ABAU GaliciaConvocatoria ordinaria

Matemáticas ABAU Galicia 2025

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Ejercicios resueltos con explicación

Formato del examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Bloques temáticos

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Ejercicios del examen8 ejercicios

ABAU GAL 2025 — Pregunta 1.2Dificultad 3/5

En una cafetería universitaria, el 65 % de los clientes son estudiantes, el 25 % personal y el 10 % personas ajenas. Pagan en efectivo el 30 % de los estudiantes, el 70 % del personal y el 80 % de las personas ajenas. Calcule la probabilidad de que un pago NO se haya hecho en efectivo.

A0,45

B0,60

C0,55

D0,70

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Respuesta correcta — opción C

0,55

¡Correcto! Por la probabilidad total,

P(\text{efectivo}) = 0,65·0,30 + 0,25·0,70 + 0,10·0,80 = 0,45

. Luego

P(\text{no efectivo}) = 1 - 0,45 = 0,55

Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de pagar en efectivo es

0,65·0,30 + 0,25·0,70 + 0,10·0,80 = 0,195 + 0,175 + 0,08 = 0,45

. Su complementario, NO pagar en efectivo, es

1 - 0,45 = 0,55

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ABAU GAL 2025 — Pregunta 1.3Dificultad 3/5

En la misma cafetería (estudiantes 65 % pagan efectivo el 30 %; personal 25 % paga efectivo el 70 %; ajenas 10 % pagan efectivo el 80 %), si un pago se hizo en efectivo, ¿qué es más probable: que lo hiciera un estudiante o el personal de la universidad?

AUn estudiante (0,433 frente a 0,389)

BEl personal (0,70 frente a 0,30)

CIgual de probable ambos

DEl personal (0,389 frente a 0,433)

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Respuesta correcta — opción A

Un estudiante (0,433 frente a 0,389)

¡Correcto! Por Bayes,

P(\text{estudiante}|\text{efectivo}) = \dfrac{0,65·0,30}{0,45} = 0,433

P(\text{personal}|\text{efectivo}) = \dfrac{0,25·0,70}{0,45} = 0,389

. Es más probable un estudiante.

Con

P(\text{efectivo}) = 0,45

, el teorema de Bayes da

P(\text{estudiante}|\text{efectivo}) = 0,65·0,30/0,45 = 0,433

P(\text{personal}|\text{efectivo}) = 0,25·0,70/0,45 = 0,389

. A pesar de que el personal paga más en efectivo, hay muchos más estudiantes, así que es más probable que el pago en efectivo lo hiciera un estudiante.

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ABAU GAL 2025 — Pregunta 2.1.1Dificultad 3/5

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$ . Halle $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tales que $A^2 + \alpha A + \beta I = 0$ , donde $I$ y $0$ son las matrices identidad y cero.

\alpha = 1

\beta = -12

\alpha = -1

\beta = 12

\alpha = 1

\beta = 12

\alpha = -1

\beta = -12

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Respuesta correcta — opción D

$\alpha = -1$ , $\beta = -12$

¡Correcto! Por Cayley-Hamilton,

A^2 - \text{tr}(A)·A + \det(A)·I = 0

. Con

\text{tr}(A) = 1

\det(A) = -12

A^2 - A - 12I = 0

, luego

\alpha = -1

\beta = -12

Por el teorema de Cayley-Hamilton, toda matriz

2\times2

satisface

A^2 - \text{tr}(A)A + \det(A)I = 0

. Aquí

\text{tr}(A) = 2 + (-1) = 1

\det(A) = 2·(-1) - 2·5 = -12

, de modo que

A^2 - A - 12I = 0

y por tanto

\alpha = -1

\beta = -12

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ABAU GAL 2025 — Pregunta 2.2Dificultad 3/5

Discuta, según los valores del parámetro $m$ , el sistema $x + y + mz = 1,\quad x + my + z = 1,\quad mx + y + z = 1.$ ¿Para qué valores de $m$ es el sistema compatible indeterminado?

m = -2

m = 1

CPara

m \neq 1, -2

DPara cualquier

m

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Respuesta correcta — opción B

$m = 1$

¡Correcto! El determinante de la matriz de coeficientes es

(m-1)^2(m+2)

, que se anula en

m = 1

m = -2

. En

m = 1

las tres ecuaciones coinciden (

x+y+z=1

): rango 1, sistema compatible indeterminado.

El determinante de la matriz de coeficientes es

(m-1)^2(m+2)

, que se anula en

m = 1

m = -2

. En

m = 1

las tres ecuaciones se reducen a

x+y+z=1

: rango de coeficientes = rango de la ampliada = 1 < 3, por lo que el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). En

m = -2

resulta incompatible.

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ABAU GAL 2025 — Pregunta 3.1.1Dificultad 3/5

Dada la función $f(x) = \begin{cases} kx^2 + 2x & \text{si } x \le 1 \\ x^2 - m & \text{si } x > 1 \end{cases}$ , ¿qué condición deben cumplir $k$ y $m$ para que $f$ sea continua en $x = 1$ ?

k + m = -1

k + m = 3

k - m = 1

k = m

Ver solución

Respuesta correcta — opción A

$k + m = -1$

¡Correcto! Continuidad en

x=1

f(1^-) = k + 2

f(1^+) = 1 - m

. Igualando,

k + 2 = 1 - m

, es decir

k + m = -1

La continuidad en

x=1

exige que coincidan los límites laterales:

f(1^-) = k·1^2 + 2·1 = k+2

f(1^+) = 1^2 - m = 1-m

. Igualando,

k + 2 = 1 - m

, es decir

k + m = -1

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ABAU GAL 2025 — Pregunta 3.2Dificultad 3/5

Dibuje la región encerrada por la gráfica de $f(x) = \sqrt{2x+1}$ , el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 4$ . Calcule su área.

\dfrac{52}{3} \approx 17,33

9

\dfrac{26}{3} \approx 8,67

\dfrac{28}{3} \approx 9,33

Ver solución

Respuesta correcta — opción C

$\dfrac{26}{3} \approx 8,67$

¡Correcto!

\int_0^4\sqrt{2x+1}\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2}\right]_0^4 = \dfrac{1}{3}(27 - 1) = \dfrac{26}{3} \approx 8,67

El área es

\int_0^4\sqrt{2x+1}\,dx

. La primitiva es

\dfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2}

, así que el área vale

\dfrac{1}{3}(9^{3/2} - 1^{3/2}) = \dfrac{1}{3}(27 - 1) = \dfrac{26}{3} \approx 8,67

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ABAU GAL 2025 — Pregunta 4.2.1Dificultad 3/5

Considere el punto $P(0,1,0)$ y la recta $r: (x,y,z) = (2,0,3) + \lambda(1,2,3)$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ . Determine la ecuación continua de la recta $s$ paralela a $r$ que pasa por $P$ .

\dfrac{x}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z}{3}

\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-3}{3}

\dfrac{x}{0} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{0}

\dfrac{x}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{3}

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Respuesta correcta — opción A

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z}{3}$

¡Correcto! La recta

s

tiene el mismo vector director

(1,2,3)

y pasa por

P(0,1,0)

\dfrac{x}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z}{3}

Una recta paralela a

r

comparte su vector director

(1,2,3)

. Como

s

pasa por

P(0,1,0)

, su ecuación continua es

\dfrac{x-0}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z-0}{3}

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ABAU GAL 2025 — Pregunta 4.2.2Dificultad 3/5

Considere el punto $P(0,1,0)$ y la recta $r: (x,y,z) = (2,0,3) + \lambda(1,2,3)$ . Obtenga la ecuación implícita (general) del plano $\pi$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ .

x + 2y + 3z = 0

x + 2y + 3z - 2 = 0

2x + y + 3z - 1 = 0

x + 2y + 3z + 2 = 0

Ver solución

Respuesta correcta — opción B

$x + 2y + 3z - 2 = 0$

¡Correcto! El vector normal del plano es el director de

r

(1,2,3)

. Imponiendo que pase por

P(0,1,0)

1(x-0) + 2(y-1) + 3(z-0) = 0 \Rightarrow x + 2y + 3z - 2 = 0

Como el plano es perpendicular a

r

, su vector normal coincide con el director de

r

(1,2,3)

. El plano es

x + 2y + 3z + D = 0

. Imponiendo que pase por

P(0,1,0)

0 + 2 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -2

. Por tanto,

x + 2y + 3z - 2 = 0

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