EvAU MadridConvocatoria ordinaria

Matemáticas EvAU Madrid 2025

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

EvAU MAD 2025 — Bloque 1, Pregunta 1.1Dificultad 3/5

Un equipo de baloncesto anotó 80 puntos. Sean $x$ , $y$ , $z$ el número de lanzamientos de 1, 2 y 3 puntos. Sabiendo que el sistema que modela el partido es $4x + 5y + 6z = 400,\quad 3x - 5y + 3z = 0,\quad x + y - 2z = 5,$ ¿cuántos lanzamientos de cada tipo (1, 2 y 3 puntos) realizó el equipo?

x=30

y=25

z=25

x=25

y=30

z=25

x=25

y=25

z=30

x=20

y=35

z=25

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$x=25$ , $y=30$ , $z=25$

¡Correcto! La solución del sistema es

x = 25

y = 30

z = 25

: 25 tiros de 1 punto, 30 de 2 y 25 de 3.

Resolviendo el sistema

4x+5y+6z=400

3x-5y+3z=0

x+y-2z=5

por reducción o Gauss se obtiene

x=25

y=30

z=25

: el equipo hizo 25 tiros de 1 punto, 30 de 2 y 25 de 3.

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EvAU MAD 2025 — Bloque 1, Pregunta 1.2.aDificultad 3/5

Sea $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ e $I$ la identidad de orden 3. El polinomio característico es $P(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ . ¿Cuáles son sus raíces reales?

\lambda = 2

(doble) y

\lambda = 5

\lambda = 4

\lambda = 3

\lambda = 2

\lambda = 5

(ambas simples)

\lambda = 1

\lambda = 2

\lambda = 10

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\lambda = 2$ (doble) y $\lambda = 5$

¡Correcto!

P(\lambda) = -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 24\lambda + 20 = (2-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 10)

, cuyas raíces son

\lambda = 2

(doble) y

\lambda = 5

Desarrollando

\det(A - \lambda I)

por la tercera columna se obtiene

P(\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 10)

. El factor cuadrático tiene raíces

\lambda = 2

\lambda = 5

, de modo que las raíces totales son

\lambda = 2

(doble) y

\lambda = 5

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EvAU MAD 2025 — Bloque 2, Pregunta 2.aDificultad 3/5

Se usa la curva $f(x) = \cos\left(\dfrac{\pi x}{9}\right) + 2$ sobre un muro de 3 m de alto y 12 m de largo (esquina inferior izquierda en el origen). Halle el valor máximo y el valor mínimo de $f(x)$ en $[0, 12]$ e indique si la curva queda dentro del muro.

AMín 0, máx 2; queda dentro

BMín 1, máx 3; queda dentro

CMín 1, máx 4; se sale del muro

DMín 0, máx 3; queda dentro

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

Mín 1, máx 3; queda dentro

¡Correcto! Como

\cos

varía entre

-1

1

f

varía entre

-1+2 = 1

1+2 = 3

. Ambos valores están dentro de la altura del muro (3 m), luego la curva sí queda contenida.

La función coseno está acotada entre

-1

1

, así que

f(x) = \cos(\pi x/9) + 2

oscila entre

1

3

. Como el muro mide 3 m de alto, ambos valores caben dentro y la curva queda completamente contenida en el muro.

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EvAU MAD 2025 — Bloque 2, Pregunta 2.bDificultad 3/5

Para la curva $f(x) = \cos\left(\dfrac{\pi x}{9}\right) + 2$ , halle el área bajo la curva en el intervalo $[0, 12]$ (área de la región inferior del muro).

A24,0 m²

B36,0 m²

C21,52 m²

D14,48 m²

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

21,52 m²

¡Correcto!

\int_0^{12}\left[\cos(\pi x/9)+2\right]dx = \left[\dfrac{9}{\pi}\sin(\pi x/9) + 2x\right]_0^{12} = \dfrac{9}{\pi}\sin(4\pi/3) + 24 \approx 21,52

m².

El área bajo la curva es

\int_0^{12}[\cos(\pi x/9)+2]dx = \left[\dfrac{9}{\pi}\sin(\pi x/9)+2x\right]_0^{12} = \dfrac{9}{\pi}\sin(4\pi/3)+24 \approx 21,52

m². El área total del muro es

36

m², así que la región superior mide

\approx 14,48

m².

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EvAU MAD 2025 — Bloque 3, Pregunta 3.2.aDificultad 3/5

Sean el punto $P(0, 1, 1)$ y el plano $\pi: x + y = 2$ . Halle la distancia del punto $P$ al plano $\pi$ .

\dfrac{1}{\sqrt{3}}

1

\dfrac{2}{\sqrt{2}}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Ver solución

Respuesta correcta — opción D

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

¡Correcto!

d(P,\pi) = \dfrac{|0 + 1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Escribiendo el plano como

x + y - 2 = 0

, el vector normal es

(1,1,0)

de módulo

\sqrt{2}

. La distancia de

P(0,1,1)

d = \dfrac{|0+1-2|}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

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EvAU MAD 2025 — Bloque 3, Pregunta 3.2.cDificultad 3/5

El plano $\pi: x + y = 2$ corta a los ejes coordenados en los puntos $A(2,0,0)$ y $B(0,2,0)$ . Halle el área del triángulo formado por el punto $P(0,1,1)$ y esos dos puntos de corte.

\sqrt{3}

2\sqrt{3}

\sqrt{2}

3

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$\sqrt{3}$

¡Correcto!

\vec{PA} = (2,-1,-1)

\vec{PB} = (0,1,-1)

;

\vec{PA}\times\vec{PB} = (2,2,2)

, de módulo

2\sqrt{3}

. Área

= \frac{1}{2}|2\sqrt{3}| = \sqrt{3}

Con

\vec{PA} = (2,-1,-1)

\vec{PB} = (0,1,-1)

, el producto vectorial es

\vec{PA}\times\vec{PB} = (2,2,2)

, cuyo módulo es

2\sqrt{3}

. El área del triángulo es

\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}

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EvAU MAD 2025 — Bloque 4, Pregunta 4.2.aDificultad 3/5

Entre los ciudadanos de 14 años o más, el 20 % tiene entre 14 y 24 años, el 50 % entre 25 y 64, y el 30 % más de 64. Son lectores habituales el 74 % de los de 14-24, el 65,8 % de los de 25-64 y el 53,7 % de los mayores de 64. Calcule la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea lector habitual.

A0,6783

B0,6381

C0,5970

D0,3619

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Respuesta correcta — opción B

0,6381

¡Correcto! Por la probabilidad total:

P(D) = 0,74·0,2 + 0,658·0,5 + 0,537·0,3 = 0,6381

Por el teorema de la probabilidad total,

P(\text{lector}) = 0,74·0,2 + 0,658·0,5 + 0,537·0,3 = 0,148 + 0,329 + 0,1611 = 0,6381

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EvAU MAD 2025 — Bloque 4, Pregunta 4.2.bDificultad 3/5

Con los datos anteriores ( $P(\text{lector}) = 0,6381$ ; el grupo 25-64 supone el 50 % de la población y el 65,8 % son lectores), si un ciudadano NO es lector habitual, calcule la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años.