EvAU AragónConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Aragón 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen10 exercicis

EvAU ARA 2024 — Pregunta 1Dificultat 3/5

Sea $f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ si $x\neq 0$ y $f(0)=a$ , con $a\in\mathbb{R}$ . ¿Para qué valor de $a$ es $f$ continua en todo $\mathbb{R}$ ?

a=0

a=1

a=2

DNo existe valor de

a

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$a=2$

Correcto.

\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2

(por L'Hôpital o por el límite notable

\frac{e^{u}-1}{u}\to1

con

u=2x

). Para que sea continua,

a=2

Para

x\neq0

f

es continua (cociente de funciones continuas, denominador no nulo). En

x=0

\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x}=2\cdot1=2

. La función es continua en

\mathbb{R}

si y solo si

a=2

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 2Dificultat 3/5

Calcula el límite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{x^2+5}-(x+2)\right]$ .

0

-2

+\infty

2

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$-2$

Correcto.

\sqrt{x^2+5}-x\to0

(multiplica y divide por el conjugado:

\frac{5}{\sqrt{x^2+5}+x}\to0

), así que el límite es

0-2=-2

\sqrt{x^2+5}-(x+2)=\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)-2

. Multiplicando por el conjugado:

\sqrt{x^2+5}-x=\dfrac{(x^2+5)-x^2}{\sqrt{x^2+5}+x}=\dfrac{5}{\sqrt{x^2+5}+x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0

. Por tanto el límite es

0-2=-2

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 4Dificultat 3/5

Entre todos los rectángulos de perímetro $P$ cm, el de mayor área es el cuadrado. Si el perímetro es $P=40$ cm, ¿cuál es esa área máxima?

40

cm²

80

cm²

100

cm²

160

cm²

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$100$ cm²

Correcto. El cuadrado tiene lado

P/4=10

cm, así que el área máxima es

10\cdot10=100

cm².

Con lados

x

y

y perímetro

2x+2y=P

, se tiene

y=\tfrac{P}{2}-x

. El área

A(x)=x\left(\tfrac{P}{2}-x\right)

tiene derivada

A'(x)=\tfrac{P}{2}-2x

, que se anula en

x=\tfrac{P}{4}

, máximo (la parábola abre hacia abajo). Entonces

y=\tfrac{P}{4}

: es el cuadrado de lado

P/4

. Para

P=40

: lado

10

cm y área

100

cm².

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 5Dificultat 3/5

Dadas $A=\begin{pmatrix}-2&1\\2&0\\0&-1\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ y $C=A^{T}\cdot B+I_2$ , calcula $C^{2}$ .

\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}8&-4\\-4&4\end{pmatrix}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}$

Correcto.

A^{T}B=\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}

, luego

C=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}

C^2=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=5I_2

A^{T}=\begin{pmatrix}-2&2&0\\1&0&-1\end{pmatrix}

. Entonces

A^{T}B=\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}

C=A^{T}B+I_2=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}

. Al elevar al cuadrado,

C^2=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=5I_2

. De aquí

C^{2n}=5^{n}I_2

(apartado a del examen).

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 6Dificultat 3/5

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}2&-3&4\\-4&6&m-6\\2&-3&m+6\end{pmatrix}$ con $m\in\mathbb{R}$ , estudia su rango. ¿Cuál es el rango de $A$ según $m$ ?

\operatorname{rg}A=3

m\neq-2

;

\operatorname{rg}A=2

m=-2

\operatorname{rg}A=2

m\neq-2

;

\operatorname{rg}A=1

m=-2

\operatorname{rg}A=2

para todo

m

\operatorname{rg}A=1

para todo

m

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$\operatorname{rg}A=2$ si $m\neq-2$ ; $\operatorname{rg}A=1$ si $m=-2$

Correcto.

\det A=0\;\forall m

, así que

\operatorname{rg}A\le2

. Para

m\neq-2

hay un menor

2\times2

no nulo (

\operatorname{rg}=2

); para

m=-2

todas las columnas son proporcionales (

\operatorname{rg}=1

Las filas cumplen

F_2+2F_1=(0,0,m+2)

F_3-F_1=(0,0,m+2)

, lo que fuerza

\det A=0

para todo

m

; por tanto

\operatorname{rg}A\le2

. El menor

\begin{vmatrix}2&4\\2&m+6\end{vmatrix}=2(m+2)\neq0

m\neq-2

, así que

\operatorname{rg}A=2

en ese caso. Si

m=-2

, la tercera columna

(4,-8,4)=2\,(2,-4,2)

es proporcional a la primera (y la segunda también lo es), de modo que

\operatorname{rg}A=1

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 7Dificultat 3/5

Un comercio vende tres artículos: $A$ (IVA 4 %), $B$ (IVA 10 %) y $C$ (IVA 21 %). El precio total sin IVA de 1 unidad de $A$ , 2 de $B$ y 5 de $C$ es de 483 €. El IVA total de 100 unidades de $A$ , 10 de $B$ y 100 de $C$ es de 1954 €. Además, el precio sin IVA de $C$ es igual al de 4 unidades de $A$ más 8 de $B$ . ¿Cuál es el precio de venta (IVA incluido) del electrodoméstico $C$ ?

92

€

3{,}12

€

111{,}32

€

103{,}04

€

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$111{,}32$ €

Correcto. Del sistema sale

A=3

€,

B=10

€,

C=92

€ sin IVA. El precio de venta de

C

92\cdot1{,}21=111{,}32

€.

Con precios sin IVA

a

b

c

a+2b+5c=483

;

4a+b+21c=1954

(IVA total);

c=4a+8b

. Sustituyendo

c

en la primera:

21a+42b=483\Rightarrow a+2b=23

; en la segunda:

88a+169b=1954

. Resolviendo:

a=3

b=10

c=92

€. El precio de venta de

C

92\cdot1{,}21=111{,}32

€ (el de

A

3{,}12

€ y el de

B

11{,}00

€).

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 8Dificultat 3/5

Dados $P_1(-2,1,1)$ , $P_2(0,a,-2)$ , $P_3(-1,1,-1)$ y $P_4(1,3,-3)$ , ¿para qué valores de $a$ el tetraedro de vértices $P_1,P_2,P_3,P_4$ tiene volumen $\tfrac{1}{3}$ ?

a=2

a=1

a=3

CSolo

a=1

a=0

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$a=1$ o $a=3$

Correcto.

V=\tfrac16\left|\det[\,\vec{P_1P_2},\vec{P_1P_3},\vec{P_1P_4}\,]\right|=\tfrac16|4-2a|=\tfrac13\Rightarrow|4-2a|=2\Rightarrow a=1

a=3

\vec{P_1P_2}=(2,a-1,-3)

\vec{P_1P_3}=(1,0,-2)

\vec{P_1P_4}=(3,2,-4)

. Su producto mixto vale

4-2a

. El volumen es

V=\tfrac16|4-2a|

. Imponiendo

V=\tfrac13

|4-2a|=2\Rightarrow a=1

a=3

. (Para

a=2

el producto mixto es 0 y los cuatro puntos son coplanarios, apartado b del examen.)

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 9Dificultat 3/5

Una asignatura tiene 99 matriculados (54 alumnas y 45 alumnos). En primera convocatoria aprueban 49 personas (28 alumnas y 21 alumnos). Si se elige al azar a una persona que aprobó en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

\approx0{,}519

\approx0{,}283

\dfrac{28}{49}\approx0{,}571

\approx0{,}545

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\dfrac{28}{49}\approx0{,}571$

Correcto. Entre los 49 que aprobaron, 28 son mujeres:

P(\text{mujer}\mid\text{aprobó})=\dfrac{28}{49}\approx0{,}571

El suceso condicionante es "aprobó en primera convocatoria" (49 personas). De ellas, 28 son mujeres. Por tanto

P(\text{mujer}\mid\text{aprobó})=\dfrac{28}{49}\approx0{,}571

. (Los porcentajes de aprobados del apartado a son

\tfrac{28}{54}\approx51{,}9\%

de alumnas y

\tfrac{21}{45}\approx46{,}7\%

de alumnos.)

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 10Dificultat 3/5

Las llegadas de turistas se reparten así: 55 % en avión, 30 % en tren, 10 % en autobús y 5 % en barco. Visitaron Aragón el 50 % de los que vinieron en avión, el 60 % de los del tren, el 100 % de los del autobús y el 20 % de los del barco. ¿Cuál es la probabilidad de que un turista elegido al azar haya visitado Aragón?

0{,}50

0{,}565

0{,}45

0{,}60

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$0{,}565$

Correcto. Por probabilidad total:

0{,}55\cdot0{,}5+0{,}30\cdot0{,}6+0{,}10\cdot1+0{,}05\cdot0{,}2=0{,}565

Por el teorema de la probabilidad total:

P(\text{Aragón})=0{,}55\cdot0{,}5+0{,}30\cdot0{,}6+0{,}10\cdot1+0{,}05\cdot0{,}2=0{,}275+0{,}18+0{,}10+0{,}01=0{,}565

. (En el apartado b, por Bayes,

P(\text{bus o tren}\mid\text{Aragón})=\tfrac{0{,}10+0{,}18}{0{,}565}\approx0{,}496

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EvAU ARA 2024 — Pregunta 1 (b)Dificultat 3/5

Para $a=1$ , la función $f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ tiene en $x=1$ una recta tangente. ¿En qué punto corta esa recta tangente al eje $OY$ ?

(0,\,-2)

(0,\,0)

\left(0,\,e^2-1\right)

(0,\,2)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(0,\,-2)$

Correcto.

f(1)=e^2-1

f'(1)=e^2+1

. La tangente

y=(e^2-1)+(e^2+1)(x-1)

x=0

y=(e^2-1)-(e^2+1)=-2

: el punto

(0,-2)

Con

a=1

f(1)=e^2-1

. La derivada

f'(x)=\dfrac{2xe^{2x}-(e^{2x}-1)}{x^2}

vale

f'(1)=2e^2-(e^2-1)=e^2+1

. La recta tangente es

y=(e^2-1)+(e^2+1)(x-1)

. En

x=0

y=(e^2-1)-(e^2+1)=-2

, luego corta a

OY

(0,-2)

. (El corte con

OX

es en

x=\tfrac{2}{e^2+1}\approx0{,}24

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