PAU CataluñaConvocatoria ordinaria

Matemáticas CCSS PAU Cataluña 2024

Matemàtiques aplicades a les ciències socials — 2.º Bachillerato — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Cuatro ejercicios obligatorios de 2,5 puntos (opción A o B en el último)

Bloques temáticos

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

PDF oficial del examen

8 ejercicios en EureQuiz

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Ejercicios del examen8 ejercicios

PAU CAT 2024 — A.1 (programación lineal)Dificultad 3/5

Una cooperativa elabora dos tipos de mermelada, A ( $x$ ) y B ( $y$ ). Cada kg de A necesita 2 kg de fruta y 1 h de cocción; cada kg de B, 1 kg de fruta y 3 h de cocción. Dispone de 100 kg de fruta ( $2x+y\le100$ ) y 120 h de cocción ( $x+3y\le120$ ). El beneficio es 3 €/kg de A y 4 €/kg de B. Con $x,y\ge0$ , ¿cuál es el beneficio máximo?

150

€

220

€

160

€

200

€

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$220$ €

Correcto. El óptimo es el corte de las dos rectas:

2x+y=100

x+3y=120

dan

x=36

y=28

B=3\cdot36+4\cdot28=108+112=220

€.

Maximizar

B=3x+4y

con

2x+y\le100

x+3y\le120

x,y\ge0

. El vértice óptimo es el corte de las rectas:

x=36

y=28

, con

B=220

€.

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PAU CAT 2024 — A.2 (sistema de ecuaciones)Dificultad 3/5

Un comercio vende camisas, pantalones y zapatos. Una camisa cuesta el doble que un cinturón… (planteamiento): el precio de una camisa más un pantalón es 70 €, el de un pantalón más un par de zapatos es 110 €, y el de una camisa más un par de zapatos es 100 €. ¿Cuánto cuesta el pantalón?

40

€

30

€

70

€

50

€

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$40$ €

Correcto. Sea

c

(camisa),

p

(pantalón),

z

(zapatos):

c+p=70

p+z=110

c+z=100

. Sumando las tres:

2(c+p+z)=280\Rightarrow c+p+z=140

. Restando

c+z=100

p=40

€.

Con

c+p=70

p+z=110

c+z=100

, al sumar se obtiene

c+p+z=140

. Restando

c+z=100

queda

p=40

€.

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PAU CAT 2024 — A.3 (optimización aplicada)Dificultad 3/5

El beneficio (en miles de €) de una empresa según las unidades vendidas $x$ (en miles) es $B(x)=-x^2+8x-7$ . ¿Cuántas unidades (en miles) maximizan el beneficio?

9

1

4

8

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$4$

Correcto.

B'(x)=-2x+8=0\Rightarrow x=4

(mil unidades). Como

B''(x)=-2<0

, es un máximo. El beneficio máximo es

B(4)=9

B'(x)=-2x+8=0\Rightarrow x=4

mil unidades. Con

B''(x)=-2<0

es un máximo; el beneficio máximo es

B(4)=-16+32-7=9

mil €.

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PAU CAT 2024 — A.4 (Bayes)Dificultad 3/5

Un 40 % de los clientes de una tienda son socios. El 70 % de los socios compran online y solo el 20 % de los no socios lo hacen. Si un cliente ha comprado online, ¿cuál es la probabilidad de que sea socio?

0{,}4

0{,}28

0{,}7

0{,}5

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$0{,}7$

Correcto.

P(\text{online})=0{,}4\cdot0{,}7+0{,}6\cdot0{,}2=0{,}28+0{,}12=0{,}40

. Por Bayes,

P(\text{socio}|\text{online})=\dfrac{0{,}28}{0{,}40}=0{,}7

Probabilidad total:

P(\text{online})=0{,}4\cdot0{,}7+0{,}6\cdot0{,}2=0{,}40

. Por Bayes,

P(\text{socio}|\text{online})=\frac{0{,}28}{0{,}40}=0{,}7

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PAU CAT 2024 — B.1 (tamaño muestral)Dificultad 3/5

Una variable sigue una normal con $\sigma=20$ . ¿Qué tamaño muestral mínimo $n$ se necesita para estimar la media con un error máximo de $E=5$ y un 95 % de confianza ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ )? ( $1{,}96^2=3{,}8416$ )

8

62

61

246

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$62$

Correcto.

n\ge\left(\dfrac{z\cdot\sigma}{E}\right)^2=\left(\dfrac{1{,}96\cdot20}{5}\right)^2=(7{,}84)^2=61{,}47

. Se redondea al alza:

n=62

E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

se despeja

n=\left(\frac{z\sigma}{E}\right)^2=\left(\frac{1{,}96\cdot20}{5}\right)^2\approx61{,}47

. Redondeando al alza,

n=62

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PAU CAT 2024 — B.2 (integral con parámetro)Dificultad 3/5

Dada $f(x)=2x+k$ , halla el valor de $k$ sabiendo que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=10$ .

5

3

6

2

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$3$

Correcto.

\int_0^2(2x+k)\,dx=[x^2+kx]_0^2=4+2k

. Igualando a 10:

4+2k=10\Rightarrow k=3

\int_0^2(2x+k)\,dx=[x^2+kx]_0^2=4+2k

. Igualando a 10:

4+2k=10\Rightarrow k=3

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PAU CAT 2024 — B.3 (probabilidad de la unión)Dificultad 2/5

Sean $A$ y $B$ dos sucesos con $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}4$ y $P(A\cap B)=0{,}2$ . Calcula $P(A\cup B)$ .

0{,}9

0{,}5

0{,}7

0{,}2

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$0{,}7$

Correcto.

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7

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PAU CAT 2024 — B.4 (monotonía)Dificultad 3/5

Estudia el crecimiento de $f(x)=x^3-12x$ . ¿En qué intervalo decrece la función? (Raíces de $f'(x)$ en $x=\pm2$ )

ADecrece en

(-2,\,2)

BDecrece en

(-\infty,-2)

(2,+\infty)

CDecrece en

(-4,\,4)

DDecrece en

(0,\,2)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Decrece en $(-2,\,2)$

Correcto.

f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)

, raíces

x=\pm2

. Como es una parábola

\cup

f'<0

ENTRE las raíces: decrece en

(-2,2)

f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)

, raíces

x=\pm2

. Por ser parábola

\cup

f'<0

(-2,2)

(decrece) y

f'>0

fuera (crece). En

x=-2

hay máximo y en

x=2

mínimo.

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