EvAU AndalucíaConvocatoria ordinaria

Matemáticas EvAU Andalucía 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
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Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

PEvAU AND 2024 — A.1Dificultad 3/5

Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\ln(x)$ , y los puntos de su gráfica $A(1,0)$ y $B(e,1)$ . ¿En qué abscisa la recta tangente a la gráfica de $f$ es paralela a la recta que pasa por $A$ y $B$ ?

x = e - 1

x = 1

x = e

x = \dfrac{1+e}{2}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$x = e - 1$

¡Correcto! La pendiente de

AB

\frac{1-0}{e-1}=\frac{1}{e-1}

. Como

f'(x)=\frac{1}{x}

, igualando

\frac{1}{x}=\frac{1}{e-1}

se obtiene

x=e-1

Por el teorema del valor medio, existe

c\in(1,e)

con

f'(c)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}=\frac{1}{e-1}

. Como

f'(x)=\frac{1}{x}

, se tiene

\frac{1}{x}=\frac{1}{e-1}\Rightarrow x=e-1\approx 1{,}718

, que está en

(1,e)

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PEvAU AND 2024 — A.1.bDificultad 3/5

Para $f(x)=\ln(x)$ , ¿cuál es la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A(1,0)$ ?

y = -x + 1

y = x - 1

y = -x - 1

y = 0

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$y = -x + 1$

¡Correcto!

f'(1)=1

, así que la pendiente de la normal es

-\frac{1}{f'(1)}=-1

. La recta por

A(1,0)

y-0=-1(x-1)

, es decir

y=-x+1

A(1,0)

f'(1)=1

(pendiente de la tangente). La normal es perpendicular, con pendiente

-\frac{1}{1}=-1

. Por la ecuación punto-pendiente:

y-0=-1(x-1)\Rightarrow y=-x+1

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PEvAU AND 2024 — A.2Dificultad 3/5

Sea $f$ continua en $\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\dfrac{x\cos(x)-a\,\operatorname{sen}(x)}{x^3}$ si $x<0$ y $f(x)=b\cos(x)-1$ si $x\ge 0$ . Para que $f$ sea continua en $x=0$ , el límite por la izquierda debe existir y ser finito. ¿Qué valor debe tomar $a$ para que ese límite no sea infinito?

a = 1

a = 0

a = -1

a = 3

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$a = 1$

¡Correcto!

a=1

. Para

x\to 0^-

, el numerador

x\cos x - a\,\operatorname{sen} x

debe ser un infinitésimo de orden

\ge 3

. Con

a=1

, el término lineal

(1-a)x

se anula y el numerador queda de orden

x^3

, dando límite finito.

Para que

\lim_{x\to 0^-}\frac{x\cos x-a\,\operatorname{sen} x}{x^3}

sea finito, el numerador debe ser un infinitésimo de orden

\ge 3

. Con los desarrollos

\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\cdots

\operatorname{sen} x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots

, el numerador es

(1-a)x + \left(-\frac12+\frac{a}{6}\right)x^3+\cdots

. El coeficiente de

x

se anula con

a=1

, dejando un infinitésimo de orden 3 y límite finito.

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PEvAU AND 2024 — B.4Dificultad 3/5

Halla la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f'(x)=x\cos(x)$ y cuya gráfica pasa por el punto $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ . ¿Cuál es la expresión de $f(x)$ ?

f(x) = x\operatorname{sen} x + \cos x + \dfrac{\pi}{2} - 1

f(x) = x\operatorname{sen} x - \cos x + \dfrac{\pi}{2}

f(x) = \dfrac{x^2}{2}\operatorname{sen} x + \dfrac{\pi}{2}

f(x) = x\operatorname{sen} x + \cos x + \dfrac{\pi}{2}

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$f(x) = x\operatorname{sen} x + \cos x + \dfrac{\pi}{2} - 1$

¡Correcto! Por partes:

\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x+\cos x+C

. Imponiendo

f(0)=\frac{\pi}{2}

0+1+C=\frac{\pi}{2}\Rightarrow C=\frac{\pi}{2}-1

. Así

f(x)=x\operatorname{sen} x+\cos x+\frac{\pi}{2}-1

Integración por partes con

u=x

dv=\cos x\,dx

\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x + \cos x + C

. Condición

f(0)=\frac{\pi}{2}

0+1+C=\frac{\pi}{2}\Rightarrow C=\frac{\pi}{2}-1

. Luego

f(x)=x\operatorname{sen} x+\cos x+\frac{\pi}{2}-1

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PEvAU AND 2024 — C.5.aDificultad 3/5

Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . ¿Cuál es la matriz $A^{2024}$ ?

\begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2024 & 253 & 253 \\ 0 & 2024 & 0 \\ 0 & 0 & 2024 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

DLa potencia

A^{2024}

no se puede simplificar

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

¡Correcto! Escribiendo

A=I+N

con

N=\begin{pmatrix}0&1/8&1/8\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

N^2=0

, entonces

A^n=I+nN

. Para

n=2024

A^{2024}=\begin{pmatrix}1&253&253\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

(pues

2024/8=253

Con

A=I+N

N=\begin{pmatrix}0&1/8&1/8\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

, se tiene

N^2=0

(matriz nilpotente). Por el binomio de Newton,

A^n=(I+N)^n=I+nN

. Para

n=2024

: los términos fuera de la diagonal valen

2024\cdot\frac18=253

. Resultado:

A^{2024}=\begin{pmatrix}1&253&253\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

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PEvAU AND 2024 — C.6Dificultad 3/5

Considera el sistema $\begin{cases} y+z=1 \\ (k-1)x+y+z=k \\ x+(k-1)y+z=0 \end{cases}$ . El determinante de la matriz de coeficientes es $(k-1)(k-2)$ . ¿Para qué valor de $k$ el sistema es incompatible (sin solución)?

k = 2

k = 0

k = 3

k = -1

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$k = 2$

¡Correcto! El determinante se anula en

k=1

k=2

. En

k=2

, el rango de la matriz de coeficientes (2) es menor que el de la ampliada (3): el sistema es incompatible.

El determinante de la matriz de coeficientes es

(k-1)(k-2)

, que se anula en

k=1

k=2

. En

k=1

el sistema es compatible indeterminado. En

k=2

, el rango de la matriz de coeficientes (2) es menor que el de la ampliada (3): el sistema es incompatible. Para los demás valores hay solución única.

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PEvAU AND 2024 — D.7.bDificultad 3/5

Halla el punto simétrico de $Q(1,-1,-3)$ respecto del plano $\pi:\ x-2y+z+6=0$ . ¿Cuál es ese punto $Q'$ ?

Q' = (-1, 3, -5)

Q' = (0, 1, -4)

Q' = (3, -3, -1)

Q' = (-1, -3, -5)

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$Q' = (-1, 3, -5)$

¡Correcto! La recta por

Q

perpendicular a

\pi

(1+t,-1-2t,-3+t)

. Sustituyendo en

\pi

(1+t)-2(-1-2t)+(-3+t)+6=0\Rightarrow 6+6t=0\Rightarrow t=-1

. El pie es

M(0,1,-4)

; el simétrico es

Q'=2M-Q=(-1,3,-5)

Recta por

Q(1,-1,-3)

con dirección

\vec{n}=(1,-2,1)

(1+t,-1-2t,-3+t)

. Corte con

\pi

(1+t)-2(-1-2t)+(-3+t)+6=0\Rightarrow 6t+6=0\Rightarrow t=-1

, dando el pie

M(0,1,-4)

. El simétrico es

Q'=2M-Q=(2\cdot0-1,\,2\cdot1-(-1),\,2\cdot(-4)-(-3))=(-1,3,-5)

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PEvAU AND 2024 — D.8.aDificultad 3/5

Considera las rectas $r:\begin{cases} y=0 \\ 2x-z=0 \end{cases}$ y $s:\begin{cases} x+y+7=0 \\ z=0 \end{cases}$ . ¿Cuál es la posición relativa de $r$ y $s$ ?

ASe cruzan (no son coplanarias)

BParalelas distintas

CCoincidentes

DSe cortan en un punto

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

Se cruzan (no son coplanarias)

¡Correcto! Dirección de

r

\vec{u}=(1,0,2)

; dirección de

s

\vec{v}=(1,-1,0)

. No son proporcionales (no paralelas) y el producto mixto

[\vec{u},\vec{v},\vec{AB}]\neq 0

: son rectas que se cruzan.

Director de

r

\vec{u}=(1,0,2)

por

A(0,0,0)

. Director de

s

\vec{v}=(1,-1,0)

por

B(-7,0,0)

. Los directores no son proporcionales (no paralelas). El producto mixto

[\vec{u},\vec{v},\vec{AB}]

con

\vec{AB}=(-7,0,0)

es distinto de cero, así que las rectas no son coplanarias: se cruzan.

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