;\,503{,}29)

(496{,}08;\,503{,}92)

(499{,}35;\,500{,}65)

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$(496{,}08;\,503{,}92)$

Correcto.

E=1{,}96\cdot\dfrac{12}{\sqrt{36}}=1{,}96\cdot2=3{,}92

. IC

=(500-3{,}92;\,500+3{,}92)=(496{,}08;\,503{,}92)

=\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=500\pm1{,}96\cdot\frac{12}{6}=500\pm3{,}92

, es decir

(496{,}08;\,503{,}92)

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PAU CAT 2023 — B.2 (integral definida, área)Dificultat 3/5

Calcula el área encerrada entre la curva $f(x)=x^2$ y el eje OX en el intervalo $[0,3]$ .

3

27

9

13{,}5

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$9$

Correcto.

\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=\dfrac{27}{3}-0=9

unidades de área.

El área es

\int_0^3 x^2\,dx=\big[\frac{x^3}{3}\big]_0^3=\frac{27}{3}=9

unidades cuadradas.

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PAU CAT 2023 — B.3 (probabilidad binomial)Dificultat 2/5

Un test tiene 10 preguntas con 4 opciones cada una. Respondiendo al azar, la probabilidad de acertar cada pregunta es $0{,}25$ . ¿Cuál es el número esperado de aciertos (media de la binomial $B(10;\,0{,}25)$ )?

0{,}25

2{,}5

1{,}875

5

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$2{,}5$

Correcto. En una binomial

B(n,p)

la media es

\mu=n\cdot p=10\cdot0{,}25=2{,}5

aciertos.

El número de aciertos sigue

B(10;\,0{,}25)

. La media es

\mu=n\cdot p=10\cdot0{,}25=2{,}5

aciertos.

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PAU CAT 2023 — B.4 (recta tangente)Dificultat 3/5

Obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)=\ln x$ en el punto de abscisa $x=1$ .

y=x-1

y=x+1

y=0

y=\ln x

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$y=x-1$

Correcto.

f(1)=\ln1=0

f'(x)=\dfrac1x

f'(1)=1

. Tangente:

y=0+1\cdot(x-1)=x-1

Con

f(x)=\ln x

f(1)=0

f'(x)=1/x

f'(1)=1

. La tangente es

y=0+1\cdot(x-1)=x-1

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